精校版高中數學人教A版選修44學案：第1講2 極坐標系 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 二　極坐標系 1．理解極坐標系的概念． 2．能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別．(難點) 3．掌握極坐標和直角坐標的互化關系式，能進行極坐標和直角坐標的互化．(重點、易錯點) [基礎·初探] 教材整理1　極坐標系 閱讀教材P8～P10，完成下列問題． 1．極坐標系的概念 (1)極坐標系的建立：在平面內取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．

2、 (2)極坐標：設M是平面內一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數． 2．點與極坐標的關系 一般地，極坐標(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個點．特別地，極點O的坐標為(0，θ)(θ∈R)． 如果規(guī)定ρ>0，0≤θ<2π，那么除極點外，平面內的點可用惟一的極坐標(ρ，θ)表示；同時，極坐標(ρ，θ)表示的點也是惟一確定的． 在極坐標系中，ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是兩點

3、M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　前者顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因為θ1與θ2可相差2π的整數倍． 【答案】　A 教材整理2　極坐標和直角坐標的互化 閱讀教材P11，完成下列問題． 1．互化背景：把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，如圖1­2­1所示． 圖1­2­1 2．互化公式：設M是平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ，θ)，于是極坐標與直角坐

4、標的互化公式如表： 點M 直角坐標(x，y) 極坐標(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2， tan θ＝(x≠0) 將點M的極坐標化為直角坐標是(　　) A．(5,5)　 B．(5，5) C．(5,5) D．(－5，－5) 【解析】　x＝ρcos θ＝10 cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝5. 【答案】　A [質疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　

5、 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型]

6、 將點的極坐標化為直角坐標 　寫出下列各點的直角坐標，并判斷所表示的點在第幾象限． (1)；(2)；(3)；(4)(2，－2)． 【思路探究】　點的極坐標(ρ，θ)―→―→點的直角坐標(x，y)―→判定點所在象限． 【自主解答】　(1)由題意知x＝2cos＝2×＝－1，y＝2sin＝2×＝－， ∴點的直角坐標為，是第三象限內的點． (2)x＝2cos π＝－1，y＝2sin π＝， ∴點的直角坐標為(－1，)，是第二象限內的點． (3)x＝2cos＝1，y＝2sin＝－， ∴點的直角坐標為(1，－)，是第四象限內的點． (4)x＝2cos (－2)＝

7、2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2， ∴點(2，－2)的直角坐標為(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限內的點． 1．點的極坐標與直角坐標的互化公式的三個前提條件：(1)極點與直角坐標系的原點重合；(2)極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合；(3)兩種坐標系的長度單位相同． 2．將點的極坐標(ρ，θ)化為點的直角坐標(x，y)時，運用到求角θ的正弦值和余弦值，熟練掌握特殊角的三角函數值，靈活運用三角恒等變換公式是關鍵． [再練一題] 1．分別把下列點的極坐標化為直角坐標： (1)；(2)；(3)(π，π)． 【解】　(1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝

8、， y＝ρsin θ＝2sin＝1， ∴點的極坐標化為直角坐標為(，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cos＝0， y＝ρsin θ＝3sin＝3， ∴點的極坐標化為直角坐標為(0,3)． (3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴點的極坐標(π，π)化為直角坐標為(－π，0)． 將點的直角坐標化為極坐標 　分別把下列點的直角坐標化為極坐標(限定ρ≥0,0≤θ<2π)： (1)(－2,2)；(2)(，－)；(3). 【思路探究】　利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，但求角θ時，要注意點所在的象限．

9、 【自主解答】　(1)∵ρ＝＝＝4， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(－2,2)在第二象限， ∴θ＝， ∴點的直角坐標(－2,2)化為極坐標為. (2)∵ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(，－)在第四象限， ∴θ＝， ∴點的直角坐標(，－)化為極坐標為. (3)∵ρ＝＝＝， tan θ＝＝1，θ∈[0,2π)， 由于點在第一象限， ∴θ＝， ∴點的直角坐標化為極坐標為. 1．將直角坐標(x，y)化為極坐標(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)進行求解，先求極徑，再求極角． 2．在[0,2π)范

10、圍內，由tan θ＝(x≠0)求θ時，要根據直角坐標的符號特征判斷出點所在的象限．如果允許θ∈R，再根據終邊相同的角的意義，表示為θ＋2kπ(k∈Z)即可． [再練一題] 2．已知下列各點的直角坐標，求它們的極坐標： (1)A(3，)；(2)B(－2，－2); (3)C(0，－2)；(4)D(3,0)． 【解】　(1)由題意可知：ρ＝＝2， tan θ＝， 所以θ＝，所以點A的極坐標為. (2)ρ＝＝4，tan θ＝＝，又由于θ為第三象限角，故θ＝π，所以B點的極坐標為. (3)ρ＝＝2，θ為π，θ在y軸負半軸上，所以C點的極坐標為. (4)ρ＝＝3，tan θ＝＝

11、0，故θ＝0， 所以D點的極坐標為(3,0)． 極坐標與直角坐標的綜合應用 　在極坐標系中，如果A，B為等邊三角形ABC的兩個頂點，求頂點C的極坐標(ρ>0,0≤θ<2π)． 【思路探究】　解答本題可以先利用極坐標化為直角坐標，再根據等邊三角形的定義建立方程組求解點C的直角坐標，進而求出點C的極坐標． 【自主解答】　對于點A有ρ＝2，θ＝， ∴x＝2cos＝，y＝2sin＝，則A(，)． 對于B有ρ＝2，θ＝π， ∴x＝2cos＝－，y＝2sin＝－， ∴B(－，－)． 設C點的坐標為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形， 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝

12、4， ∴有 解之得或 ∴C點的坐標為(，－)或(－，)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1， ∴θ＝或θ＝. 故點C的極坐標為或. 1．本例綜合考查了點的極坐標與直角坐標的互化公式以及等邊三角形的意義和性質．結合幾何圖形可知，點C的坐標有兩解，設出點的坐標尋求等量關系建立方程組求解是關鍵． 2．若設出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解． [再練一題] 3．本例中，如果點的極坐標仍為A，B，且△ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點C的極坐標？ 【解】　對于點A，直角坐標為(，)， 點B的直角坐標為(－，－)， 設點C的直角坐標為(x，y)，由題意得AC⊥BC，且

13、|AC|＝|BC|， ∴·＝0， 即(x－，y－)·(x＋，y＋)＝0， ∴x2＋y2＝4.　 ① 又|A|2＝|B|2，于是(x－)2＋(y－)2 ＝(x＋)2＋(y＋)2， ∴y＝－x，代入①，得x2＝2，解得x＝±， ∴或 ∴點C的直角坐標為(，－)或(－，)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝－1，θ＝或， ∴點C的極坐標為或. [探究共研型] 極坐標 探究1　如圖1­2­2是某校園的平面示意圖．假設某同學在教學樓處，請回答下列問題： ①他向東偏北60°方向走120 m后到達什么位置？該位置惟一確定嗎？

14、 ②如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應如何描述？ 圖1­2­2 【提示】　以A為基點，射線AB為參照方向，利用與A的距離、與AB所成的角，就可以刻畫平面上點的位置．①到達圖書館，該位置惟一確定；②體育館在正東方向60 m處，辦公樓在西北方向50 m處． 探究2　在極坐標系中，，，，表示的點有什么關系？你能從中體會極坐標與直角坐標在刻畫點的位置時的區(qū)別嗎？ 【提示】　由終邊相同的角的定義可知，上述極坐標表示同一個點．實際上，(k∈Z)都表示這個點． 　設點A，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A關于極軸，直線l，極點的對稱點的極坐標(限定ρ>

15、0，－π<θ≤π)． 【思路探究】　欲寫出點的極坐標，首先應確定ρ和θ的值． 【自主解答】　如圖所示，關于極軸的對稱點為B2，－， 關于直線l的對稱點為C， 關于極點O的對稱點為D. 四個點A，B，C，D都在以極點為圓心，2為半徑的圓上． 1．點的極坐標不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，則除極點外，點的極坐標是惟一確定的． 2．寫點的極坐標要注意順序：極徑ρ在前，極角θ在后，不能顛倒順序． [再練一題] 4．在極坐標系中與點A關于極軸所在的直線對稱的點的極坐標是(　　) A. B. C. D. 【解析】　與點A關于極軸所在的直線

16、對稱的點的極坐標可以表示為(k∈Z)． 【答案】　B [構建·體系] 極坐標系— 1．極坐標系中，點M(1,0)關于極點的對稱點為(　　) A．(1,0) B．(－1，π) C．(1，π) D．(1,2π) 【解析】　∵(ρ，θ)關于極點的對稱點為(ρ，π＋θ)， ∴M(1,0)關于極點的對稱點為(1，π)． 【答案】　C 2．點A的極坐標是，則點A的直角坐標為(　　) A．(－1，－) B．(－，1) C．(－，－1) D．(，－1) 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝－， y＝ρsin θ＝2sinπ＝－1. 【答案】　C 3．點M的直角

17、坐標為，則點M的極坐標可以為(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵ρ＝＝，且θ＝， ∴M的極坐標為. 【答案】　C 4．將極軸Ox繞極點順時針方向旋轉得到射線OP，在OP上取點M，使|OM|＝2，則ρ>0，θ∈[0,2π)時點M的極坐標為________，它關于極軸的對稱點的極坐標為_______________________________________(ρ>0，θ∈[0,2π)). 【解析】　ρ＝|OM|＝2，與OP終邊相同的角為－＋2kπ(k∈Z)． ∵θ∈[0,2π)，∴k＝1，θ＝， ∴M， ∴M關于極軸的對稱點為. 【答案】　

18、　 5．在極軸上求與點A距離為5的點M的坐標． 【解】　設M(r,0)，∵A， ∴ ＝5， 即r2－8r＋7＝0， 解得r＝1或r＝7， ∴點M的坐標為(1,0)或(7,0)． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　

19、 (2)　 學業(yè)分層測評(二) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．下列各點中與不表示極坐標系中同一個點的是(　　) A. B. C. D. 【解析】　與極坐標相同的點可以表示為(k∈Z)，只有不適合． 【答案】　C 2．將點的極坐標(π，－2π)化為直角坐標為(　　) A．(π，0) B．(π，2π) C．(－π，0) D．(－2π，0) 【解析】　x＝πcos(－2π)＝π，y＝π

20、sin(－2π)＝0， 所以點的極坐標(π，－2π)化為直角坐標為(π，0)． 【答案】　A 3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關系是(　　) A．關于極軸所在直線對稱 B．關于極點對稱 C．關于過極點垂直于極軸的直線對稱 D．兩點重合 【解析】　因為點(ρ，θ)關于極軸所在直線對稱的點為(－ρ，π－θ)．由此可知點(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關于極軸所在直線對稱． 【答案】　A 4．在極坐標系中，已知點P1、P2，則|P1P2|等于(　　) A．9　　　B．10 C．

21、14　　　D．2 【解析】　∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2為直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10. 【答案】　B 5．在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是 (　　) A. B. C. D. 【解析】　極徑ρ＝＝2，極角θ滿足tan θ＝＝－， ∵點(1，－)在第四象限，∴θ＝－. 【答案】　A 二、填空題 6．平面直角坐標系中，若點P經過伸縮變換后的點為Q，則極坐標系中，極坐標為Q的點到極軸所在直線的距離等于________． 【解析】　∵點P經過伸縮變換后的點為

22、Q，則極坐標系中，極坐標為Q的點到極軸所在直線的距離等于6＝3. 【答案】　3 7．已知點P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當ρ>0，θ∈[0,2π)時，點P的極坐標為________． 【解析】　∵點P(x，y)在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2， ∴x＝－2，且y＝－2， ∴ρ＝＝2， 又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝. 因此點P的極坐標為. 【答案】　 8．極坐標系中，點A的極坐標是，則 (1)點A關于極軸的對稱點的極坐標是________； (2)點A關于極點的對稱點的極坐標是________； (3)點A關于過極點且垂

23、直于極軸的直線的對稱點的極坐標是________．(本題中規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π)) 【解析】　點A關于極軸的對稱點的極坐標為；點A關于極點的對稱點的極坐標為；點A關于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標為. 【答案】　(1)　(2)　(3) 三、解答題 9．(1)已知點的極坐標分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標． (2)已知點的直角坐標分別為A(3，)，B，C(－2，－2)，求它們的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)． 【解】　(1)根據x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得A， B(－1，)，C， D(0，－4)． (2)根據ρ2＝x2＋y2，ta

24、n θ＝得A，B，C. 10．在極坐標系中，已知△ABC的三個頂點的極坐標分別為A，B(2，π)，C. (1)判斷△ABC的形狀； (2)求△ABC的面積． 【解】　(1)如圖所示，由A，B(2，π)，C， 得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝， ∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC為等邊三角形． (2)由上述可知， AC＝2OAsin＝2×2×＝2. ∴S△ABC＝×(2)2＝3. [能力提升] 1．已知極坐標平面內的點P，則P關于極點的對稱點的極坐標與直角坐標分別為 (　　)

25、A.，(1，) B.，(1，－) C.，(－1，) D.，(－1，－) 【解析】　點P關于極點的對稱點為 ， 即，且x＝2cos＝－2cos ＝－1，y＝2sin＝－2sin＝－. 【答案】　D 2．已知極坐標系中，極點為O,0≤θ＜2π，M，在直線OM上與點M的距離為4的點的極坐標為________． 【解析】　如圖所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直線OM上取點P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，顯然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4. 【答案】　或 3．直線l過點A，B，則直線l與極軸夾角

26、等于________． 【解析】　如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據點A，B的位置分析夾角大小． 因為|AO|＝|BO|＝3， ∠AOB＝－＝， 所以∠OAB＝＝， 所以∠ACO＝π－－＝. 【答案】　 4．某大學校園的部分平面示意圖如圖1­2­3：用點O，A，B，C，D，E，F，G分別表示校門，器材室，操場，公寓，教學樓，圖書館，車庫，花園，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立適當的極坐標系，寫出除點B外各點的極坐標(限定ρ≥0,0≤θ<2π且極點為(0,0))． 圖1­2­3 【解】　以點O為極點，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1 m)，建立極坐標系， 由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m， 所以各點的極坐標分別為O(0,0)，A(300，0)， C，D，E，F(300，π)，G. 最新精品資料