人教A版理科數(shù)學高效訓練：84 直線與圓、圓與圓的位置關系

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1、 精品資料 [A組　基礎演練·能力提升] 一、選擇題 1．設m>0，則直線l：(x＋y)＋1＋m＝0與圓O：x2＋y2＝m的位置關系為(　　)[來源:] A．相切　　　　　　　　 B．相交 C．相切或相離 D．相交或相切 解析：圓心到直線l的距離為d＝，圓的半徑為r＝，∵d－r＝－＝(m－2＋1) ＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直線l和圓O相切或相離． 答案：C 2．(2013年高考安徽卷)直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　) A．1 B．2 C．4 D．4

2、 解析：圓的方程可化為C：(x－1)2＋(y－2)2＝5， 其圓心為C(1,2)，半徑R＝.則圓心C到直線的距離d＝＝1. ∴弦長為2＝4. 答案：C 3．(2014年黃山一模)已知M(x0，y0)為圓x2＋y2＝a2(a>0)內(nèi)異于圓心的一點，則直線x0x＋y0y＝a2與該圓的位置關系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交 解析：因M(x0，y0)為圓x2＋y2＝a2(a>0)內(nèi)異于圓心的一點，故x＋y<a2，圓心到直線x0x＋y0y＝a2的距離為d＝>＝a，故直線與圓相離． 答案：C 4．(2013年高考山東卷)過點(3,1

3、)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 解析：如圖，圓心坐標為C(1,0)，易知A(1,1)． 又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝， ∴kAB＝－2. 故直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故選A. 答案：A 5．在平面直角坐標系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點，則弦AB的長等于(　　)[來源:] A．3 B．2 C. D．1 解析：圓心到直線的距離d＝＝1，

4、所以R2－d2＝2，即AB2＝4(R2－d2)＝4(4－1)＝12， 所以AB＝＝2，選B. 答案：B 6．(2013年高考重慶卷)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　)[來源:] A．5－4 B.－1 C．6－2 D. 解析：圓C1，C2的圖象如圖所示． 設P是x軸上任意一點，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關于x軸的對稱點C1

5、′(2，－3)，連接C′1C2，與x軸交于點P，連接PC1，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知|PC1|＋|PC2|的最小值為|C′1C2|，則|PM|＋|PN|的最小值為5－4.選A. 答案：A 二、填空題 7．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直線l：x－y＋3＝0.當直線l被C截得的弦長為2時，a＝________. 解析：依題意，圓心(a,2)到直線l：x－y＋3＝0的距離d＝，于是有4－2＝()2，a＝－1或－－1(舍去)． 答案：－1 8．若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂

6、直，則線段AB的長是________． 解析：依題意得|OO1|＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△O O1A＝··|OO1|＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4. 答案：4 9．(2013年高考湖北卷)已知圓O：x2＋y2＝5，直線l：xcos θ＋ysin θ＝1.設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k，則k＝________. 解析：圓O的圓心(0,0)到直線l：xcos θ＋ysin θ＝1的距離d＝1，而圓的半徑r＝，且r－d＝－1>1，∴圓O上在直線l的兩側各有兩個點到直線l的距離等于1. 答案：4 三、解答

7、題 10．已知：圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0.[來源:] (1)當a為何值時，直線l與圓C相切； (2)當直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|＝2時，求直線l的方程． 解析：將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得標準方程為x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2. (1)若直線l與圓C相切． 則有＝2.解得a＝－. (2)過圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質， 得 解得a＝－7或a＝－1. 故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 11．設直線l的方程為y＝kx＋b(其中k的值與b無關)，圓M的

8、方程為x2＋y2－2x－4＝0. (1)如果不論k取何值，直線l與圓M總有兩個不同的交點，求b的取值范圍； (2)b＝1時，l與圓交于A，B兩點，求|AB|的最大值和最小值． 解析：圓M的標準方程為(x－1)2＋y2＝5， ∴圓心M的坐標為(1,0)，半徑為r＝. (1)∵不論k取何值，直線l總過點P(0，b)， ∴欲使l與圓M總有兩個不同的交點，必須且只需點P在圓M的內(nèi)部， 即|MP|<，即1＋b2<5， ∴－2<b<2. 取b的取值范圍是(－2,2)． (2)當l過圓心M時，|AB|的值最大，最大值為圓的直徑長2，當l⊥MP時， 此時|MP|最

9、大，|AB|的值最小， |MP|2＝2 ＝＝1＋ ≤1＋＝2， 當且僅當k＝1時取等號． 最小值為2＝2＝2. 12．(能力提升)已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關于直線x＋y＋2＝0對稱． (1)求圓C的方程； (2)設Q為圓C上的一個動點，求·的最小值； (3)過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由． 解析：(1)設圓心C(a，b)，則 解得.[來源: 則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點P的坐標代入得r2＝2，

10、 故圓C的方程為x2＋y2＝2. (2)設Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， 所以·的最小值為－4. (3)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)， 故可設PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)， 由， 得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0. 因為點P的橫坐標x＝1一定是該方程的解，所以可得xA＝. 同理：xB＝. 則kAB＝ ＝ ＝＝1＝kOP. 所以，直線AB和OP一定平行． [B組　因材施教

11、3;備選練習] 1．若圓C: x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點(a，b)向圓所作的切線長的最小值是( 　　) A．2　　　　　B．3　　　　　C．4　　　　　D．6 解析：圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圓心為(－1,2)，半徑為.因為圓關于直線2ax＋by＋6＝0對稱，所以圓心在直線2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，點(a，b)到圓心的距離為d＝ ＝ ＝＝.所以當a＝2時，d有最小值＝3，此時切線長最小，為＝＝4，所以選C. 答案：C 2．(2014年濟南模擬)若雙曲線－＝1漸近線上的一個動點P總在平面區(qū)域(x－m)2＋y2≥16內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即4x±3y＝0.要使?jié)u近線上的一個動點P總在平面區(qū)域(x－m)2＋y2≥16內(nèi)，則有圓心(m,0)到漸近線的距離d≥4，即d＝＝≥4，解得|m|≥5，即m≥5或m≤－5，所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞)