高考數(shù)學(xué) 試題分類解析 考點3135

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1、 高考數(shù)學(xué)試題分類解析 考點31-35 考點31 坐標系與參數(shù)方程 【1】（A，湖北，理16）在直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為 ( t為參數(shù)) ，與相交于AB兩點，則 . 【2】（A，廣東，理14）已知直線l的極坐標方程為,點A的極坐標為, 則點A到直線l的距離為 . 【3】（A，湖南，文12）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為，則曲線C的直角坐標方程為 . 【4】（B，北京，理11）在極坐標系中，點到直線的距離為

2、. 【5】（B，重慶，理15）已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為則直線與曲線的交點的極坐標為 . 【6】（B，廣東，文14）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則與交點的直角坐標為 . 【7】（B，安徽，理12）在極坐標系中，圓上的點到直線距離的最大值是 . 【8】（A，新課標I，文23理23）在直角坐標系中，直線:,圓:,以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (I)求，的極坐標方程； (II)若直線的極

3、坐標方程為，設(shè)與的交點為、，求的面積. 【9】（A，新課標Ⅱ，文23理23）在直角坐標系中，曲線為參數(shù)，，其中，在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線：，曲線： ． (I)求與交點的直角坐標； (II)若與相交于點，與相交于點，求的最大值． 【10】（A，福建，理21-II）在平面直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程為.在極坐標系（與平面直角坐標系取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸非負半軸為極軸）中，直線l的方程為. (I)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (II)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 【11】（A，湖南，理16-II）已知直線（為參數(shù)），以坐標

4、原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為. (i)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； (ii)設(shè)點的直角坐標為，直線與曲線的交點為，求的值. 【12】（B，江蘇，理21C）已知圓的極坐標方程為，求圓的半徑. 【13】（B，陜西，文23理23）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為． (I)寫出圓的直角坐標方程； (II)為直線上一動點，當?shù)綀A心的距離最小時，求的直角坐標． 考點32 幾何證明選講 【1】（A，天津，文6理5）如圖，在圓中，，是弦的三等分點，弦，分別經(jīng)過

5、點，. 若，，，則線段的長為 A. B.3 C. D. 第1題圖 第2題圖 【2】（A，湖北，理15）如圖，是圓的切線，為切點，是圓的割線，且，則 . 【3】（B，重慶，理14）如圖，圓O的弦相交于點過點作圓O的切線與的延長線交于點,,,,若則 . 第3題圖 第4題圖 【4】（B，廣東，文15）如圖，為圓的直徑，為的延長線上一點，過作圓的切線，切點為，過作直線的垂線，垂足為．若，，則 . 【5】（B，廣東，理15）如圖，已知AB是圓的直徑，A

6、B=4，EC是圓的切線，切點為，BC=1，過圓心做BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD= . 第5題圖 第6題圖 【6】（A，新課標I，文22理22）如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，交⊙于點. (I)若為的中點，證明：是⊙的切線； (II)若，求的大小. 【7】（A，新課標Ⅱ，文22理22）如圖，為等腰三角形內(nèi)一點，⊙與的底邊交于M、N兩點，與底邊上的高交于點，且與，分別相切于E、F兩點． (I)證明：EFBC； (II)若等于⊙的半徑，且,求四邊形的面積． 第7題圖 第

7、8題圖 【8】（A，江蘇，理21A）如圖，在中，，的外接圓⊙的弦交于點.求證：∽. 【9】（A，湖南，理16-I）如圖，在⊙O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明： (i)； (ii). 第9題圖 第10題圖 【10】（B，陜西，文22理22）如圖，切圓于點，直線交圓于兩點，，垂足為． (I)證明：； (II)若，，求圓的直徑． 考點33 不等式選講 【1】（B，重慶，文14）設(shè),則的最大值為 . 【2】（B，重慶，理16）若函數(shù) 的最小值為5，則實數(shù) . 【3】（A，新

8、課標I，文24理24）已知函數(shù)，. (I)當時，求不等式的解集； (II)若的圖像與軸圍成的三角形面積大于，求的取值范圍. 【4】（A，新課標Ⅱ，文24理24）設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明： (I)若，則； (II)是的充要條件． 【5】（A，江蘇，理21D）解不等式. 【6】（A，福建，理21-III）已知，函數(shù)的最小值為4． (I)求的值； (II)求的最小值． 【7】（A，湖南，理16-III）設(shè)，且 ，證明： (i)； (ii)與不可能同時成立. 【8】（B，陜西，文24理24）已知關(guān)于的不等式的解集為． (I)求實數(shù)的值； (II)

9、求的最大值． 考點34 創(chuàng)新與拓展 【1】（B，湖北，理10）設(shè)R,表示不超過的最大整數(shù).若存在實數(shù)，使得,，…，同時成立,則正整數(shù)的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6 【2】（B，湖北，文10理9）已知集合 ，，， ，定義集合 ，則中元素的個數(shù)為 A. 77 B.49 C．45 D．30 【3】（B，廣東，理8）若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值 A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5 【4】（B，浙江，理6）設(shè)是有限集，定義： cardcard，其中

10、 card表示有限集中的元素個數(shù)． 命題①：對任意有限集，，“”是“”的充分必要條件； 命題②：對任意有限集，，，． A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立 C.命題①成立，命題②不成立 D.命題①不成立，命題②成立 【5】（C,上海,理17）記方程①,方程②,方程③,其中是正實數(shù).當成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程③無實根的是 A.方程①有實根，且②有實根 B.方程①有實根，且②無實根 C.方程①無實根，且②有實根 D.方程①無實根，且②無實根 【6】（C，上海，文理18）設(shè)是直線與圓在第一象限的交點，則極限 A. B. C.1

11、 D.2 【7】（C，廣東，文10）若集合 ,,,且, ，， 且，用表示集合中的元素個數(shù)，則 A. B. C. D. 【8】（A，上海，文5理3）若線性方程組的增廣矩陣為，解為則 . 【9】（B，山東，文14）定義運算“”：.當時，的最小值為 . 【10】（C，上海，文14理13）已知函數(shù).若存在滿足, 且 （），則的最小值為 . 【11】（A，福建，理21-I）已知矩陣. (I)求A的逆矩陣； (II)求矩陣C，使得AC=B. 【12】（B，江蘇，理21B）已知R，向量是矩陣的屬于特征值的一個特征向量，矩陣以及它的另

12、一個特征值. 考點35 交匯與整合 【1】（C，上海，文17理16）已知點的坐標為，將繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的縱坐標為 A. B. C. D. 【2】（C，江蘇，文理14）設(shè)向量，則的值為 . 【3】（A，湖北，理20）某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)兩種奶制品．生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時，獲利1000元；生產(chǎn)1噸產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸，使用設(shè)備1.5小時，獲利1200元．要求每天產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量（單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為 W 12 1

13、5 18 P 0.3 0.5 0.2 該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z（單位：元）是一個隨機變量． (I)求Z的分布列和均值； (II)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率． 【4】（C，上海，文23）已知數(shù)列與 滿足，. (1)若，且，求的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列的第項是最大項，即（），求證：的第項是最大項； (3)設(shè)（）.求的取值范圍，使得對任意的，，且. 【5】（C，上海，理22）已知數(shù)列與滿足. (1)若，且，求的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列的第項是最大項，即（），求證：

14、的第項是最大項； (3)設(shè).求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且. 【6】（C，上海，理23）對于定義域為的函數(shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期.已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為.設(shè)單調(diào)遞增，. (1)驗證是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)； (2)設(shè)，證明對任意，存在，使得； (3)證明：“為方程在上的解”的充要條件是“為方程在上的解”，并證明對任意都有. 【7】（C，安徽，理21）設(shè)函數(shù). (I)討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值； (II)記，求函數(shù)在上的最大值； (III)在(II)中，取，求滿足條件時

15、的最大值． 【8】（C，陜西，理21）設(shè)是等比數(shù)列，，，，的各項和，其中，，． (I)證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且； (II)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為，比較與的大小，并加以證明． 考點31 坐標系與參數(shù)方程 【1】（A，湖北，理16）、 解析：由曲線的參數(shù)方程為消去， 得，直線的方程為， 解方程組得,. 【2】（A，廣東，理14）、

16、 解析：依題已知直線：和點可化為：和，所以點A與直線的距離為： ． 【3】（A，湖南，文12）、 解析：由得，它的直角坐標方程為，即. 【4】（B，北京，理11）、1 解析：點對應(yīng)的坐標為，極坐標方程對應(yīng)的直角坐標方程為.根據(jù)點到直線的距離公式，. 【5】（B，重慶，理15）、 解析：直線的普通方程為化曲線的極坐標方程為直角坐標方程為聯(lián)立直線與曲線解得交點坐標為，因此交點的極坐標為 【6】（B，廣東，文14）、 解析：由得，由得，所以，聯(lián)立解得，所以與交點的直角坐標為. 【7】（B，安徽，理12）、6 解析：因為圓的普通方程為，其圓心為，直線的普通方程為，圓心到直線的距離

17、為2，所以圓上的點到直線距離的最大值是6． 【8】（A，新課標I，文23理23） 解析：(I)因為，，所以的極坐標方程為，的極坐標方程為. (II)將代入 得，解得，， 故，即. 由于的半徑為，所以的面積為. 【9】（A，新課標Ⅱ，文23理23） 解析：(I)曲線的直角坐標方程為,曲線的直角坐標方程為. 聯(lián)立解得或所以與的交點的直角坐標為和. (II)曲線的極坐標方程為 ,其中. 因此的極坐標為 ,的極坐標為. 所以==. 當時,取得最大值,最大值為4. 【10】（A，福建，理21-II） 解析：(I)消去參數(shù)t，得到圓的普通方程為,由,得 ,所以直線l的直角坐

18、標方程為. (Ⅱ)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即 解得． 【11】（A，湖南，理16-II） 解析：(i)等價于，將 ，代入上式即得曲線C的直角坐標方程是. (ii)將代入得. 設(shè)這個方程的兩個實根分別為，則由參數(shù)t的幾何意義知＝ 【12】（B，江蘇，理21C） 解析：以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點，以極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系. 圓的極坐標方程為 ， 化簡，得. 則圓的直角坐標方程為 . 即， 所以圓的半徑為. 【13】（B，陜西，文23理23） 解析：(I)由，得，從而有，所以. (II)設(shè)，又，則 ，故當 時，取得最小值，此時，

19、點的直角坐標為. 考點32 幾何證明選講 【1】（A，天津，文6理5）、A 解析：設(shè)，在圓中， ，， ,,. 第1題圖 第2題圖 第3題圖 【2】（A，湖北，理15）、 解析：由圓的切割線定理知, 又,故. 又由知. 【3】（B，重慶，理14）、2 解析：由切割線定理知:，又因為 由此得由相交弦定理知：所以 第4題圖 【4】（B，廣東，文15）、3 解析：因為是圓的切線方程，所以，所以，解得或（舍去）. 連接OC，則，由，得，所以，所以，故. 【5】（B，廣東，理15）、 解析:如圖所示，連接OC,因為OD//

20、AC,又所以又O為AB線段的中點，所以 在中，由直角三角形的射影定理可得OD=8. 第5題圖 第6題圖 【6】（A，新課標I，理22） 解析：(I)連接，由己知得，⊥,⊥. 在△中，由己知得，， 故 連結(jié)，則 又 所以 故是☉的切線. (II)設(shè)，，由己知得，. 由射影定理可得， 所以，即 可得，所以. 【7】（A，新課標Ⅱ，文22理22） 解析：(I)由于是等腰三角形,,所以是的平分線.又因為⊙分別與、相切于點,所以，故,從而∥. (II)由(I)知,,,故是的垂直平分線.又為⊙的弦,所以在上. 連接,則. 由等于

21、⊙的半徑得,所以,因此和都是等邊三角形.因為,所以,. 因為,,所以.于是,. 第7題圖 第8題圖 【8】（A，江蘇，理21A） 解析：因為，所以. 又因為，所以. 又為公共角，可知∽. 【9】（A，湖南，理16-I） 解析：(i)如圖所示， 因為M，N分別是弦AB,CD的中點，所以O(shè)MAB,ONCD,即OME=， ENO=，OME+ENO =，又四邊形的內(nèi)角和等于，故MEN+NOM=； (ii)由(i)知，O,M,E,N四點共圓，故由割線定理即得. 第9題圖 第10題圖 【10】（B，陜西，文22理22）

22、解析：(I)因為為圓直徑，則，又，所以，從而. 又切圓于點，得，所以. (II)由(I)知平分，則，又，從而. 所以，所以.由切割線定理得，即 ，故，即圓直徑為3. 考點33 不等式選講 【1】（B，重慶，文14）、 解析：由 =. 【2】（B，重慶，理16）、-6或4 解析：當時， 此時所以 當時，顯然不成立. 當時， 此時所以 綜上可知或. 【3】（A，新課標I，文24理24） 解析：(I)當時，化為 . 當時，不等式化為，無解； 當時，不等式為，解得； 當時，不等式化為，解得. 所以的解集為. (II)由題設(shè)可得 所以函數(shù)的圖像與

23、軸圍成的三角形的三個頂點分別為，， . 的面積為. 由題設(shè)得，故. 所以的取值范圍為. 【4】（A，新課標Ⅱ，文24理24） 解析：(I)因為, 由題設(shè)，得,因此 . (II)(ⅰ)必要性 若, 則, 即. 因為,所以. 由(I)得. (ⅱ)充分性 若, 則, 即, 因為,所以. 于是 ,因此. 綜上,是的充要條件. 【5】（A，江蘇，理21D） 解析：原不等式可化為或，解得或. 綜上，原不等式的解集是. 【6】（A，福建，理21-III） 解析：(I)因為 當且僅當時，等號成立. 又，所以,所以的最小值為, 所以． (

24、II)由(1)知，由柯西不等式得 ，即. 當且僅當,即時，等號成立，所以的最小值為. 【7】（A，湖南，理16-III） 解析：由， 得 . (i)由基本不等式及，有 ，即. (ii)設(shè)與可同時成立，則由及可得. 同理 . 從而這與相矛盾，故與不可能同時成立. 【8】（B，陜西，文24理24） 解析：(I)由得，則解得. (II) ,當且僅當，即時等號成立，故. 考點34 創(chuàng)新與拓展 【1】（B，湖北，理10）、B 解析：由的性質(zhì)知若，則； 若，則，即； 由知，，則可取4； ，其中，故不能取5. 【2】（B，湖北，文10理9）、C 解析：由題意

25、知，,， ， ，，，所以由新定義集合可知，或. 當時，，所以此時中元素的個數(shù)有:個; 當時，，，這種情形下和第一種情況下除的值取或外均相同，即此時有，由分類計數(shù)原理知，中元素的個數(shù)為個. 【3】（B，廣東，理8）、B 解析：正四面體的四個頂點是兩兩距離相等的，即空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值最多等于4.故選B. 【4】（B，浙江，理6）、A 解析：根據(jù)題中所給出的定義所代表的實際含義為集合互異的元素個數(shù).命題①的逆否形式為：“”是“”的充分必要條件，因此命題①是正確的. 結(jié)合Venn圖以及題中的定義不難推出命題②是正確的． 【5】（C, 上海，理17）

26、、B 解析：取，三個方程都有實根，排除A； 取，則B滿足條件； 取，則方程①無實根，且方程②有實根，但方程③有實根，排除C； 取，則方程①無實根，且方程②無實根，但方程③有實根，排除D.故選B. 注 若，則方程①無實根，且方程②無實根，方程③也無實根，所以在得到B可能滿足條件后還要排除其他情況. 【6】（C，上海，文理18）、A 解析：因點在圓上，所以，即.又點在上，而，因為直線與圓在第一象限交點為，所以. 于是 選A. 【7】（C，廣東，文10）、A 解析：對于：①當，可以從0,1,2,3這四個數(shù)任取一個，因而有444=64； ②當，可以從0,1,2這三個數(shù)任取一個

27、，因而有333=27； ③當，可以從0,1這兩個數(shù)任取一個，因而有222=8； ④當，都取值0，只有1種情況. 故. 對于:先處理前面兩個，當，可以從0,1,2,3這四個數(shù)任取一個，有4種； 當，可以從0,1,2這3個數(shù)任取3個； 當，可以從0,1這兩個數(shù)任取2個； 當，=0只有1種. 故前面兩個的可能結(jié)果有4+3+2+1=10種，同理得后面有10種，故，所以. 【8】（A，上海，文5理3）、16 解析：由已知可得， ，所以 【9】（B，山東，文14）、 解析：由題意知： ，當且僅當時， 取得最小值. 【10】（C，上海，文14理13）、8 解析：兩個正弦

28、函數(shù)值差的絕對值最大值是最高點和最低點的縱坐標的差，因此只要取相鄰最高點和最低點，兩端點取零點即可.當，，，時， ,所以的最小值為8. 【11】（A，福建，理21-I） 解析：(1)因為 所以. (2)由AC=B得, 故. 【12】（B，江蘇，理21B）、1 解析：由已知，得， 即， 則，即， 所以矩陣. 從而矩陣的特征多項式， 所以矩陣的另一個特征值為1. 考點35 交匯與整合 【1】（C，上海，文17理16）、D 解析：法1 設(shè)，則由復(fù)數(shù)乘法（三角形式）的幾何意義得 ，選D. 法2 設(shè)，則是正三角形，所以解得，選B. 【2】（C，江蘇，文理14）

29、、 解析： ， 因此. 【3】（A，湖北，理20） 解析：(I)設(shè)每天兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為，相應(yīng)的獲利為，則有 （1） 目標函數(shù)為． 第3題圖1 第3題圖2 第3題圖3 當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖1，三個頂點分別為. 將變形為. 當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利 ． 當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖2，三個頂點分別為．將 變形為，當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利． 當時，（1）表示的平面區(qū)域如圖3， 四個頂點分別為. 將變形為， 當時，直線：在軸上的截距最大，最大獲利 ． 故最大獲利的分

30、布列為 8160 10200 10800 0.3 0.5 0.2 因此， . (II)由(I)知，一天最大獲利超過10000元的概率，由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為 . 【4】（C，上海，文23） 解析：（1）因，所以，所以是首項為1、公差為6的等差數(shù)列，故 . (2) 法1 ，， ，故 ， 于是，所以 . 所以，對任意的，均有，即的第項是最大項. 法2 當時， . 同理，當時，，即 . 于是，對任意的，均有，即的第項是最大項. (3)因，所以 以上各式相加可得 . 當時也成立，所

31、以. 因為對任意，，，所以，特別地，，故. 對此時任意的， 當時，，且單調(diào)遞減，有最大值， ，且單調(diào)遞增，有最小值，故的最大值為，最小值為，所以的最大值為，最小值為，由，解得 . 【5】（C，上海，理22） 解析：(1)參見【4】（C，上海，文23）（1）的解析. (2)參見【4】（C，上海，文23）（2）的解析. (3)因為，故， 當時，符合上式，所以 ①當時，單調(diào)遞減，有最大值； 單調(diào)遞增，有最小值 ，所以，又，所以. ②當時，，，所以，，所以，不滿足條件. ③當時，當時，無最大值；當時，無最小值. 綜上所述，. 【6】（C，上海，理2

32、3） 解析：(1)的定義域為， ，即是以為余弦周 期的余弦周期函數(shù). (2)對任意，由于值域為，所以一定存在，使得. 當時，因為單調(diào)遞增，所以 ，與矛盾，所以；同理可得.故存在，使得. (3)必要性：設(shè)，因是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，所以 ，其中，故為方程在上的解. 充分性：因為為方程在上的解，所以，.因是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，所以.由得，即為方程在上的解. 再證對任意都有 . 由（2）知，存在，使得而是函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間， 類似地可以證明：是在上的解，當且僅當是在上的解.從而在與上的解的個數(shù)相同. 故 對于，， ，而，故 類似地，當時，有

33、 所以結(jié)論成立. 【7】（C，安徽，理21） 解析： (I)， ， 因為， 所以. ①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值； ②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無極值； ③對于，在內(nèi)存在唯一的使得． 當時，函數(shù)單調(diào)遞減， 當時，函數(shù)單調(diào)遞增， 因此，時，函數(shù)在處有極小值． (II)時， ， 當時，取，等號成立； 當時，取，等號成立； 由此可知，在上的最大值為； (III)法1 即為，此時，從而． 取，則，且． 第7題圖 可知，滿足條件時最大值為1． 法2 即為，在平面直角坐標系中，對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，而，亦即，對應(yīng)曲線是開口向上的拋物線向上平移個單位所得，

34、其在上的最大值是1. 【8】（C，陜西，理21） 解析：(I) ，則， ，則在內(nèi)至少存在一個零點. 又，故在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有且僅有一個零點.因為是的零點，所以，即，故. (II)法1 由題設(shè), ,設(shè) ，. 當時，. 當時， .若， .若， . 所以在上遞增，在上遞減，所以，即. 綜上所述，當時，；當時，. 法2 由題設(shè), , ,. 當時，. 當時，用數(shù)學(xué)歸納法證明. ①當時，， 所以成立. ②假設(shè)時，不等式成立，即 . 那么，當時， .又 . 令，則 .所以當時，，在上遞減；當時，，在上遞增.所以，從而 . 故，即時不等式也成立.由①和②知，對一切的整數(shù)，都有. 法3 由已知，記等差數(shù)列為，等比數(shù)列為.則，, 所以， ,令 ，當時， ,所以.當時， .而，所以. 若，，； 若，，. 從而在上遞減，在上遞增，所以，所以當且時，，又，，故. 綜上所述，當時，；當時，.