新教材高中數學北師大版選修23教學案：第二章 5 第一課時 離散型隨機變量的均值 Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數學資料 第一課時　離散型隨機變量的均值 求離散型隨機變量的均值 [例1]　(重慶高考)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球，根據摸出4個球中紅球與藍球的個數，設一、二、三等獎如下： 獎級 摸出紅、藍球個數 獲獎金額 一等獎 3紅1藍 200元 二等獎 3紅0藍 50元 三等獎 2紅1藍 10元 其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級． (1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率； (2)求

2、摸獎者在一次摸獎中獲獎金額X的分布列與數學期望EX. [思路點撥]　(1)利用古典概型結合計數原理直接求解． (2)先確定離散型隨機變量的取值，求出相應的概率分布，進一步求出隨機變量的期望值． [精解詳析]　設Ai表示摸到i個紅球，Bj表示摸到j個藍球，則Ai(i＝0,1,2,3)與Bj(j＝0,1)獨立． (1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1)＝＝. (2)X的所有可能值為0,10,50,200，且 P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝＝， P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝＝， P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝

3、＝＝， P(X＝0)＝1－－－＝. 綜上知，X的分布列為 X 0 10 50 200 P 從而有EX＝0＋10＋50＋200＝4(元)． [一點通]　求離散型隨機變量X的均值的步驟 (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值； (2)求X取每個值的概率； (3)寫出X的分布列(有時可以省略)； (4)利用定義公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出均值． 1．(廣東高考)已知離散型隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P 則X的數學期望EX＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．2 C. D．3 解析：

4、EX＝1＋2＋3＝＝. 答案：A 2．某高等學院自愿獻血的20位同學的血型分布情形如下表： 血型 A B AB O 人數 8 7 3 2 (1)現(xiàn)從這20人中隨機選出兩人，求兩人血型相同的概率； (2)現(xiàn)有A血型的病人需要輸血，從血型為A、O的同學中隨機選出2人準備獻血，記選出A血型的人數為X，求隨機變量X的數學期望EX. 解：(1)從20人中選出兩人的方法數為C＝190， 選出兩人同血型的方法數為C＋C＋C＋C＝53， 故兩人血型相同的概率是. (2)X的取值為0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. X的分布列為

5、 X 0 1 2 P ∴EX＝0＋1＋2＝＝. 二項分布及超幾何分布的均值 [例2]　甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為，記甲擊中目標的次數為X，乙擊中目標的次數為Y，求 (1)X的概率分布； (2)X和Y的數學期望． [思路點撥]　甲、乙擊中目標的次數均服從二項分布． [精解詳析]　(1)P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C3＝， P(X＝2)＝C3＝， P(X＝3)＝C3＝. 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P (2)由題意X～B，Y～B， ∴EX＝3＝

6、1.5，EY＝3＝2. [一點通]　如果隨機變量X服從二項分布即X～B(n，p)，則EX＝np；如果隨機變量X服從參數為N，M，n的超幾何分布時，則EX＝n，以上兩特例可以作為常用結論，直接代入求解，從而避免了繁雜的計算過程． 3．若隨機變量X～B，EX＝2，則P(X＝1)等于________． 解析：由X～B∴EX＝n＝2， ∴n＝4，∴P(X＝1)＝C13＝. 答案： 4．袋中有7個球，其中有4個紅球，3個黑球，從袋中任取3個球，以X表示取出的紅球數，則EX為________． 解析：由題意知隨機變量X服從N＝7，M＝4，n＝3的超幾何分布，則EX＝3＝. 答案： 5

7、．(浙江高考)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數之和． (1)求X的分布列； (2)求X的數學期望EX. 解：(1)由題意得X取3,4,5,6，且 P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列為 X 3 4 5 6 P (2)由(1)知EX＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝. 數學期望的實際應用 [例3]　某商場準備在“五一”期間舉行

8、促銷活動．根據市場行情，該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動． (1)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率； (2)商場對選出的家電商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品成本價的基礎上提高180元作為售價銷售給顧客，同時允許顧客有3次抽獎的機會，若中獎一次，就可以獲得一次獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎的概率都是，且每次獲獎時的獎金數額相同，請問：該商場應將每次中獎的獎金數額至多定為多少元，此促銷方案才能使商場自己不虧本？ [思路點撥]　(1)利用間接法求概率；(2)先求中獎的期望，再列不等式求解． [精解詳析]　(1)設選出的3種商

9、品中至少有一種是日用商品為事件A，則P(A)＝1－＝. 即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為. (4分) (2)設顧客抽獎的中獎次數為X，則X＝0,1,2,3，于是 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝C2＝， P(X＝2)＝C2＝， P(X＝3)＝＝， ∴顧客中獎的數學期望 EX＝0＋1＋2＋3＝1.5. (10分) 設商場將每次中獎的獎金數額定為x元，則1.5x≤180，解得x≤120， 即該商場應將每次中獎的獎金數額至多定為120元，才能使自己不虧本． (12分) [一點通]　處理與實際問題有關的均值問題，應首先把實際問題概率模型

10、化，然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，并寫出分布列，最后利用有關的公式求出相應的概率及均值． 6．(湖南高考)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產品成功的概率分別為和，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產品A，乙組研發(fā)新產品B，設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立． (1)求至少有一種新產品研發(fā)成功的概率； (2)若新產品A研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產品B研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤100萬元，求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數學期望． 解：記E＝{甲組研發(fā)新產品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產品成功}． 由題設知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝. 且事件E與F，E與，與

11、F，與都相互獨立． (1)記H＝{至少有一種新產品研發(fā)成功}，則＝ ，于是 P()＝P()P()＝＝， 故所求的概率為P(H)＝1－P()＝1－＝. (2)設企業(yè)可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0,100,120,220. 因P(X＝0)＝P( )＝＝， P(X＝100)＝P(F)＝＝， P(X＝120)＝P(E)＝＝， P(X＝220)＝P(EF)＝＝. 故所求的X分布列為 X 0 100 120 220 P 數學期望為E(X)＝0＋100＋120＋220＝＝＝140. 7．某突發(fā)事件，在不采取任何預防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一

12、旦發(fā)生，將造成400萬元的損失．現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用．單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應的預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采取、聯(lián)合采取或不采取，請確定預防方案使總費用最少．(總費用＝采取預防措施的費用＋發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值．) 解：①不采取預防措施時，總費用即損失期望值為 E1＝4000.3＝120(萬元)； ②若單獨采取預防措施甲，則預防措施費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9＝0.1， 損失期望值為E2＝4000.1＝40(萬元)， 所以總費用為45＋40＝

13、85(萬元)； ③若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元， 發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85＝0.15， 損失期望值為E3＝4000.15＝60(萬元)， 所以總費用為30＋60＝90(萬元)； ④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施， 則預防措施費用為45＋30＝75(萬元)， 發(fā)生突發(fā)事件的概率為(1－0.9)(1－0.85)＝0.015， 損失期望值為E4＝4000.015＝6(萬元)， 所以總費用為75＋6＝81(萬元)． 綜合①②③④，比較其總費用可知，選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預防措施，可使總費用最少． 1．求隨機變量的數學期望的方法步驟： (1)寫出隨機變

14、量所有可能的取值． (2)計算隨機變量取每一個值對應的概率． (3)寫出分布列，求出數學期望． 2．離散型隨機變量均值的性質 ①Ec＝c(c為常數)； ②E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數)； ③E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b為常數)． 1．一名射手每次射擊中靶的概率均為0.8，則他獨立射擊3次中靶次數X的均值為(　　) A．0.8　　　　　　　　　 B．0.83 C．3 D．2.4 解析：射手獨立射擊3次中靶次數X服從二項分布，即X～B(3,0.8)，∴EX＝30.8＝2.4. 答案：D 2．已知離散型隨機變量X的概率分布

15、如下： X 0 1 2 P 0.3 3k 4k 隨機變量Y＝2X＋1，則Y的數學期望為(　　) A．1.1 B．3.2 C．11k D．33k＋1 解析：由題意知，0.3＋3k＋4k＝1， ∴k＝0.1.EX＝00.3＋10.3＋20.4＝1.1， ∴EY＝E(2X＋1)＝2EX＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B 3．口袋中有5個球，編號為1,2,3,4,5，從中任取3個球，以X表示取出的球的最大號碼，則EX＝(　　) A．4 B．5 C．4.5 D．4.75 解析：X的取值為5,4,3. P(X＝5)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(

16、X＝3)＝＝. ∴EX＝5＋4＋3＝4.5. 答案：C 4．(湖北高考)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體．經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為X，則X的均值EX＝(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知X可能為0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝，EX＝0P(X＝0)＋1P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝0＋1＋2＋3＝＝，故選B. 答案：B 5．設10件產品有3件次品，從中抽取2件進行檢查，則查得次品數的均值為________． 解析：設查

17、得次品數為X，由題意知X服從超幾何分布且N＝10，M＝3，n＝2. ∴EX＝n＝2＝. 答案： 6．某射手射擊所得環(huán)數X的分布列如下 X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知EX＝8.9，則y的值為________． 解析：由 解得y＝0.4. 答案：0.4 7．某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一道和第二道工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A，B兩個等級．對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品． 表一 工序 概率 產品 第一道工序 第二道工序 甲

18、0.8 0.85 乙 0.75 0.8 表二 等級 利潤 產品 一等 二等 甲 5(萬元) 2.5(萬元) 乙 2.5(萬元) 1.5(萬元) (1)已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結果為A級的概率如表一所示，分別求生產出的甲、乙產品為一等品的概率P甲、P乙； (2)已知一件產品的利潤如表二所示，用X，Y分別表示一件甲、乙產品的利潤，在(1)的條件下，分別求甲、乙兩種產品利潤的分布列及均值． 解：(1)P甲＝0.80.85＝0.68， P乙＝0.750.8＝0.6. (2)隨機變量X，Y的分布列是 X 5 2.5 P 0.68

19、0.32 Y 2.5 1.5 P 0.6 0.4 　 EX＝50.68＋2.50.32＝4.2， EY＝2.50.6＋1.50.4＝2.1. 所以甲、乙兩種產品利潤的均值分別為4.2萬元、2.1萬元． 8．(山東高考)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果互相獨立． (1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率； (2)若比賽結果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結果為3∶2，則勝利方得2分、對方得1分．求乙隊得分X的分布列及

20、數學期望． 解：(1)記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊以3∶2勝利”為事件A3， 由題意知，各局比賽結果相互獨立， 故P(A1)＝3＝， P(A2)＝C2＝， P(A3)＝C22＝. 所以，甲隊以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為，以3∶2勝利的概率為. (2)設“乙隊以3∶2勝利”為事件A4， 由題意知，各局比賽結果相互獨立， 所以P(A4)＝C22＝. 由題意知，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3， 根據事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝， 又P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝， 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0＋1＋2＋3＝.