第一類邊界問題的有限差分法探討

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1、. 第一類邊界問題的有限差分法探討 摘要：本次重點(diǎn)是對(duì)于第一類邊界問題的兩種不同方法的對(duì)比研討，通過計(jì)算機(jī)仿真有限差分法和計(jì)算分離變量法對(duì)同一問題的求解，對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，能夠發(fā)現(xiàn)有限差分法更加快捷簡便，只要迭代次數(shù)足夠多就能使誤差趨于零。而分離變量法則是準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果，只是運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜。 關(guān)鍵字:有限差分法，分離變量法，加速收斂因子，迭代次數(shù)，邊界條件。 引言：在給定的三類邊界條件①下求解標(biāo)量位或矢量位的泊松方程或拉普拉斯方程的解一般的理論依據(jù)是唯一性定理和得加原理，由此而得出的解題方法有很多。主要分為兩大類：一是解析法（如分離變量法，鏡像法②等），二是數(shù)值法（如有限差分法，有限元法

2、③等）。這兩種方法各有優(yōu)點(diǎn)和不足④，相比較而言在許多實(shí)際問題中由于邊界條件過于復(fù)雜而無法求得解析解。這就需要借助于數(shù)值法來求電磁場的數(shù)值解。有限差分法便是一種比較容易的數(shù)值解法。本次研討就以第一類邊界問題進(jìn)行為例來分析研究有限差分法。 一、 有限差分法的定義： 微分方程和積分微分方程數(shù)值解的方法為有限差分法。基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替， 這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似， 積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組 ，

3、 解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。 精品 . 二、 有限差分法解題的基本步驟： （1）、區(qū)域離散化，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格； （2）、近似替代，即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)； （3）、逼近求解。換而言之，這一過程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來代替偏微分方程的解的過程。 三、 有限差分法公式的推導(dǎo)： 把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場分布用網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解來代替。網(wǎng)格劃分的充分細(xì)，才能夠達(dá)到足夠的精度。應(yīng)用有限差分法計(jì)算靜態(tài)場邊值

4、問題時(shí)，需要把微分方程用差分方程替代。 用圖形法解釋如下： 精品 . 有限差分網(wǎng)格劃分 在由邊界L界定的二維區(qū)域D內(nèi)，電位函數(shù)φ滿足拉普拉斯方程且給定第一邊界條件，則： 如圖將區(qū)域D劃分為正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，兩相鄰平行網(wǎng)格線間的距離稱為步距 h。然后，拉普拉斯方程離散化，對(duì)于任一點(diǎn)0，有一階偏導(dǎo)數(shù)： 而后，對(duì)于二階偏導(dǎo)數(shù)： 精品 . 對(duì)于Y軸同理： 因此拉普拉斯方程的差分格式為： 緊鄰邊界節(jié)點(diǎn)的拉普拉斯方程的差分格式為： 其中p、q為小于1的正數(shù)；1、2為邊界

5、上的節(jié)點(diǎn)，其值為對(duì)應(yīng)邊界點(diǎn)處的值，是已知的。具體如圖： 緊鄰邊界節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格劃分 精品 . 應(yīng)用數(shù)值計(jì)算解釋（泰勒公式展開法）： 1點(diǎn)電位的泰勒公式展開為 3點(diǎn)電位的泰勒公式展開為 ，當(dāng)h很小時(shí)，忽略4階以上的高次項(xiàng)，得 同樣可得 將上面兩式相加得 在上式中代入，得 精品 . 對(duì)于，即F=0的區(qū)域，得到二維拉普拉斯方程的有限差分形式 通過以上兩種方法的推導(dǎo)，可得任意點(diǎn)的電位等于圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。當(dāng)用網(wǎng)格將區(qū)域劃分后，對(duì)每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)寫出類似的式子，就得到方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)數(shù)相等的線性方程組。

6、已知的邊界條件在離散化后成為邊界上節(jié)點(diǎn)的已知電位值。 四、 差分方程組的解法 方法一：高斯——賽德爾迭代法（簡單迭代法） 其步驟是先對(duì)每一網(wǎng)格點(diǎn)設(shè)一初值。然后按一個(gè)固定順序（一般點(diǎn)的順序按“自然順序”，即：從左到右，從下到上）如圖： 之后，利用二維拉普拉斯方程的有限差分形式用圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值作為它的新值，當(dāng)所有的點(diǎn)計(jì)算完后，用它們的新值代替舊值，即完成了一次迭代。然后再進(jìn)行下一次迭代，如此循環(huán)。如下式： 精品 . （迭代公式1） 其式中的上角標(biāo)（k）表示k次近似值，下腳標(biāo)i，j表示節(jié)點(diǎn)所在位置，即第i行第j列的交點(diǎn)。其中要特別注意：在迭代過程

7、中遇到邊界點(diǎn)式，需將邊界條件 帶入。 循環(huán)迭代時(shí)當(dāng)所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)滿足以下條件時(shí)停止迭代： 其中，W是預(yù)定的最大允許誤差。 方法二：逐次超松弛法 簡單迭代法在解決問題時(shí)收斂速度比較慢，實(shí)用價(jià)值不大。實(shí)際中常采用逐次超松弛法（又稱高斯——賽德爾迭代法變形），相比之下它有兩點(diǎn)重大的改進(jìn) ，第一是計(jì)算每一網(wǎng)格點(diǎn)時(shí)，把剛才計(jì)算得到的臨近點(diǎn)的新值代入，即在計(jì)算(i,j)點(diǎn)的電位時(shí)，把它左邊的點(diǎn)(i-1,j)和下面的點(diǎn)(i,j-1)的電位用剛才算過的新值代入，即: （迭代公式2） 第二，是引入“加速收斂因子”。上式中的α即為“加速收斂因子”，且1《 α

8、<2。特別關(guān)注的是逐次超松弛法收斂的快慢與α有明顯關(guān)系。并且最佳α的取值隨著條件的不同而不同，如何選擇最佳α，是個(gè)復(fù)雜問題。 精品 . 在計(jì)算時(shí)可以嘗試求取最佳α值，以使計(jì)算快速。 五、 應(yīng)用計(jì)算機(jī)仿真有限差分法解決具體問題 本次討論我選擇第四題為具體實(shí)例進(jìn)行研究。 題目： 如圖所示，有一長方形的導(dǎo)體槽，a = 20，b = 15，設(shè)槽的長度為無限長，槽上有一塊與槽絕緣的蓋板，電位為100V，其他板電位為零，求槽內(nèi)的電位分布。 通過MATLAB進(jìn)行仿真，運(yùn)用有限差分法，源代碼如下： u=zeros(15,20); i=2:14; u(i,

9、20)=100; for j=1:20 for i=2:14 u(i,j)=100/19*(j-1); end end a=input(please input a(1

10、1,j); f=u(i,j-1); g=0.25.*(c+d+e+f); u(i,j)=b+a.*(g-b); end end end mesh(u); 通過對(duì)相關(guān)資料的查詢及學(xué)習(xí)，我認(rèn)為運(yùn)用MATLAB編程就是要將有限差分法的基本公式實(shí)現(xiàn)。以此為出發(fā)點(diǎn)可以讓解析和編寫過程相對(duì)簡單化。 首先，先要對(duì)電場的邊界條件進(jìn)行設(shè)定： u=zeros(15,20); i=2:14; u(i,20)=100; 使其滿足題目的要求右側(cè)邊界電位為100，其余三邊為0，由此也可以判斷出此題目為

11、第一類邊界條件的問題。 精品 . 同時(shí)，此處，也要特別注意，因?yàn)樵贛ATLAB程序中，編寫一個(gè)矩陣的默認(rèn)順序是從左到右，從上到下。另外，命名矩陣時(shí)是先編寫行，后編寫列，因此，對(duì)于u(i,j)中，i代表的是第i行即對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)，j代表的是第j列即對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)，與坐標(biāo)表示有一定的差別，需要區(qū)分和注意。 之后是相對(duì)關(guān)鍵的編寫部分，就是對(duì)電場內(nèi)部的電位設(shè)定，此處，我通過分離變量法將u分解為u（x）和u(y)，分別求解。為讓計(jì)算簡便，我設(shè)定其內(nèi)電場為線性變化的，即u（x）=kx+b，u（y）=0作為初值進(jìn)行計(jì)算（應(yīng)用分離變量法得到的結(jié)果是u(x)=Bsinh m∏/15 u(y)=Asinm∏/1

12、5?？梢酝ㄟ^此處在得出結(jié)果后進(jìn)行對(duì)比和誤差分析。)又因?yàn)橐贛ATLAB中進(jìn)行運(yùn)算，所以首先要轉(zhuǎn)化為i和j的形式，因此可得：u(j)=kj+b和u(i)=0。從而得到方程組： u(1)=k+b=0; u(20)=20k+b=100。 解得：u(j)=100/19*(j-1),即：u(i,j)=100/19*(j-1)。由此得到了內(nèi)電場除去上下邊界（衡為零）的電位方程，在MATLAB中我運(yùn)用了for循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)其內(nèi)電場的賦值，源代碼如下： for j=1:20 for i=2:14 u(i,j)=100/19*(j-1); end 精品 .

13、end 將電場各點(diǎn)的電位賦初值完成后，就需要帶入公式進(jìn)行計(jì)算了。在之前先要對(duì)“加速收斂因子” α的最佳值和預(yù)定的最大允許誤差進(jìn)行確定。關(guān)于加速因子的最佳值確定問題，我通過學(xué)習(xí)和查閱相關(guān)資料得到了兩種方法，如下： 一是逐步搜索法； 將α的取值區(qū)間（1,2）進(jìn)行M等分，α分別取1+1/M,1+2/M……1+（M-1）/M,通過上面提到的迭代公式2依次對(duì)同一個(gè)精度要求求出迭代次數(shù)k的值，并從中選出“加速收斂因子” α的最佳值，具體步驟如下： 步驟1 給定等分?jǐn)?shù)M和精度要求ε的值，令α的初始值為1； 步驟2 令p=1,2,3,……M-1，重復(fù)步驟3-5； 步驟3 αp=1+p/

14、M; 步驟4 按照如下公式迭代 找出符合精度要求ε的迭代次數(shù)kp; 步驟5 比較找出kp值最小的αp為最佳的加速收斂因子α的值。 二是黃金分割法： 依據(jù)黃金分割法的思想，通過計(jì)算機(jī)自動(dòng)選取最佳加速收斂因子α的近似值，具體步驟如下： 步驟1 對(duì)（1,2）區(qū)間第一次0.618的分割，區(qū)間分界a 精品 . 1=1,b1=2,在（a1，b1）區(qū)間分割出黃金點(diǎn)point1= a1+0.618(b1- a1),進(jìn)行迭代公式2的迭代，求出迭代次數(shù)K值，如果迭代次數(shù)沒有超出規(guī)定的發(fā)散常數(shù)，迭代結(jié)束，否則轉(zhuǎn)為步驟2。 步驟2 在（1,1.618）和（1.618,2）之

15、間進(jìn)行第二次的黃金分割，找出分割點(diǎn)point2=a2+0.618(b2- a2),其中a2和b2是新分割區(qū)間的左右邊界。找出迭代次數(shù)最少的α。 以上兩種方法是比較具有實(shí)踐和研究價(jià)值進(jìn)行的，在這里介紹和分享給大家探討。在我分析過后認(rèn)為第二種較好，因?yàn)槠淇梢酝ㄟ^計(jì)算機(jī)自動(dòng)選取到最佳的加速收斂因子，但是實(shí)施起來比較復(fù)雜，要通過MATLAB或其它語言進(jìn)行編碼實(shí)驗(yàn)得到，我初步試驗(yàn)過，沒能成功，就運(yùn)用了第一種方法進(jìn)行了計(jì)算，但是，我發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算過于復(fù)雜，筆算正確的成功率比較低，而運(yùn)用電腦編程要重復(fù)多次運(yùn)算，雖然，計(jì)算機(jī)運(yùn)算快速且方便，但是，這樣的源代碼同樣過于復(fù)雜，可以進(jìn)一步進(jìn)行深入的研究。 本次的題目

16、解答中，由于是應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算，所以計(jì)算速度和計(jì)算效率在不同的α取值中沒有明顯區(qū)別。因此，我就只是設(shè)定了一個(gè)1~2之間的一個(gè)數(shù)字：1.8為“加速收斂因子” α的值了，進(jìn)行了近似計(jì)算，實(shí)驗(yàn)誤差在可接受的范圍。 然后，是對(duì)于迭代次數(shù)的確定。當(dāng)?shù)鷿M足停止條件： 時(shí)，對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)即為最終的迭代次數(shù)，這里的W為設(shè)定好的允許誤差，為從簡方式，我選擇運(yùn)用輸入迭代次數(shù)，并通過多次輸入對(duì)比輸出結(jié)果選取最佳迭代次數(shù)的方法來選取，存在了一定的誤差。但是，相比于我運(yùn)用上面的公式求解計(jì)算迭代次數(shù)，進(jìn)而得出的圖形的誤差比要小許多，我一直嘗試進(jìn)行改進(jìn)，但一直沒能很好的解決誤差過大的問題：最主要的問題是邊界值一

17、直不滿足我的設(shè)定值。希望通過進(jìn)一步的研討和大家的交流能過得到最優(yōu)方式。 精品 . 通過以上的分析，我得出了進(jìn)一步的編程代碼： a=input(please input a(1

18、代求解，并用圖形形式表示出來。其源代碼如下： for n=1:m; for i=2:14; for j=2:19; b=u(i,j); c=u(i,j+1); d=u(i+1,j); 精品 . e=u(i-1,j); f=u(i,j-1); g=0.25.*(c+d+e+f); u(i,j)=b+a.*(g-b); end end end mesh(

19、u); 上述代碼中，b,c,d,e,f分別場內(nèi)一點(diǎn)及其左右上下各點(diǎn)的電位值，之后的g和u（i，j）則實(shí)現(xiàn)了逐次超松弛法的迭代，最后用mesh實(shí)現(xiàn)圖形的輸出。 六、 結(jié)果和誤差的對(duì)比分析 由分離變量法得到的初步結(jié)果是u(x)=Bsinh m∏/15和u(y)=Asinm∏/15，從而應(yīng)有u=Csinh(m∏/15)sinm(∏/15)的結(jié)果，從其表達(dá)式的形式，我們可以簡單推斷出電場的電位在x軸上的分布是成虛指數(shù)函數(shù)的形式呈現(xiàn)，而在y軸上是成正弦函數(shù)呈現(xiàn)的，這和通過有限差分法的計(jì)算機(jī)仿真的圖形基本符合，如下圖： 精品 . 因此，可以基本確定通過計(jì)算機(jī)仿真得到的結(jié)果的正確性。 另外

20、，可能存在較大誤差的方面是跌代次數(shù)，因?yàn)榈螖?shù)是我們?nèi)斯ぽ斎氲模耘袛嗥湔_與否要通過輸出的結(jié)果來判定、來選擇，下面幾幅圖是當(dāng)“加速收斂因子” α=1.8時(shí)，不同的迭代次數(shù)m的對(duì)應(yīng)圖形： m=1時(shí)： m=10時(shí)： 精品 . m=20 m=30 m=32 精品 . m=35 m=40 通過上面迭代次數(shù)m取不同的值對(duì)應(yīng)的不同圖形分析可以看出，在m=1,10,20時(shí)期計(jì)算結(jié)果都存在較大誤差，圖形與分離變量法得到的結(jié)果相差很大，有明顯的不規(guī)則部分，不成現(xiàn)光滑的曲線。而當(dāng) 精品 . m=30后圖形與分離變量法計(jì)算到的圖形近似，

21、而且圖形規(guī)則，曲線光滑，而且隨著m值的增大圖形的變化非常微小了，因此，我選擇m=32為迭代次數(shù)，所得到的結(jié)果誤差比較小，結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確。 七、 研究結(jié)論 學(xué)習(xí)了運(yùn)用有限差分法計(jì)算第一類邊界條件的電位值，通過計(jì)算機(jī)仿真進(jìn)行了實(shí)際例題的求解，通過與分離變量法求解的對(duì)比，證明可行性和有效性，適用于解決第一類邊界問題，而且更加方便和快捷。同時(shí)，“加速收斂因子”最佳解問題比較復(fù)雜，不過通過計(jì)算機(jī)仿真的過程中，不同數(shù)值“加速收斂因子”的加速效果不易體現(xiàn)出來。跌代次數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果又較大影響，迭代次數(shù)越多，結(jié)果越準(zhǔn)確，誤差越小，但相應(yīng)的計(jì)算也會(huì)更加復(fù)雜，因此只要迭代次數(shù)得到得結(jié)果滿足一定的允許誤差范圍即可。

22、 附錄： ① 三類邊界條件：第一類：已知電位在邊界上的數(shù)值。 第二類：已知電位的導(dǎo)數(shù)在邊界上的數(shù)值。 第三類：已知電位在一部分邊界上的數(shù)值和在其余邊界上的導(dǎo)數(shù)的數(shù)值。 ② 解析法包括：分離變量法，鏡像法，復(fù)變函數(shù)法，保角變換法，格林函數(shù)法。 ③ 數(shù)值法包括：數(shù)值積分法，有限差分法，有限元法，矩量法。 ④ 解析法的優(yōu)點(diǎn)：由有限個(gè)項(xiàng)構(gòu)成閉合解或無窮級(jí)數(shù)，通常具有鮮明的物理意義。 精品 . 缺點(diǎn)：解題范圍窄小，對(duì)邊界形狀十分挑剔。 數(shù)值法的優(yōu)點(diǎn)：解題范圍寬廣，對(duì)邊界的形狀沒有限制。 缺點(diǎn)：數(shù)據(jù)離散，物理意義深藏其中。 心得體會(huì)： 有限差分法的公式套用很簡單，記住結(jié)果很簡單，但是要想深刻理解其內(nèi)容和靈活應(yīng)用則比較困難，需要一定時(shí)間的深刻學(xué)習(xí)和做題應(yīng)用，同時(shí)，這個(gè)方法確實(shí)是一個(gè)非常方便和有效地解決三類邊界條件問題的工具。 MATLAB在電磁場方面的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，其內(nèi)擁有的很多函數(shù)都可以模擬靜電場中的實(shí)例，就比如這次的研討就應(yīng)用了矩陣，通過有限差分法來模擬靜電場的電位分布，相信將來還會(huì)有更多的有意思，有研究價(jià)值計(jì)算和模擬電磁場的相關(guān)知識(shí)。是學(xué)好電磁場必須要牢固掌握的工具。 如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系告知?jiǎng)h除，感謝你們的配合！ 精品