高考理科數(shù)學(xué) 創(chuàng)新演練：離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

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1、 創(chuàng)新演練 一、選擇題 1．(20xx廣州模擬)設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，則實(shí)數(shù)a的值為 (　　) A．4　　　　　　　　　　 B．6 C．8 D．10 A　[由正態(tài)分布的性質(zhì)可知P(X≤0)＝P(X≥2)， 所以a－2＝2，故a＝4.] 2．(20xx湖州模擬)一套重要資料鎖在一個(gè)保險(xiǎn)柜中，現(xiàn)有n把鑰匙依次分給n名學(xué)生依次開柜，但其中只有一把真的可以打開柜門，平均來說打開柜門需要試開的次數(shù)為 (　　) A．1 B．n C. D. C　[解法一：(特殊值驗(yàn)證法)當(dāng)n＝2時(shí)， P(X＝1)＝P(X＝2)＝，E

2、(X)＝， 即打開柜門需要的次數(shù)為，只有C符合． 解法二：已知每一位學(xué)生打開柜門的概率為， 所以打開柜門需要試開的次數(shù)的平均數(shù)(即數(shù)學(xué)期望)為1＋2＋…＋n＝.] 3．(20xx上海虹口模擬)已知某一隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，則a的值為 (　　) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B．6 C．7 D．8 C　[由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1， 解得b＝0.4. ∴E(ξ)＝40.5＋a0.1＋90.4＝6.3. ∴a＝7.] 4．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則

3、停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞1.75，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D. C　[發(fā)球次數(shù)X的分布列如下表： X 1 2 3 P p (1－p)p (1－p)2 所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75， 解得p＞(舍去)或p＜， 又p＞0，則0＜p＜.] 5．(20xx湖北高考)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝ (

4、　　) A. B. C. D. B　[P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， E(X)＝0P(X＝0)＋1P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝0＋1＋2＋3＝＝，故選B.] 二、填空題 6．(20xx山東濟(jì)南)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(40，σ2)，若P(ξ＜30)＝0.2，則P(30＜ξ＜50)＝________. 解析　根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得P(30＜ξ＜50)＝1－2P(ξ＜30)＝0.6. 答案　0.6 7．(20xx錦州模擬)某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量ξ表示選出的志愿

5、者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示) 解析　ξ可取0,1,2，因此P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， E(ξ)＝0＋1＋2＝. 答案　 三、解答題 8．(20xx湖北省七市聯(lián)考)2月20日，針對(duì)房?jī)r(jià)過高，國(guó)務(wù)院常務(wù)會(huì)議確定五條措施(簡(jiǎn)稱“國(guó)五條”)．為此，記者對(duì)某城市的工薪階層關(guān)于“國(guó)五條”態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取了60人，作出了他們的月收入的頻率分布直方圖(如圖)，同時(shí)得到了他們的月收入情況與“國(guó)五條”贊成人數(shù)統(tǒng)計(jì)表(如下表)： 月收入(百元) 贊成人數(shù) [15,25) 8 [25,35) 7 [35

6、,45) 10 [45,55) 6 [55,65) 2 [65,75) 1 (1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這60人的平均月收入； (2)若從月收入(單位：百元)在[15,25)，[25,35)的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取3人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的6人中不贊成“國(guó)五條”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解析　(1)這60人的月平均收入為(200.015＋300.015＋400.025＋500.02＋600.015＋700.01)10＝43.5(百元)． (2)根據(jù)頻率分布直方圖可知 [15,25)的人數(shù)為100.01560＝9， [25,35)的人數(shù)為100.01560＝9， X的所有取值可能為0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＋＝， P(X＝2)＝＋＝， P(X＝3)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴EX＝0＋1＋2＋3＝1.