精校版高中數(shù)學人教A版選修44學案：第1講3 簡單曲線的極坐標方程 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 三　簡單曲線的極坐標方程 1．了解極坐標方程的意義，了解曲線的極坐標方程的求法． 2．會進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化；了解簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)表示的極坐標方程．(重點、易錯點) 3．能夠運用直線和圓的極坐標方程解決問題．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　曲線與方程 閱讀教材P12“圓的極坐標方程”以上部分，完成下列問題． 在平面直角坐標系中，平面曲線C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲線與方程滿足如下關(guān)系： (1)曲線C上點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解； (2)以方程f(

2、x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上． 教材整理2　極坐標方程 閱讀教材P12～P13“例1”以上部分，完成下列問題． 一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標方程． 下列點不在曲線ρ＝cos θ上的是(　　) A. B. C. D. 【解析】　點的極坐標滿足ρ＝，θ＝－，且ρ≠cos θ＝cos＝－. 【答案】　D 教材整理3　常見的極坐標方程 閱讀教材P13～P15，完成下列問題． 曲　線 圖　形 極坐標方程

3、圓心在極點，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ<2π) 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos_θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π) 過極點，傾斜角為α的直線 θ＝α或θ＝α＋π 過點(a,0)，與極軸垂直的直線 ρcos_θ＝a 過點，與極軸平行的直線 ρsin_θ＝a(0<θ<π) 極坐標方程ρ＝cos所表示的曲線是(　　) A．雙曲線 B．橢圓 C．拋物線 D．圓 【解析】　∵ρ＝cos＝cosθ＋sin θ， ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， ∴x2＋y2＝x＋y，這個方程表示一個圓． 【答案】　

4、D [質(zhì)疑手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問

5、3：　 解惑：　 [小組合作型] 直線或射線的極坐標方程 　求過點A(1,0)，且傾斜角為的直線的極坐標方程． 【思路探究】　畫出草圖―→設(shè)點M(ρ，θ)是直線上的任意一點―→建立關(guān)于ρ，θ的方程檢驗． 【自主解答】　 法一　設(shè)M(ρ，θ)為直線上除點A以外的任意一點． 則∠xAM＝，∠OAM＝， ∠OMA＝－θ. 在△OAM中，由正弦定理

6、得 ＝， 即＝，故ρsin＝， 即ρ＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 經(jīng)檢驗點A(1,0)的坐標適合上述方程， 所以滿足條件的直線的極坐標方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0. 法二　以極點O為直角坐標原點，極軸為x軸，建立平面直角坐標系xOy. ∵直線的斜率k＝tan＝1， ∴過點A(1,0)的直線方程為y＝x－1. 將y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1， 其中，0≤θ<，ρ≥0和<θ<2π，ρ≥0. 法一通過運用正弦定理解

7、三角形建立了動點M所滿足的等式，從而集中條件建立了以ρ，θ為未知數(shù)的方程；法二先求出直線的直角坐標方程，然后通過直角坐標向極坐標的轉(zhuǎn)化公式間接得解，過渡自然，視角新穎，不僅優(yōu)化了思維方式，而且簡化了解題過程． [再練一題] 1．若本例中條件不變，如何求以A為端點且在極軸上方的射線的極坐標方程？ 【解】　由題意，設(shè)M(ρ，θ)為射線上任意一點， 根據(jù)例題可知，ρsin＝， 化簡得ρ(cos θ－sin θ)＝1. 經(jīng)檢驗點A(1,0)的坐標適合上述方程． 因此，以A為端點且在極軸上方的射線的極坐標方程為ρ(cos θ－sin θ)＝1. 極坐標方程與直角坐標方程的互化

8、　若曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系． (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)若直線ρsin＝0與曲線C相交于A、B，求|AB|. 【思路探究】　利用極坐標化為直角坐標的公式將直線和圓的極坐標方程化為直角坐標方程求解． 【自主解答】　(1)因為所以ρ2＝x2＋y2， 由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. (2)由ρsin＝0， 得ρ＝0， 即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0. 由于圓(x－2)2

9、＋(y－1)2＝5的半徑為r＝，圓心(2,1)到直線x－y＝0的距離為d＝＝， ∴|AB|＝2＝3. 1．直角坐標方程化為極坐標方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程要通過變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應注意對變形過程的檢驗． 2．對方程進行合理變形，并注重公式的正向、逆向與變形使用． [再練一題] 2．在極坐標系中，點到直線ρsin θ＝2的距離等于________．

10、【解析】　極坐標系中點對應的直角坐標為(，1)．極坐標系中直線ρsin θ＝2對應直角坐標系中直線y＝2，故所求距離為1. 【答案】　1 極坐標方程的應用 　從極點O作直線與另一直線l：ρcos θ＝4相交于點M，在OM上取一點P，使|OM||OP|＝12. (1)求點P的軌跡方程； (2)設(shè)R為l上的任意一點，試求|RP|的最小值． 【思路探究】　(1)建立點P的極坐標方程，完成直角坐標與極坐標方程的互化．(2)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求|RP|的最小值． 【自主解答】　(1)設(shè)動點P的極坐標為(ρ，θ)，M的極坐標為(ρ0，θ)，則ρρ0＝12. ∵ρ0cos

11、θ＝4，∴ρ＝3cos θ即為所求的軌跡方程． (2)將ρ＝3cos θ化為直角坐標方程，得x2＋y2＝3x， 即＋y2＝， 知P的軌跡是以為圓心，半徑為的圓． 直線l的直角坐標方程是x＝4. 結(jié)合圖形(圖略)易得|RP|的最小值為1. 1．用極坐標法可使幾何中的一些問題得出很直接、簡單的解法．當然，因為建系的不同，曲線的極坐標方程也會不同． 2．解題時關(guān)鍵是極坐標要選取適當，這樣可以簡化運算過程，轉(zhuǎn)化為直角坐標時也容易一些． [再練一題] 3．(2016唐山期末)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：x＋y＝2，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標

12、系． (1)將圓C和直線l方程化為極坐標方程； (2)P是l上的點，射線OP交圓C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ||OP|＝|OR|2，當點P在l上移動時，求點Q軌跡的極坐標方程． 【解】　(1)將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分別代入圓C和直線l的直角坐標方程得其極坐標方程為C：ρ＝2， l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2. (2)設(shè)P，Q，R的極坐標分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，則由|OQ||OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ. 又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4， 故點Q軌跡的極坐標方程為ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)． [探究共研型]

13、圓的極坐標方程 探究　如何求圓心為C(ρ1，θ1)，半徑為r的圓的極坐標方程？ 【提示】　如圖所示，設(shè)圓C上的任意一點為M(ρ，θ)，且O、C、M三點不共線，不妨以如圖所示情況加以說明，在△OCM中，由余弦定理得|OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|cos∠COM＝|CM|2， ∴ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r2，可以檢驗，當O、C、M三點共線時的點M的坐標也適合上式，當θ<θ1時也滿足該式，所以半徑為r，圓心在C(ρ1，θ1)的圓的極坐標方程為ρ2＋ρ－2ρρ1cos(θ－θ1)－r2＝0. 　求圓心在C處并且過極點的圓的極坐標方程，并判斷點是否在這個圓上． 【思

14、路探究】　解答本題先設(shè)圓上任意一點M(ρ，θ)，建立等式轉(zhuǎn)化為ρ，θ的方程，化簡可得，并檢驗特殊點． 【自主解答】　如圖，由題意知，圓經(jīng)過極點O，OA為其一條直徑，設(shè)M(ρ，θ)為圓上除點O，A以外的任意一點，則|OA|＝2r，連接AM，則OM⊥MA. 在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM， 即ρ＝2rcos， ∴ρ＝－4sin θ， 經(jīng)驗證，點O(0,0)，A的坐標滿足上式， ∴滿足條件的圓的極坐標方程為ρ＝－4sin θ. ∵sin＝， ∴ρ＝－4sin θ＝－4sin＝－2， ∴點在此圓上． 1．求曲線的極坐標方程通常有以下五個步驟：(1)建立適當?shù)?/p>

15、極坐標系(本題無需建)；(2)在曲線上任取一點M(ρ，θ)；(3)根據(jù)曲線上的點所滿足的條件寫出等式；(4)用極坐標(ρ，θ)表示上述等式，并化簡得曲線的極坐標方程；(5)證明所得的方程是曲線的極坐標方程(一般只要對特殊點加以檢驗即可)． 2．求曲線的極坐標方程，關(guān)鍵是找出曲線上的點滿足的幾何條件，并進行坐標表示． [再練一題] 4．曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________． 【解析】　直角坐標方程x2＋y2－2x＝0可化為x2＋y2＝2x，將ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2c

16、os θ. 【答案】　ρ＝2cos θ [構(gòu)建體系] 極坐標方程— 1．圓心在(1,0)且過極點的圓的極坐標方程為(　　) A．ρ＝1　　　 B．ρ＝cos θ C．ρ＝2cos θ D．ρ＝2sin θ 【解析】　圓的直角坐標方程是(x－1)2＋y2＝1，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即為此圓的極坐標方程． 【答案】　C 2．極坐標方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是(　　) A．兩個圓 B．兩條直線 C．一個圓和一條射線 D．一條直線和一條射線 【解析】　由題設(shè)，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圓，θ

17、＝π(ρ≥0)表示一條射線． 【答案】　C 3．極坐標方程分別為ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的兩個圓的圓心距為________. 【解析】　兩圓方程分別為x2＋y2＝2x，x2＋y2＝y(tǒng)，知兩圓圓心C1(1,0)，C2，∴|C1C2|＝＝. 【答案】　 4．(2016佛山質(zhì)檢)在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直線θ＝被圓ρ＝2sin θ截得的弦長是________． 【解析】　直線為y＝x(x≥0)，圓的方程為x2＋(y－1)2＝1，交于原點和點A(1,1)，弦長為. 【答案】　 5．求過(－2,3)點且斜率為2的直線的極坐標方程． 【解】　由題意知，直線的

18、直角坐標方程為y－3＝2(x＋2)， 即：2x－y＋7＝0. 設(shè)M(ρ，θ)為直線上任意一點， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐標方程 2x－y＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0， 這就是所求的極坐標方程． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　

19、 (2)　 學業(yè)分層測評(三) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．極坐標方程ρ＝1表示(　　) A．直線　 B．射線 C．圓 D．橢圓 【解析】　由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故選C. 【答案】　C 2．過極點且傾斜角為的直線的極坐標方程可以為(　　) A．θ＝ B．θ＝，ρ≥0 C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0

20、【解析】　以極點O為端點，所求直線上的點的極坐標分成兩條射線． ∵兩條射線的極坐標方程為θ＝和θ＝π， ∴直線的極坐標方程為θ＝和θ＝π(ρ≥0)． 【答案】　D 3．在極坐標系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標是(　　) A. B. C．(1,0) D．(1，π) 【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐標方程為x2＋y2＝－2y，化成標準方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標為(0，－1)，其對應的極坐標為. 【答案】　B 4．在極坐標系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝

21、2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 【解析】　由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于極軸的兩條切線方程為x＝0和x＝2，相應的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 【答案】　B 5．在極坐標系中與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線的方程為(　　) A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2 C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin 【解析】　極坐標方程ρ＝4sin θ化為ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，

22、即x2＋(y－2)2＝4. 由所給的選項中ρcos θ＝2知，x＝2為其對應的直角坐標方程，該直線與圓相切． 【答案】　B 二、填空題 6．在極坐標系中，圓ρ＝4被直線θ＝分成兩部分的面積之比是________． 【解析】　∵直線θ＝過圓ρ＝4的圓心， ∴直線把圓分成兩部分的面積之比是1∶1. 【答案】　1∶1 7．(2016惠州模擬)若直線l的極坐標方程為ρcosθ－＝3，曲線C：ρ＝1上的點到直線l的距離為d，則d的最大值為________． 【解析】　直線的直角坐標方程為x＋y－6＝0，曲線C的方程為x2＋y2＝1，為圓；d的最大值為圓心到直線的距離加半徑，即為dmax

23、＝＋1＝3＋1. 【答案】　3＋1 8．在極坐標系中，圓ρ＝4sin θ的圓心到直線θ＝(ρ∈R)的距離是________． 【解析】　極坐標系中的圓ρ＝4sin θ轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的一般方程為：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圓心為(0,2)，直線θ＝轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系中的方程為y＝x，即x－3y＝0， ∴圓心(0,2)到直線x－3y＝0的距離為＝. 【答案】　 三、解答題 9．(2016銀川月考)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcos＝1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點． (1)寫出C的直角坐標方程

24、，并求M，N的極坐標； (2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程． 【解】　(1)由ρcos＝1， 得ρ＝1. 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲線C的直角坐標方程為＋y＝1， 即x＋y－2＝0. 當θ＝0時，ρ＝2，∴點M(2,0)． 當θ＝時，ρ＝，∴點N. (2)由(1)知，M點的坐標(2,0)，點N的坐標. 又P為MN的中點， ∴點P，則點P的極坐標為. 所以直線OP的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． 10．(2016南通期中)在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝， (1)求圓O和直線l的直角坐標方程； (2)

25、當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標． 【解】　(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 又代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0， 由l：ρsin＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1， 又代入得：x－y＋1＝0. (2)由解得 又得 又因為θ∈(0，π)，則θ＝，故為. [能力提升] 1．在極坐標系中，曲線ρ＝4sin關(guān)于(　　) A．直線θ＝對稱 B．直線θ＝對稱 C．點對稱 D．極點對稱 【解析】　由方程ρ＝4sin， 得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ， 即x2＋y2＝2y－2

26、x， 配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4. 它表示圓心在(－，1)、半徑為2且過原點的圓， 所以在極坐標系中，它關(guān)于直線θ＝成軸對稱． 【答案】　B 2．(2016湛江模擬)在極坐標方程中，曲線C的方程是ρ＝4sin θ，過點作曲線C的切線，則切線長為(　　) A．4 B. C．2 D．2 【解析】　ρ＝4sin θ化為直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4，點化為直角坐標為(2，2)，切線長、圓心到定點的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長為＝2. 【答案】　C 3．在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點的極坐標

27、為________． 【解析】　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 其直角坐標方程為x2＋y2＝2y， ρcos θ＝－1的直角坐標方程為x＝－1， 聯(lián)立 解得點(－1,1)的極坐標為. 【答案】　 4．在極坐標系中，O為極點，已知圓C的圓心為，半徑r＝1，P在圓C上運動． (1)求圓C的極坐標方程； (2)在直角坐標系(與極坐標系取相同的長度單位，且以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸)中，若Q為線段OP的中點，求點Q軌跡的直角坐標方程． 【解】　(1)設(shè)圓C上任一點坐標為(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－22ρcos， 所以圓的極坐標方程為ρ2－4ρcos＋3＝0. (2)設(shè)Q(x，y)，則P(2x,2y)，由于圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圓C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，則Q的直角坐標方程為2＋2＝. 最新精品資料