人教A版理科高考數(shù)學(xué) 一輪細(xì)講精練【第十二篇】推理與證明、算法、復(fù)數(shù)
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1、 第十二篇 推理與證明、算法、復(fù)數(shù)A 第1講 合情推理與演繹推理 [最新考綱] 1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理. 3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 知 識(shí) 梳 理 1.合情推理 (1)歸納推理:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理. (2)類比推理:由
2、兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理.簡(jiǎn)言之,類比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、類比,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱為合情推理. 2.演繹推理 (1)演繹推理:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況作出的判斷
3、. 辨 析 感 悟 1.對(duì)合情推理的認(rèn)識(shí) (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確,類比推理得到的結(jié)論一定正確.() (2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì),這是一種合情推理.(√) (3)在類比時(shí),平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適.() (4)(教材習(xí)題改編)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=n(n∈N*).() (5)(20xx安慶調(diào)研改編)在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4,類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為1∶8.(√) 2.對(duì)演繹推理的認(rèn)識(shí) (6)“所有3的
4、倍數(shù)都是9的倍數(shù),某數(shù)m是3的倍數(shù),則m一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.(√) (7)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式,結(jié)論就一定正確.() [感悟提升] 三點(diǎn)提醒 一是合情推理包括歸納推理和類比推理,所得到的結(jié)論都不一定正確,其結(jié)論的正確性是需要證明的. 二是在進(jìn)行類比推理時(shí),要盡量從本質(zhì)上去類比,不要被表面現(xiàn)象所迷惑;否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比,就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤,如(3). 三是應(yīng)用三段論解決問題時(shí),應(yīng)首先明確什么是大前提,什么是小前提,如果大前提與推理形式是正確的,結(jié)論必定是正確的.如果大前提錯(cuò)誤,盡管推理形式是正確的,所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的
5、.如(7). 學(xué)生用書第200頁 考點(diǎn)一 歸納推理 【例1】 (20xx湖北卷)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個(gè)三角形數(shù)為=n2+n,記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式: 三角形數(shù) N(n,3)=n2+n, 正方形數(shù) N(n,4)=n2, 五邊形數(shù) N(n,5)=n2-n, 六邊形數(shù) N(n,6)=2n2-n …… 可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=____________. 解
6、析 由N(n,3)=n2+n, N(n,4)=n2+n, N(n,5)=n2+n, N(n,6)=n2+n, 推測(cè)N(n,k)=n2+n,k≥3. 從而N(n,24)=11n2-10n,N(10,24)=1 000. 答案 1 000 規(guī)律方法 歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理,由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確,通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法. 【訓(xùn)練1】 (1)(20xx佛山質(zhì)檢)觀察下列不等式: ①<1;②+<;③++<. 則第5個(gè)不等式為________. (2)(20xx陜西卷)觀察下
7、列等式 (1+1)=21 (2+1)(2+2)=2213 (3+1)(3+2)(3+3)=23135 …… 照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為________. 解析 (2)由已知的三個(gè)等式左邊的變化規(guī)律,得第n個(gè)等式左邊為(n+1)(n+2)…(n+n),由已知的三個(gè)等式右邊的變化規(guī)律,得第n個(gè)等式右邊為2n與n個(gè)奇數(shù)之積,即2n135…(2n-1). 答案 (1)++++< (2)(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1) 考點(diǎn)二 類比推理 【例2】 在平面幾何里,有“若△ABC的三邊長分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,則三角形面積為S△ABC=(a+b+c)r”,
8、拓展到空間,類比上述結(jié)論,“若四面體A-BCD的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球的半徑為r,則四面體的體積為________”. 審題路線 三角形面積類比為四面體的體積?三角形的邊長類比為四面體四個(gè)面的面積?內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑?二維圖形中類比為三維圖形中的?得出結(jié)論. 答案 V四面體A-BCD=(S1+S2+S3+S4)r 規(guī)律方法 在進(jìn)行類比推理時(shí),不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比,且要注意以下兩點(diǎn):①找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素,如:三角形對(duì)應(yīng)三棱錐,圓對(duì)應(yīng)球,面積對(duì)應(yīng)體積等等;②找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如:兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直,邊相等對(duì)應(yīng)
9、面積相等. 【訓(xùn)練2】 二維空間中圓的一維測(cè)度(周長)l=2πr,二維測(cè)度(面積)S=πr2,觀察發(fā)現(xiàn)S′=l;三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S=4πr2,三維測(cè)度(體積)V=πr3,觀察發(fā)現(xiàn)V′=S.則四維空間中“超球”的四維測(cè)度W=2πr4,猜想其三維測(cè)度V=________. 解析 由已知,可得圓的一維測(cè)度為二維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù);球的二維測(cè)度是三維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù).類比上述結(jié)論,“超球”的三維測(cè)度是四維測(cè)度的導(dǎo)函數(shù),即V=W′=(2πr4)′=8πr3. 答案 8πr3 考點(diǎn)三 演繹推理 【例3】 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*).證明: (
10、1)數(shù)列是等比數(shù)列; (2)Sn+1=4an. 證明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. ∴=2,又=1≠0, (小前提) 故是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義,這里省略了) (2)由(1)可知=4(n≥2), ∴Sn+1=4(n+1)=4Sn-1 =4an(n≥2), (小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴對(duì)于任意正整數(shù)n,都
11、有Sn+1=4an.(結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) 學(xué)生用書第201頁 規(guī)律方法 演繹推理是從一般到特殊的推理;其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論解決問題時(shí),應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果前提是顯然的,則可以省略. 【訓(xùn)練3】 “因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)(大前提),而y=logx是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提),所以y=logx是增函數(shù)(結(jié)論)”,以上推理的錯(cuò)誤是( ). A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 解析 當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax是增
12、函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax是減函數(shù).故大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤. 答案 A 1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理.?dāng)?shù)學(xué)研究中,在得到一個(gè)新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向. 2.演繹推理是從一般的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段論.?dāng)?shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行. 3.合情推理僅是“合乎情理”的推理,它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下). 創(chuàng)新突破
13、12——新定義下的歸納推理 【典例】 (20xx湖南卷)對(duì)于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1,其余項(xiàng)均為0.?例如:子集{a2,a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…,0.? (1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于______; (2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1,p2,…,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數(shù)列”q1,q2,…,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,
14、則P∩Q的元素個(gè)數(shù)為________. 突破1:讀懂信息?,對(duì)于集合X={ai1,ai2,…,aik}來說,定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,…,x100是一個(gè)新的數(shù)列,該數(shù)列的xi1=xi2=…=xik=1,其余項(xiàng)均為0. 突破2:通過例子?:“子集{a2,a3}的特征數(shù)列為0,1,1,0,0,…,0”來理解“特征數(shù)列”的特征;第2項(xiàng),第3項(xiàng)為1,其余項(xiàng)為0. 突破3:根據(jù)p1=1,pi+pi+1=1可寫出子集P的“特征數(shù)列”為:1,0,1,0,1,0,…,1,0,歸納出子集P;同理,子集Q的特征數(shù)列為1,0,0,1,0,0,…,1,0,0,歸納出子集Q. 突破4:由P與Q的前幾項(xiàng)的
15、規(guī)律,找出子集P與子集Q的公共元素即可. 解析 (1)根據(jù)題意可知子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,0,…,0,此數(shù)列前3項(xiàng)和為2. (2)根據(jù)題意可寫出子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,…,1,0,則P={a1,a3,…,a2n-1,…,a99}(1≤n≤50), 子集Q的“特征數(shù)列”為1,0,0,1,0,0,…,1,0,0,1,則Q={a1,a4,…,a3k-2,…,a100}(1≤k≤34),則P∩Q={a1,a7,a13,…,a97},共有17項(xiàng). 答案 (1)2 (2)17 [反思感悟] 此類問題一定要抓住題設(shè)中的例子與定義的緊密結(jié)
16、合, 細(xì)心觀察,尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系,需有一定的邏輯推理能力. 【自主體驗(yàn)】 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對(duì)于D上的n個(gè)值x1,x2,…,xn總滿足[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f,稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù).現(xiàn)已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸函數(shù),則在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是________. 解析 已知[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤ f, (大前提) 因?yàn)閒(x)=sin x在(0,π)上是凸函數(shù),(小前提) 所以f(A)+f(B)+f(C)≤3f,(結(jié)論) 即s
17、in A+sin B+sin C≤3sin =. 因此sin A+sin B+sin C的最大值是. 答案 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P379 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理( ). A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù),所以小前提不正確. 答案 C 2.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理得:若定
18、義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=( ). A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析 由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x). 答案 D 3.(20xx江西卷)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10等于( ). A.28 B.76 C.123 D.199 解析 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知,等式右端的值,從第三項(xiàng)開始,后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10+b10=12
19、3. 答案 C 4.(20xx長春調(diào)研)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式,對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù):S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正確的運(yùn)算公式是( ). ①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y); ③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 解析 經(jīng)驗(yàn)證易知①②錯(cuò)誤.依題意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=
20、2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).綜上所述,選B. 答案 B 5.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“ab=ba”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)c=ac+bc”; ③“(mn)t=m(nt)”類比得到“(ab)c=a(bc)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,ap=xp?a=x”; ⑤“|mn|=|m||n|”類比得到“|ab|=|a||b|”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上式子中
21、,類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 解析?、佗谡_;③④⑤⑥錯(cuò)誤. 答案 B 二、填空題 6.(20xx西安五校聯(lián)考)觀察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,則得出結(jié)論:________. 解析 各等式的左邊是第n個(gè)自然數(shù)到第3n-2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,右邊是中間奇數(shù)的平方,故得出結(jié)論:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 7.若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,前n項(xiàng)的和為S
22、n,則數(shù)列為等差數(shù)列,且通項(xiàng)為=a1+(n-1),類似地,請(qǐng)完成下列命題:若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1,公比為q,前n項(xiàng)的積為Tn,則________. 答案 數(shù)列{}為等比數(shù)列,且通項(xiàng)為=b1()n-1 8.(20xx揭陽一模)給出下列等式:=2cos ,=2cos ,=2cos ,請(qǐng)從中歸納出第n個(gè)等式:=________. 答案 2cos 三、解答題 9.給出下面的數(shù)表序列: 表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 … 其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行
23、的n個(gè)數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和. 寫出表4,驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明). 解 表4為 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列. 將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n,公比為2的等比數(shù)列. 10.f(x
24、)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明. 解 f(0)+f(1)=+ =+=+=, 同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=. 由此猜想f(x)+f(1-x)=. 證明:f(x)+f(1-x)=+ =+=+ ==. 能力提升題組 (建議用時(shí):25分鐘) 一、選擇題 1.(20xx江西卷)觀察下列事實(shí):|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12,…,則|x|+|y|=2
25、0的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為( ). A.76 B.80 C.86 D.92 解析 由|x|+|y|=1的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12,歸納推理得|x|+|y|=n的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4n,故|x|+|y|=20的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80.故選B. 答案 B 2.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù). 比如: 他們研究過圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,…,這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是
26、正方形數(shù)的是( ). A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析 觀察三角形數(shù):1,3,6,10,…,記該數(shù)列為{an},則a1=1, a2=a1+2, a3=a2+3, … an=an-1+n. ∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)?an=1+2+3+…+n=, 觀察正方形數(shù):1,4,9,16,…,記該數(shù)列為{bn},則bn=n2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字,分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式,可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225. 答案 C 二、填空題 3.在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱
27、點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4. (1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是________; (2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=________(用數(shù)值作答). 解析 (1)四邊形DEFG是一個(gè)直角梯形,觀察圖形可知:S=(+2)=3,N=1,L=6. (2)由(1)知,S四邊形DEFG=a+6b+c=3. S△ABC=4b
28、+c=1. 在平面直角坐標(biāo)系中,取一“田”字型四邊形,構(gòu)成邊長為2的正方形,該正方形中S=4,N=1,L=8.則S=a+8b+c=4.聯(lián)立解得a=1,b=.c=-1. ∴S=N+L-1,∴若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=71+18-1=79. 答案 (1)3,1,6 (2)79 三、解答題 4.(20xx福建卷)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù): ①sin213+cos217-sin 13cos 17; ②sin215+cos215-sin 15cos 15; ③sin218+cos212-sin 18cos 12; ④sin2(-
29、18)+cos248-sin(-18)cos 48; ⑤sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解 (1)選擇②式,計(jì)算如下: sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=. (2)三角恒等式為sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=sin2α+(cos 30cos α+sin 30sin
30、α)2-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=. 學(xué)生用書第202頁 第2講 直接證明與間接證明 [最新考綱] 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn). 2.了解反證法的思考過程和特點(diǎn). 知 識(shí) 梳 理 1.直接證明 (1)綜合法 ①定義:利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法. ②框圖表示:P?Q1→Q1?
31、Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結(jié)論). ③思維過程:由因?qū)Ч? (2)分析法 ①定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.這種證明方法叫做分析法. ②框圖表示:Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→ 得到一個(gè)明顯成立的條件(其中Q表示要證明的結(jié)論). ③思維過程:執(zhí)果索因. 2.間接證明 反證法:假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題成立的
32、證明方法. 辨 析 感 悟 對(duì)三種證明方法的認(rèn)識(shí) (1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.() (2)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.() (3)在解決問題時(shí),常常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(√) (4)證明不等式+<+最合適的方法是分析法.(√) [感悟提升] 兩點(diǎn)提醒 一是分析法是“執(zhí)果索因”,特點(diǎn)是從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件,如(1); 二是應(yīng)用反證法證題時(shí)必須先否定結(jié)論,把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)
33、論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法.所謂矛盾主要指:①與已知條件矛盾;②與假設(shè)矛盾;③與定義、公理、定理矛盾;④與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾;⑤自相矛盾. 考點(diǎn)一 綜合法的應(yīng)用 【例1】 (20xx新課標(biāo)全國Ⅱ卷)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: (1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1. 證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a,+c≥
34、2b,+a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c.所以++≥1. 學(xué)生用書第203頁 規(guī)律方法 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ),是分析法的逆過程,但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明. 【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)a>0,b>0,a+b=1,求證:++≥8. (2)已知a,b,c是全不相等的正實(shí)數(shù),求證:++>3. 證明 (1)∵a+b=1, ∴++=++ =1++1++≥2+2+ =2+2+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí),等號(hào)成立. (2)∵a,b,c全不相等,且都大于0. ∴與,與,與全不相等, ∴+>2,+
35、>2,+>2, 三式相加得+++++>6, ∴++>3, 即++>3. 考點(diǎn)二 分析法的應(yīng)用 【例2】 已知a>0,求證:-≥a+-2. 審題路線 從結(jié)論出發(fā)?觀察不等式兩邊的符號(hào)?移項(xiàng)(把不等式兩邊都變?yōu)檎?xiàng))?平方?移項(xiàng)整理?平方?移項(xiàng)整理可得顯然成立的結(jié)論. 證明 (1)要證-≥a+-2, 只需要證+2≥a++. ∵a>0,故只需要證2≥2, 即a2++4+4 ≥a2+2++2+2, 從而只需要證2≥, 只需要證4≥2, 即a2+≥2,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立. 規(guī)律方法 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分
36、條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵. (2)證明較復(fù)雜的問題時(shí),可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論,從而使原命題得證. 【訓(xùn)練2】 已知m>0,a,b∈R,求證:2≤. 證明 ∵m>0,∴1+m>0.所以要證原不等式成立, 只需證(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2) 即證m(a2-2ab+b2)≥0, 即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立,故原不等式得證. 考點(diǎn)三 反證法的應(yīng)用 【例3】 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+,S3=9+3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an
37、與前n項(xiàng)和Sn; (2)設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列. (1)解 由已知得∴d=2, 故an=2n-1+,Sn=n(n+). (2)證明 由(1)得bn==n+. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp,bq,br(p,q,r∈N*,且互不相等)成等比數(shù)列,則b=bpbr. 即(q+)2=(p+)(r+). ∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0. ∵p,q,r∈N*,∴ ∴2=pr,(p-r)2=0. ∴p=r,與p≠r矛盾. ∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列. 學(xué)生用書第204頁 規(guī)律方法 用反證法證明不等
38、式要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的. 【訓(xùn)練3】 已知a≥-1,求證三個(gè)方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根. 證明 假設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根,則 ? ∴-<a<-1. 這與已知a≥-1矛盾, 所以假設(shè)不成立,故原結(jié)論成立. 1.分析法的特點(diǎn):從未知看需知,逐步靠攏已知. 2.綜合法的
39、特點(diǎn):從已知看可知,逐步推出未知. 3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問題,但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來. 4.利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí),要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理,沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過程是錯(cuò)誤的. 答題模板13——反證法在證明題中的應(yīng)用 【典例】 (14分)(20xx北京卷)直線y=kx+m(m≠0)與橢圓W:+y2=1相交于A,C兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)
40、. (1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),且四邊形OABC為菱形時(shí),求AC的長; (2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí),證明:四邊形OABC不可能為菱形. [規(guī)范解答] (1)解 因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形, 所以AC與OB相互垂直平分. (2分) 所以可設(shè)A,代入橢圓方程得+=1, 即t=. 所以|AC|=2. (5分) (2)證明 假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且AC⊥OB,所以k≠0. 由消y并整理得 (1+4k2)x2+8
41、kmx+4m2-4=0. (7分) 設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則 =-, =k+m=. 所以AC的中點(diǎn)為M. (9分) 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn),且m≠0,k≠0, 所以直線OB的斜率為-.(11分) 因?yàn)閗≠-1,所以AC與OB不垂直. (13分) 所以四邊形OABC不是菱形,與假設(shè)矛盾. 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能為菱形.(14分) [反思感悟] (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟,明確作假設(shè)是反證法的基礎(chǔ),應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本
42、手段,得到矛盾是反證法的目的. (2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時(shí),常采用反證法. (3)利用反證法證明時(shí),一定要回到結(jié)論上去. 答題模板 用反證法證明數(shù)學(xué)命題的答題模板: 第一步:分清命題“p→q”的條件和結(jié)論; 第二步:作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q; 第三步:由p和綈q出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果; 第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于所作的假設(shè)綈q不真,于是原結(jié)論q成立,從而間接地證明了命題. 學(xué)生用書第205頁 【自主體驗(yàn)】 設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,
43、k2滿足k1k2+2=0. (1)證明:l1與l2相交; (2)證明:l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上. 證明 (1)假設(shè)l1與l2不相交, 則l1與l2平行或重合,有k1=k2, 代入k1k2+2=0,得k+2=0. 這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾,從而k1≠k2, 即l1與l2相交. (2)由方程組 解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 從而2x2+y2=22+2 ===1, 所以l1與l2的交點(diǎn)P(x,y)在橢圓2x2+y2=1上. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P381 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.(20xx安陽模擬)若a<b<0,則下列不等式
44、中成立的是( ). A.< B.a(chǎn)+>b+ C.b+>a+ D.< 解析 (特值法)取a=-2,b=-1,驗(yàn)證C正確. 答案 C 2.用反證法證明命題:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,則a,b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí),反設(shè)正確的是( ). A.a(chǎn),b都不能被5整除 B.a(chǎn),b都能被5整除 C.a(chǎn),b中有一個(gè)不能被5整除 D.a(chǎn),b中有一個(gè)能被5整除 解析 由反證法的定義得,反設(shè)即否定結(jié)論. 答案 A 3.(20xx上海模擬)“a=”是“對(duì)任意正數(shù)x,均有x+≥1”的( ). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必
45、要條件 解析 當(dāng)a=時(shí),x+≥2=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時(shí)取等號(hào);反之,顯然不成立. 答案 A 4.(20xx張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證<a”索的因應(yīng)是( ). A.a(chǎn)-b>0 B.a(chǎn)-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 解析 由題意知<a?b2-ac<3a2 ?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 答案 C 5.(20xx天津
46、模擬)p=+,q=(m,n,a,b,c,d均為正數(shù)),則p,q的大小為( ). A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不確定 解析 q= ≥=+=p. 答案 B 二、填空題 6.下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的條件的個(gè)數(shù)是________. 解析 要使+≥2,只需>0且>0成立,即a,b不為0且同號(hào)即可,故①③④能使+≥2成立. 答案 3 7.已知a,b,m均為正數(shù),且a>b,則與的大小關(guān)系是________. 解析?。剑剑? ∵a,b,m>0,且a>b,∴b-a<0,∴<. 答案?。? 8.設(shè)a,b是兩
47、個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>2;②a2+b2>2.其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件的是________(填上序號(hào)). 答案?、? 三、解答題 9.若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證: lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 證明 ∵a,b,c∈(0,+∞), ∴≥>0,≥>0,≥>0. 又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立. ∴>abc成立. 上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù), 得lg>lg abc, ∴l(xiāng)g+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 10.(20xx鶴崗模擬)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和. (1)求證:數(shù)列{
48、Sn}不是等比數(shù)列; (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么? (1)證明 假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,則S=S1S3, 即a(1+q)2=a1a1(1+q+q2), 因?yàn)閍1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,這與公比q≠0矛盾, 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列. (2)解 當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,故{Sn}是等差數(shù)列; 當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列,否則2S2=S1+S3, 即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得q=0,這與公比q≠0矛盾. 綜上,當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;當(dāng)q≠1時(shí),{Sn}不是等差數(shù)列. 能力提升題組
49、(建議用時(shí):25分鐘) 一、選擇題 1.(20xx漳州一模)設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則三個(gè)數(shù)a+,b+,c+( ). A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一個(gè)不大于2 D.至少有一個(gè)不小于2 解析 ∵a>0,b>0,c>0, ∴++=++ ≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí),“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一個(gè)不小于2. 答案 D 2.已知函數(shù)f(x)=x,a,b是正實(shí)數(shù),A=f,B=f(),C=f,則A,B,C的大小關(guān)系為( ). A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 解析 ∵≥≥,又f(x)=x在R上是減函數(shù),∴f≤f
50、()≤f. 答案 A 二、填空題 3.(20xx株洲模擬)已知a,b,μ∈(0,+∞),且+=1,則使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________. 解析 ∵a,b∈(0,+∞),且+=1, ∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=12時(shí),等號(hào)成立,∴a+b的最小值為16. ∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0<μ≤16. 答案 (0,16] 三、解答題 4.(20xx江蘇卷)設(shè){an}是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0),Sn是其前n項(xiàng)的和.記bn=,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù). (1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Sn
51、k=n2Sk(k,n∈N*); (2)若{bn}是等差數(shù)列,證明:c=0. 證明 由題意得,Sn=na+d. (1)由c=0,得bn==a+d. 又因?yàn)閎1,b2,b4成等比數(shù)列,所以b=b1b4,即2=a, 化簡(jiǎn)得d2-2ad=0. 因?yàn)閐≠0,所以d=2a. 因此,對(duì)于所有的m∈N*,有Sm=m2a. 從而對(duì)于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. (2)設(shè)數(shù)列{bn}的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,n∈N*,代入Sn的表達(dá)式,整理得,對(duì)于所有的n∈N*,有n3+n2+cd1n=c(d1-b1). 令A(yù)=
52、d1-d,B=b1-d1-a+d, D=c(d1-b1),則對(duì)于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*) 在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1, 從而有 由①②③可得A=0,B=0,從而cd1=0. 即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0. 若d1=0,則由d1-d=0,得d=0, 與題設(shè)矛盾,所以d1≠0. 又因?yàn)閏d1=0,所以c=0. 學(xué)生用書第205頁 第3講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用 [最新考綱] 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理. 2.能用數(shù)學(xué)歸納法
53、證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 知 識(shí) 梳 理 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示 辨 析 感 悟 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法原理 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.() (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.() (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),歸納假
54、設(shè)可以不用.() 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 (4)(教材習(xí)題改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于3.(√) (5)已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…-=2時(shí),若已假設(shè)n=k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證n=k+2時(shí)等式成立.(√) (6)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).() [感悟提升] 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可,步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ),步驟(2)是遞推的依據(jù). 2.在
55、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),第(1)步驗(yàn)算n=n0的n0不一定為1,而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值,如(4),檢驗(yàn)n的值從n=3開始,因此(1)不正確.第(2)步,證明n=k+1時(shí)命題也成立的過程,一定要用到歸納假設(shè),否則就不是數(shù)學(xué)歸納法,如(3). 學(xué)生用書第206頁 考點(diǎn)一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1】 (20xx天津卷改編)已知等差數(shù)列{an}的公差為3,其前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為2,且a1=b1=2. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,證明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*
56、). 審題路線 (1)代入等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an,bn;(2)注意到所證結(jié)論是關(guān)于“n”的命題,可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明. (1)解 由a1=2,公差d=3, ∴an=a1+(n-1)d=3n-1. 在等比數(shù)列{bn}中,公比q=2,首項(xiàng)b1=2, ∴bn=22n-1=2n. (2)證明 ①當(dāng)n=1時(shí),T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16,故等式成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立, 即Tk+12=-2ak+10bk, 當(dāng)n=k+1時(shí), Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+…+
57、a1bk) =ak+1b1+qTk =ak+1b1+q(-2ak+10bk-12) =2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12, 即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1. 因此n=k+1時(shí)等式也成立. 由①、②可知,對(duì)任意n∈N*,Tn+12=-2an+10bn成立. 規(guī)律方法 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少. (2)由n=k時(shí)等式成立,推出n=k+1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫
58、出證明過程. 【訓(xùn)練1】 求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n135…(2n-1)(n∈N*). 證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),等式左邊=2,右邊=211=2,∴等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k135…(2k-1). 當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(k+2)(k+3)…2k(2k+1)(2k+2) =2(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1) =22k135…(2k-1)(2k+1) =2k+1135…(2k-1)(2k+1). 這就是說當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立. 根據(jù)(1)、(2)知,對(duì)n∈N*,原等式
59、成立. 考點(diǎn)二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例2】 由下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,…,你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式?并加以證明. 審題路線 觀察前4個(gè)式子,左邊的項(xiàng)數(shù)及分母的變化?不難發(fā)現(xiàn)一般的不等式為1+++…+>(n∈N*),并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 解 一般結(jié)論:1+++…+>(n∈N*),證明如下: (1)當(dāng)n=1時(shí),由題設(shè)條件知命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),猜想正確. 即1+++…+>. 當(dāng)n=k+1時(shí),1+++…+++…+>+++…+ >+++…+=+=. ∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 根據(jù)(1)、(2)可知,對(duì)
60、n∈N*,1+++…+>. 規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時(shí)命題成立證n=k+1時(shí)命題也成立,在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明,充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧,使問題得以簡(jiǎn)化. 【訓(xùn)練2】 若函數(shù)f(x)=x2-2x-3,定義數(shù)列{xn}如下:x1=2,xn+1是過點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:2≤xn<xn+1<3. 證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),x1=2,f(x1)=-3,Q1(2,-3). ∴直線PQ1的方程為y=4x-11, 令y=0,得x2=, 因此,
61、2≤x1<x2<3,即n=1時(shí)結(jié)論成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即2≤xk<xk+1<3.
∴直線PQk+1的方程為y-5=(x-4).
又f(xk+1)=x-2xk+1-3,代入上式,令y=0,
得xk+2==4-,
由歸納假設(shè),2 62、且an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明通項(xiàng)公式的正確性.
審題路線 從特殊入手,正確計(jì)算a1,a2,a3,探求an與n的一般關(guān)系?運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明.
(1)解 當(dāng)n=1時(shí),
由已知得a1=+-1,a+2a1-2=0.
∴a1=-1(a1>0).
當(dāng)n=2時(shí),由已知得a1+a2=+-1,
將a1=-1代入并整理得a+2a2-2=0.
∴a2=-(a2>0).
同理可得a3=-.
猜想an=-(n∈N*).
(2)證明 ①由(1)知,當(dāng)n=1,2,3時(shí),通項(xiàng)公式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3,k∈N*)時(shí),通項(xiàng)公式成 63、立,
即ak=-.
由于ak+1=Sk+1-Sk=+--,
將ak=-代入上式,整理得
a+2ak+1-2=0,
∴ak+1=-,
即n=k+1時(shí)通項(xiàng)公式成立.
由①、②,可知對(duì)所有n∈N*,an=-都成立.
規(guī)律方法 “歸納—猜想—證明”的模式,是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式,這種方法在解決探索性問題、存在性問題時(shí)起著重要作用,它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性.
【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)=x3-x,數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,an+1≥f′(an+1).試比較+++…+與1的大小,并說明理由.
解 ∵f′(x)=x2-1 64、,an+1≥f′(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1.
∵函數(shù)g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,
進(jìn)而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,
由此猜想:an≥2n-1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想:
(1)當(dāng)n=1時(shí),a1≥21-1=1,結(jié)論成立;
(2)假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,即ak≥2k-1,當(dāng)n=k+1時(shí),由g(x)=(x+1)2-1在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,∴當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立 65、.
由(1)、(2)知,對(duì)任意n∈N*,都有an≥2n-1.
即1+an≥2n,因此≤,
∴+++…+≤+++…+=1-n<1.
1.在數(shù)學(xué)歸納法中,歸納奠基和歸納遞推缺一不可.在較復(fù)雜的式子中,注意由n=k到n=k+1時(shí),式子中項(xiàng)數(shù)的變化應(yīng)仔細(xì)分析,觀察通項(xiàng).同時(shí)還應(yīng)注意,不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法.
2.對(duì)于證明等式問題,在證n=k+1等式也成立時(shí),應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過程對(duì)比,以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度;對(duì)于整除性問題,關(guān)鍵是湊假設(shè);證明不等式時(shí),一般要運(yùn)用放縮法.
3.歸納—猜想—證明屬于探索性問題的一種,一般經(jīng)過計(jì)算、觀察、歸納,然后猜想出結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.由于“ 66、猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”,務(wù)必保證猜想的正確性,同時(shí)必須嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟書寫.
答題模板14——數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列問題中的應(yīng)用
【典例】 (12分)(20xx安徽卷改編)數(shù)列{xn}滿足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*).
(1)證明:{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c<0;
(2)若0<c≤,證明數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列.
[規(guī)范解答] (1)充分性:若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c
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