高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第三節(jié)圓的方程回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)

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1、 第三節(jié)　圓 的 方 程 【考綱下載】 1．掌握確定圓的幾何要素． 2．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程． 1．圓的定義、方程 定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓 方程[來源:] 標(biāo)[來源:][來源:] 準(zhǔn) (x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r>0)[來源:] 圓心C的坐標(biāo)(a，b) 半徑為r 一 般 x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0 充要條件：D2＋E2－4F>0 圓心坐標(biāo)： 半徑r＝ 2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 (1)理論依據(jù)：點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系． (2)三個(gè)結(jié)論 圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2、程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)， ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)． 1．確定圓的方程需要幾個(gè)獨(dú)立條件？ 提示：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(或一般方程)知：確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圓嗎？ 提示：不一定．當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，上述方程才表示圓；當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形． 1．(教材習(xí)題改編)圓

3、x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是(　　) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：選D　圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)． 2．將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是(　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 解析：選C　將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線必定過圓心，而圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圓心坐標(biāo)為(1,2)，且(1,2)在直線x－y＋1＝0

4、上． 3．若點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則a的取值范圍是(　　) A．－1<a<1 B．0<a<1 C．－1<a< D．－<a<1 解析：選A　∵點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴(2a)2＋a2<5，解得－1<a<1. 4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是____________． 解析：因?yàn)閤2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓， 所以a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1

5、)＝5a2－8a2－4a＋4＝－3a2－4a＋4>0.解得－2<a<. 答案： 5．(教材習(xí)題改編)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為__________________． 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，依題意得 (a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2， 所以圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝＝， 即圓的方程為(x－2)2＋y2＝10. 答案：(x－2)2＋y2＝10 前沿?zé)狳c(diǎn)(十) 高考中與圓有關(guān)的交匯問題 1．圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，與圓有關(guān)的軌跡問題，點(diǎn)與圓的關(guān)系、點(diǎn)與圓的距離，在高考中常常將

6、它們綜合在一起命制試題． 2．求圓的方程往往需要三個(gè)獨(dú)立的條件即可求出，求與圓有關(guān)的軌跡方程經(jīng)常考慮直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法等．涉及點(diǎn)與圓的距離問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓心的距離問題等． [典例]　(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2. (1)求圓心P的軌跡方程； (2)若點(diǎn)P到直線y＝x的距離為，求圓P的方程． [解題指導(dǎo)]　(1)利用圓在兩坐標(biāo)軸上截得的線段的長，分別得出半徑的表達(dá)式，利用半徑相等即可求得方程； (2)依據(jù)(1)及點(diǎn)P到直線y＝x的距離可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，得出圓的方程．

7、[解]　(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r. 由題設(shè)y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.從而y2＋2＝x2＋3. 故點(diǎn)P的軌跡方程為y2－x2＝1. (2)設(shè)P(x0，y0)．由已知得＝. 又點(diǎn)P在雙曲線y2－x2＝1上，從而得 由得 此時(shí)，圓P的半徑r＝. 由得 此時(shí)，圓P的半徑r＝. 故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3. [名師點(diǎn)評]　解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)： (1)注意圓心與弦的中點(diǎn)的連線與弦垂直； (2)注意點(diǎn)P滿足兩個(gè)條件：一是點(diǎn)P在曲線x2－y2＝1上；二是點(diǎn)P到直線y＝x的距離為. (2013·福建高考)如圖，拋物

8、線E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M，N. (1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|； (2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圓C的半徑． 解：(1)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線l的方程為x＝－1. 由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)， 所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d＝2.又|CO|＝， 所以|MN|＝2＝2＝2. (2)設(shè)C，則圓C的方程為2＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0. 由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0， 設(shè)M(－1，y1)，N(－1，y2)，則 由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4， 所以＋1＝4，解得y0＝±，此時(shí)Δ>0. 所以圓心C的坐標(biāo)為或， 從而|CO|2＝，|CO|＝，即圓C的半徑為.