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1、 精品資料
第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題
考點一
等差、等比數(shù)列的綜合問題
[例1] 在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．
(1)設(shè)bn＝an＋1－an(n∈N*)，證明：{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：此時對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項．
[自主解答] (1)證明：由題設(shè)an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(a
2、n－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.
又b1＝a2－a1＝1，q≠0，
所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列．
(2)由(1)，得a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2)．
將以上各式相加，得
an－a1＝1＋q＋q2＋…＋qn－2(n≥2)．
所以當(dāng)n≥2時，有an＝
上式對n＝1也成立，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝
(3)由(2)，得當(dāng)q＝1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1.
由a3是a6與a9的等差中項，即2a3＝a6＋a9，
可得2q2＝q5＋q8，
由q≠0，得q6＋q3－2＝0，
整理，得(
3、q3)2＋q3－2＝0，
解得q3＝－2或q3＝1(舍去)．
于是q＝－.
而an＝1＋，an＋3＝1＋，an＋6＝1＋，
所以an＋3＋an＋6＝＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＝2an.
所以對任意的n∈N*，an是an＋3與an＋6的等差中項．
【方法規(guī)律】
解決等差、等比數(shù)列的綜合問題的方法
對于等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點分析等差、等比數(shù)列的通項，前n項和以及等差、等比數(shù)列項之間的關(guān)系，往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．
已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項．
(1
4、)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.
解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d>0)．
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，
∴數(shù)列{bn}的公比為3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1.
(2)由＋＋…＋＝an＋1，得
當(dāng)n≥2時，＋＋…＋＝an.
兩式相減得：n≥2時，＝an＋1－an＝2.
∴cn＝2bn＝2·3
5、n－1(n≥2)．
又當(dāng)n＝1時，＝a2，∴c1＝3.
∴cn＝
∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝3＋＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.
考點二
數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用
[例2] 某工業(yè)城市按照“十二五”(2011年至2015年)期間本地區(qū)主要污染物排放總量控制要求，進行減排治污．現(xiàn)以降低SO2的年排放量為例，原計劃“十二五”期間每年的排放量都比上一年減少0.3萬噸，已知該城市2011年SO2的年排放量約為9.3萬噸．
(1)按原計劃，“十二五”期間該城市共排放SO2約多少萬噸？
(2)該城市為響應(yīng)“十八大”提出的建設(shè)“美麗中國”的號召，決定加大減排
6、力度．在2012年剛好按原計劃完成減排任務(wù)的條件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年減少的百分率為p，為使2020年這一年SO2的年排放量控制在6萬噸以內(nèi)，求p的取值范圍．
[自主解答] (1)設(shè)“十二五”期間，該城市共排放SO2約y萬噸，
依題意，2011年至2015年SO2的年排放量構(gòu)成首項為9.3，公差為－0.3的等差數(shù)列，
所以y＝5×9.3＋×(－0.3)＝43.5(萬噸)．
所以按原計劃“十二五”期間該城市共排放SO2約43.5萬噸．
(2)由已知得， 2012年的SO2年排放量為9.3－0.3＝9(萬噸)，
所以2012年至2020
7、年SO2的年排放量構(gòu)成首項為9，公比為1－p的等比數(shù)列．
由題意得9×(1－p)8＜6，由于0<p<1，
所以1－p< ，
所以1－p<0.950 5，解得p>4.95%.
所以SO2的年排放量每年減少的百分率p的取值范圍為(4.95%,1)．
【方法規(guī)律】
解決數(shù)列應(yīng)用題應(yīng)注意的問題
解決數(shù)列應(yīng)用問題，要明確問題屬于哪一種類型，即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題，是求an還是Sn，特別是要弄清項數(shù)．
某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計以
8、后每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元．
(1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關(guān)系式；
(2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)．
解：(1)由題意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d.
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d
＝－d
＝2an－2－d－d
…
9、
＝n－1a1－d.
整理得an＝n－1(3 000－d)－2d
＝n－1(3 000－3d)＋2d.
由題意，am＝4 000，
即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.
解得d＝＝.[來源:]
故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時，經(jīng)過m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元.
高頻考點
考點三 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題
1．?dāng)?shù)列與函數(shù)、 不等式的綜合問題是每年高考的重點，多為解答題，難度偏大，屬中高檔題．
2．高考對數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的考查常有以下兩個命題角度：[來源:]
(1)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；
(
10、2)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題．
[例3] (2013·江西高考)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<.
[自主解答] (1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，
n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
綜上，數(shù)列{
11、an}的通項公式為an＝2n.
(2)證明：由于an＝2n，故
bn＝＝＝.
Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－
＝
<＝.
數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的常見類型及解題策略
(1)數(shù)列與不等式的恒成立問題．此類問題常構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性等解決問題．
(2)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題．解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等．
[來源:]
1．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項和為Sn，已知a1＋a4＝－，且對于任意的n∈N*，有Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)已知bn＝n(n
12、∈N*)，記Tn＝＋＋＋…＋，若(n－1)2≤m(Tn－n－1)對于n≥2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.
∵S1，S3，S2成等差數(shù)列，[來源:]
∴2S3＝S1＋S2，
∴2a1(1＋q＋q2)＝a1(2＋q)，解得q＝－，
又a1＋a4＝a1(1＋q3)＝－，
∴a1＝－，∴an＝a1qn－1＝n.
(2)∵bn＝n，an＝n，
∴＝n·2n，
∴Tn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)
13、83;2n＋n·2n＋1，②
①－②，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
∴Tn＝－＝(n－1)·2n＋1＋2.
若(n－1)2≤m(Tn－n－1)對于n≥2恒成立，
則(n－1)2≤m[(n－1)·2n＋1＋2－n－1]，
(n－1)2≤m(n－1)·(2n＋1－1)，
∴m≥，[來源:]
令f(x)＝，
可判斷f(x)在x∈[2，＋∞)上是減函數(shù)．
則f(n)＝的最大值為f(2)＝，
∴m≥.
故實數(shù)m的取值范圍為.
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
2種思想——函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化化歸思想
(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性)．
(2)轉(zhuǎn)化化歸思想，an與Sn轉(zhuǎn)化，一般數(shù)列與特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化等．
3個注意點——數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何相結(jié)合應(yīng) 注意的問題
(1)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時注意遞推．
(2)數(shù)列與不等式相結(jié)合時注意對不等式進行放縮．
(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化．
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題突破熱點題型
