2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 (II).doc

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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 (II) 一.填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上．） 1．設(shè)全集，若集合，則 . 2．已知復(fù)數(shù)滿足，則 . 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為 . 4．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是 . 5．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 . 6．在中，，，，則 ． 7．方程的解為 ． 8．若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面積面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為 . 9．若，則= . 10．已知數(shù)列和，其中，的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，若對(duì)于任意，數(shù)列中的第項(xiàng)等于中的第項(xiàng)，則 . 11．設(shè)函數(shù)，若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　?。? 12．在銳角中，，為邊上的一點(diǎn)，與面積分別為2和4，過作于，于，則 ． 13． 已知圓O：，定點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與圓O相較于B，C兩點(diǎn)，兩點(diǎn)B，C均在x軸上方，若OC平分，則直線l的斜率為 . 14．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是 ． 二.解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 15．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn). （1）求證：PE⊥BC； （2）求證：EF∥平面PCD. 16．已知函數(shù)f(x)=. （1）求f(x)的定義域與最小正周期； （2）討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性. 17．在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市A（看做一點(diǎn)）的東偏南角方向，300 km的海面P處，并以20km / h的速度向西偏北45方向移動(dòng)．臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10km / h的速度不斷增大． （1） 問10小時(shí)后，該臺(tái)風(fēng)是否開始侵襲城市A，并說明理由； （2） 城市A受到該臺(tái)風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間為多久？ 18．已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B. （1）求橢圓M的方程； （2）若，求的最大值； （3）設(shè)，直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C，D和點(diǎn)共線，求k. 19．已知數(shù)列與滿足：，，且 ． （1）求的值； （2）設(shè)，證明：是等比數(shù)列； （3）設(shè)證明：． 20．已知函數(shù)，． （1）求在點(diǎn)P(1，)處的切線方程； （2）若關(guān)于x的不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍； （3）若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，求證：．  一.填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上．） 1．. 2． 3． 4． 5． 6． 1 7． 2 8． 9． 10． 2 11． 12． 13． 14． 二.解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 15． 【解析】（1）∵，且為的中點(diǎn)，∴. ∵平面平面，平面平面， ∴平面. ∵面，∴PE⊥BC. （2）如圖，取中點(diǎn)，連接. ∵分別為和的中點(diǎn)，∴，且. ∵四邊形為平行四邊形，且為的中點(diǎn)， ∴， ∴，且，∴四邊形為平行四邊形， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 16． 【解析】（1）的定義域?yàn)? . 所以, 的最小正周期 （2）由,得 設(shè)，易知. 所以, 當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減. 17． 【解析】（1）如圖建立直角坐標(biāo)系， 則城市，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心， 設(shè)t小時(shí)后臺(tái)風(fēng)中心P的坐標(biāo)為，則， 此時(shí)臺(tái)風(fēng)的半徑為， 10小時(shí)后，km，臺(tái)風(fēng)的半徑為160km， 因?yàn)?，?0小時(shí)后，該臺(tái)風(fēng)還沒有開始侵襲城市A. （2）因此，t小時(shí)后臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍可視為以 為圓心，為半徑的圓， 若城市A受到臺(tái)風(fēng)侵襲，則 ，即， 解得 答：該城市受臺(tái)風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間為12小時(shí). 18． 【解析】（1）由題意得，所以， 又，所以，所以， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）設(shè)直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 設(shè)，，則，， 則， 易得當(dāng)時(shí)，，故的最大值為． （3）設(shè)，，，， 則 ①， ②， 又，所以可設(shè)，直線的方程為， 由消去可得， 則，即， 又，代入①式可得，所以， 所以，同理可得． 故，， 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以， 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入化簡可得，即. 19． 【解析】（1）解：由，，可得 又 （2）證明：對(duì)任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 將④代入①，可得 即 又 因此是等比數(shù)列. （3）證明：由（2）可得， 于是，對(duì)任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得 從而 所以，對(duì)任意， 對(duì)于n=1，不等式顯然成立. 所以，對(duì)任意 20． 【解析】（1），，所以點(diǎn)坐標(biāo)為； 又，，則切線方程為， 所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為． （2） + 0 - 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 由， 得； ① 時(shí)，或，滿足條件的整數(shù)解有無數(shù)個(gè)，舍； ② 時(shí)，，得且，滿足條件的整數(shù)解有無數(shù)個(gè)，舍； ③ 時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，無整數(shù)解； 當(dāng)時(shí)，不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解，又，， 因?yàn)樵谶f增，在遞減；所以， 即，即；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為． （3）， 因?yàn)椋? 所以， 即， 令，， 則， 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增． 所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為3． 因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，所以， 即，所以或． 因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以． （附加題） 21．（B） 【解析】由題知，1a3b1-1=1-a3-b=-11-1=-11?1-a=-1，3-b=1， 所以a=2，b=2，M=1232. det(M)=1232=12-23=-4， 所以M-1=-121234-14. 21．（C） 【解析】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為． （2）將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，，則． 又由①得，故，于是直線l的斜率． 22． 【解析】(1) 因?yàn)橹本€y=n與x=-1垂直，所以MP為點(diǎn)P到直線x=-1的距離. 連接PF，因?yàn)镻為線段MF的中垂線與直線y=n的交點(diǎn)，所以MP=PF. 所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線， 焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線為x=-1. 所以軌跡E的方程為y2=4x. (2) 由題意，過點(diǎn)M(-1，n)的切線斜率存在，設(shè)切線方程為y-n=k(x+1)， 聯(lián)立y=kx+k+n，y2=4x， 得ky2-4y+4k+4n=0， 所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0， 即k2+nk-1=0，(*) 因?yàn)棣?=n2+4>0，所以方程(*)存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為k1，k2， 因?yàn)閗1k2=-1，所以∠AMB=90，為定值. 23． 【解析】(1) 由題意知P2=2A22A33=，即P2的值為. (2) 先排第n行，則最大數(shù)在第n行的概率為nn(n+1)2=2n+1; 去掉第n行已經(jīng)排好的n個(gè)數(shù)， 則余下的n(n+1)2 - n=n(n-1)2個(gè)數(shù)中最大數(shù)在第n-1行的概率為n-1n(n-1)2=;… 故Pn=2n+1…23=2n-1(n+1)n…3=2n(n+1)!. 由于2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn≥Cn0+Cn1+Cn2>Cn1+Cn2=Cn+12， 所以2n(n+1)!>Cn+12(n+1)!，即Pn>Cn+12(n+1)!.