2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (II).doc

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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (II) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1.已知集合，，則等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 A∩B中的元素同時(shí)具有A，B的特征，問題等價(jià)于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝.故選A. 2.若復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，那么實(shí)數(shù)等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 ， 因?yàn)樵搹?fù)數(shù)的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，因此，因此。 故選A. 3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 又.可得，則 故選D. 4.設(shè)函數(shù)，給出下列四個(gè)命題： ①當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)； ②當(dāng)，時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根； ③函數(shù)可能是上的偶函數(shù)； ④方程最多有兩個(gè)實(shí)根. 其中正確的命題是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函數(shù)的解析式結(jié)合奇偶性，單調(diào)性的定義逐一考查所給函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果 【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù) ，則函數(shù)是奇函數(shù)，故正確 ②當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，且值域?yàn)?，則方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故正確 ③若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，即，不存在等式在上成立，故錯(cuò)誤 ④當(dāng)，時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根：， 因此，方程最多有兩個(gè)實(shí)根錯(cuò)誤 綜上所述，正確的命題有①② 故選 【點(diǎn)睛】對于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用定義法來證明，對于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問題，可以利用函數(shù)的值域或者最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，草圖確定其中參數(shù)的范圍。 5. 某企業(yè)有4個(gè)分廠，現(xiàn)有新培訓(xùn)的6名技術(shù)人員，將這6名技術(shù)人員分配到各分廠，要求每個(gè)分廠至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為（ ） A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 【答案】C 【解析】 試題分析：先把6個(gè)人分成4組，每組至少一人 若4個(gè)組的人數(shù)按3、1、1、1分配，則不同的分組方案有種， 若4個(gè)組的人數(shù)按2、2、1、1分配，則不同的分組方案有種， 所以分組方法共有種 在這4組分給4個(gè)廠，不同的分配方法有 故答案選 考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 6.函數(shù)，的大致圖象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意可知：y=，當(dāng)0≤x≤π時(shí)，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，又y=cosx在[0，π]上為減函數(shù)，所以函數(shù)y=x+sinx在[0，π]上為增函數(shù)且增速越來越?。划?dāng)-π≤x＜0時(shí)，∵y=x-sinx，∴y′=1-cosx≥0，又y=cosx在[-π，0）上為增函數(shù)，所以函數(shù)y=x-sinx在[0，π]上為增函數(shù)且增速越來越??；又函數(shù)y=x+sin|x|，x∈[-π，π]，恒過（-π，-π）和（π，π）兩點(diǎn)，所以C選項(xiàng)對應(yīng)的圖象符合． 考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的圖象 點(diǎn)評：在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、導(dǎo)數(shù)的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會和反思． 7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 試題分析：列出循環(huán)過程中S與K的數(shù)值，不滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)． 解：第1次判斷后S=1，k=1， 第2次判斷后S=2，k=2， 第3次判斷后S=8，k=3， 第4次判斷后3＜3，不滿足判斷框的條件，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：8． 故選C． 考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)． 8.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若 平面，則線段長度的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：先判斷出點(diǎn)的位置，確定使得取得最大值和最小值時(shí)點(diǎn)的位置，然后再通過計(jì)算可求得線段長度的取值范圍． 詳解：如下圖所示，分別取棱的中點(diǎn)M、N，連MN，， ∵分別為所在棱的中點(diǎn)，則， ∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF， ∴MN∥平面AEF． ∵， ∴四邊形為平行四邊形， ∴， 又平面AEF，AE?平面AEF， ∴∥平面AEF， 又， ∴平面∥平面AEF． ∵P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且∥平面AEF， ∴點(diǎn)P必在線段MN上． 在中，． 同理，在中，可得， ∴為等腰三角形． 當(dāng)點(diǎn)P為MN中點(diǎn)O時(shí)，，此時(shí)最短；點(diǎn)P位于M、N處時(shí)，最長． ∵，． ∴線段長度的取值范圍是． 故選B． 點(diǎn)睛：本題難度較大，解題時(shí)要借助幾何圖形判斷得出使得取得最值時(shí)的點(diǎn)P的位置，然后再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算． 9.如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ） A. 9 B. C. 18 D. 27 【答案】A 【解析】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)三棱錐A﹣BCD， 三棱錐的外面是長、寬、高為6、3、3的長方體， ∴幾何體的體積V==9， 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查三視圖求幾何體的體積，借助于長方體復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力． 10.若函數(shù)滿足且的最小值為4，則實(shí)數(shù)的值為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 由約束條件作出可行域（如圖），當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn) 時(shí)， 取得最小值，即 ，解之得 故選C. 11.A是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，,則拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AC，過點(diǎn)F作AC的垂線FB，垂足分別為C，B，如圖．由題意知∠BFA＝∠OFA－90＝30，又因?yàn)閨AF|＝4，所以|AB|＝2.點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，則拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程是x＝－1. 故選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用,尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化. 12.已知且，若為的最小值，則約束條件所確定的平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)（橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（ ） A. 29 B. 25 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】 先根據(jù)基本不等式求最值得M值，再畫可行域，根據(jù)可行域求整點(diǎn)個(gè)數(shù). 【詳解】因?yàn)?，所?即作可行域如圖陰影部分，則整點(diǎn)個(gè)數(shù)為，選A. 【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值以及求可行域內(nèi)整點(diǎn)，考查基本分析求解能力，屬中檔題. 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22～23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分。 13.點(diǎn)P從 出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動 弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_____. 【答案】 【解析】 點(diǎn)從出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動弧長到達(dá)點(diǎn) ∴ ∴，即 本題答案為 14.已知，且，函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)P，若在冪函數(shù)圖像上，則＝__________． 【答案】 【解析】 試題分析：由于無論取何值，的圖象都經(jīng)過定點(diǎn)，在指數(shù)函數(shù)的圖象上，則，則 考點(diǎn)：1.對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)，2.指數(shù)計(jì)算 15.若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值等于__________． 【答案】2 【解析】 的展開式中， ， 令 ，展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取最小值為 ； 令 ，展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取最小值為2； 綜上可知：取最小值為2； 16.已知橢圓是橢圓上的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，則的取值范圍是__________．（用表示） 【答案】 【解析】 設(shè) 的坐標(biāo)分別為 和．因線段 的垂直平分線與 軸相交，故 不平行于 軸，即 ．又交點(diǎn)為 ，故，即 ………① 在橢圓上， 將上式代入①，得 ……..② ，可得 且 ， 即答案為 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17.如圖，已知是邊上一點(diǎn). （1）若，且，求的面積； （2）當(dāng)時(shí)，若，且，求的長. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求CD上高，再根據(jù)面積公式求結(jié)果，（2）先根據(jù)直角三角形求，再根據(jù)余弦定理求的長. 【詳解】(1)過A點(diǎn)作AE于E，則 AE=, 則 （2） 所以 因此由得 【點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理以及三角形面積公式結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的. 18.已知數(shù)列滿足，. （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由知：，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出； （2）bn=|11﹣2n|，設(shè)數(shù)列{11﹣2n}的前n項(xiàng)和為Tn，則．當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=Tn；當(dāng)n≥6時(shí)，Sn=2S5﹣Tn． 【詳解】（1）證明：由知， 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 則，. （2）， 設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，則， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 所以. 【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 19.為普及學(xué)生安全逃生知識與安全防護(hù)能力，某學(xué)校高一年級舉辦了安全知識與安全逃生能力競賽，該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，預(yù)賽為筆試，決賽為技能比賽，現(xiàn)將所有參賽選手參加筆試的成績（得分均為整數(shù)，滿分為分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成如下頻率分布表. 分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)段） 頻數(shù)（人數(shù)） 頻率 合計(jì) （1）求表中，，，，的值； （2）按規(guī)定，預(yù)賽成績不低于分的選手參加決賽.已知高一（2）班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格，記高一（2）班在決賽中進(jìn)入前三名的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）見解析；（2）1 【解析】 【分析】 （1）由題意知，參賽選手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值． （2）由題意隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望． 【詳解】（1）由題意知，參賽選手共有（人）， 所以，，，. （2）由（1）知，參加決賽的選手共人，隨機(jī)變量的可能取值為，，， ， ， ， 隨機(jī)變量的分布列為： 因?yàn)椋? 所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題. 求解該類問題，首先要正確理解題意，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所以可能值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計(jì)算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計(jì)算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān). 20.已知四邊形 的四個(gè)頂點(diǎn)在橢圓：上，對角線所在直線的斜率為，且，. （1）當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，求所在直線方程； （2）求四邊形面積的最大值. 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 試題分析：（1）由題意，對角線垂直平分線段，所以直線所在直線的斜率為，得中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以所在直線方程為 ；（2）設(shè)，所在直線方程分別為， ，則，又得，所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大面積為. 試題解析： （1）因?yàn)?，，所以對角線垂直平分線段. 因?yàn)橹本€ 的斜率為，則直線所在直線的斜率為 . 又因?yàn)?，則直線所在直線方程為. 由，解得 則中點(diǎn)的坐標(biāo)為 所以所在直線方程為 ； （2）設(shè)，所在直線方程分別為， ， ， ， 中點(diǎn) . 由得 令 ，得 ， 則 同理 則 又因?yàn)椋灾悬c(diǎn) . 由點(diǎn)在直線上，得， 所以 因?yàn)?，所? 所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大面積為. 21.已知(，且為常數(shù)). (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)若在區(qū)間內(nèi)，存在且時(shí)，使不等式成立，求的取值范圍. 【答案】 (1) 時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2) 【解析】 【分析】 （1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)正負(fù)分類討論單調(diào)區(qū)間，（2）先根據(jù)單調(diào)性化簡不等式，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于零有解，再利用變量分離法確定的取值范圍. 【詳解】(1)∵(且為常數(shù))，∴， ∴①若時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. ②若時(shí)，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)由(1)知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，∴不等式可化為，即，令，則在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴有解，即，∴有解，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，故. 【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)請寫清題號. 22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，. （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求與的公共點(diǎn)的極坐標(biāo). 【答案】(1) (2) 【解析】 試題分析：（1）利用公式化簡極坐標(biāo)方程得到；（2）由題設(shè)可知，是過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線，將代入，解得：，故公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 試題解析： （1）將代入得：. （2）由題設(shè)可知，是過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線， 因此的極坐標(biāo)方程為劃， 將代入，解得：， 將代入得，不合題意，故公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為． 考點(diǎn)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程. 23.已知函數(shù). (1)若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為,求實(shí)數(shù)的值. 【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) . 【解析】 試題分析：（1）由絕對值不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)以零點(diǎn)和分三段討論。 試題分析：(Ⅰ)可化為． 解得：或．實(shí)數(shù)的取值范圍為 （Ⅱ）函數(shù)的零點(diǎn)為和，當(dāng)時(shí)知 如圖可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 解得： 【點(diǎn)睛】絕對值函數(shù)的最值問題，一般按n個(gè)零點(diǎn)分n+1段討論,也可以結(jié)合圖像分析。