高三數(shù)學復習 第2篇 第11節(jié) 導數(shù)的簡單應(yīng)用

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第二篇 第11節(jié) 一、選擇題 1.函數(shù)y=(3-x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(-∞,0)        B.(0,+∞) C.(-∞,-3)和(1,+∞) D.(-3,1) 解析:y′=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3), 由y′>0?x2+2x-3<0?-3

2、 A.11或18 B.11 C.18 D.17或18 解析:∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10, ∴f(1)=10,且f′(1)=0, 即解得或 而當時,函數(shù)在x=1處無極值,故舍去. ∴f(x)=x3+4x2-11x+16, ∴f(2)=18.故選C. 答案:C 3.(高考大綱全國卷)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則c等于(  ) A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1 解析:∵y′=3(x+1)(x-1), ∴當x=-1或x=1時取得極值, 由題意得f(1)=0或f(-1)=0, 即c

3、-2=0或c+2=0, 解得c=2或c=-2. 故選A. 答案:A 4.若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則導函數(shù)f′(x)的圖象不可能是(  ) 解析:若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則此函數(shù)在某點兩側(cè)的單調(diào)性相反,也就是說導函數(shù)f′(x)在此點兩側(cè)的導函數(shù)值的符號相反,所以導函數(shù)的圖象要穿過x軸,觀察四個選項中的圖象只有D項是不符合要求的,即f′(x)的圖象不可能是D. 答案:D 5.(20xx福建廈門質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-,1) B.[-,1) C.[-

4、2,1) D.(-,-2] 解析:f′(x)=3x2-3=0, 得x=1,且x=1為函數(shù)的極小值點,x=-1為函數(shù)的極大值點. 函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,6-a2)上, 則函數(shù)f(x)極小值點必在區(qū)間(a,6-a2)內(nèi), 即實數(shù)a滿足a<1<6-a2 且f(a)=a3-3a≥f(1)=-2. 解a<1<6-a2得,-

5、20xx河南洛陽模擬)若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是(  ) A.[-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1) 解析:由題意可知f′(x)=-(x-2)+≤0, 在x∈(1,+∞)上恒成立, 即b≤x(x-2)在x∈(1,+∞)上恒成立, 由于φ(x)=x(x-2)=x2-2x在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),故只要b≤-1即可. 答案:C 二、填空題 7.已知向量a=ex+,-x,b=(1,t),若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1,1)上存在增區(qū)間,則t的取值范圍為________.

6、解析:f(x)=ex+-tx,x∈(-1,1),f′(x)=ex+x-t,函數(shù)在(x1,x2)?(-1,1)上單調(diào)遞增, 故ex+x>t,x∈(x1,x2)時恒成立,故e+1>t. 答案:(-∞,e+1) 8.(20xx福建廈門外國語學校高三模擬)若函數(shù)f(x)=x4-ax3+x2-2有且僅有一個極值點,求實數(shù)a的取值范圍________. 解析:f′(x)=4x3-3ax2+2x=x(4x2-3ax+2),函數(shù)f(x)=x4-ax3+x2-2有且只有一個極值點的充要條件是9a2-32≤0, 解得-≤a≤. 答案:-, 9.(20xx鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4

7、在x=2處取得極值,若m,n∈[-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是________. 解析:f′(x)=-3x2+2ax, 根據(jù)已知=2, 得a=3, 即f(x)=-x3+3x2-4. 根據(jù)函數(shù)f(x)的極值點,可得函數(shù)f(m)在[-1,1]上的最小值為f(0)=-4,f′(x)=-3n2+6n在[-1,1]上單調(diào)遞增, 所以f′(n)的最小值為f′(-1)=-9. [f(m)+f′(n)]min=f(m)min+f′(n)min=-4-9=-13. 答案:-13 10.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________. 解析:f′(x)= =>0, 即cos

8、x>-, 結(jié)合三角函數(shù)圖象或是單位圓中的三角函數(shù)線知道,2kπ-0), 當a>0時,f(x)的增區(qū)間為(0,

9、1),減區(qū)間為(1,+∞); 當a<0時,f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1); 當a=0時,f(x)不是單調(diào)函數(shù). (2)由(1)得f′(2)=-=1, 即a=-2, ∴f(x)=-2ln x+2x-3, ∴g(x)=x3++2x2-2x, ∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在區(qū)間(t,3)內(nèi)總不是單調(diào)函數(shù), 即g′(x)=0在區(qū)間(t,3)內(nèi)有變號零點. 由于g′(0)=-2, ∴ 當g′(t)<0,即3t2+(m+4)t-2<0對任意t∈[1,2]恒成立, 由于g′(0)<0, 故只要g′(1)<0且g′(2)<0, 即m<-

10、5且m<-9, 即m<-9; 由g′(3)>0, 即m>-. 所以-0. ①當2a+1≤0,即a≤-時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增; ②當0<2a+1<1,即-

11、 ③當2a+1=1,即a=0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增; ④當2a+1>1,即a>0時,函數(shù)f(x)在(1,2a+1)上單調(diào)遞減,在(0,1),(2a+1,+∞)上單調(diào)遞增. (2)根據(jù)(1),當a∈,時,函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減. 若x1=x2,則不等式|f(x1)-f(x2)|≤λ-對任意正數(shù)λ恒成立,此時λ∈(0,+∞). 若x1≠x2,不妨設(shè)1≤x1f(x2),>, 原不等式即f(x1)-f(x2)≤λ-, 即f(x1)-≤f(x2)-對任意的a∈,,x1,x2∈[1,2]恒成立. 設(shè)g(x)=f(x)-,問題即對任意的

12、a∈,,x1,x2∈[1,2]不等式g(x1)≤g(x2)恒成立,問題等價于函數(shù)g(x)在[1,2]上為增函數(shù), 故g′(x)≥0對任意a∈,,x∈[1,2]恒成立. g′(x)=x-(2a+2)++≥0, 即x3-(2a+2)x2+(2a+1)x+λ≥0, 即(2x-2x2)a+x3-2x2+x+λ≥0, 對任意a∈,恒成立. 由于x∈[1,2],2x-2x2<0, 故只要(2x-2x2)+x3-2x2+x+λ≥0, 即x3-7x2+6x+λ≥0對任意x∈[1,2]恒成立. 令h(x)=x3-7x2+6x+λ,h′(x)=3x2-14x+6<0恒成立, 故函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù), 所以h(x)min=h(2)=λ-8, 只要λ-8≥0即可, 即得λ≥8, 故實數(shù)λ的取值范圍是[8,+∞).

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