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Designing approach on trajectory-tracking control of mobile robot
Abstract
Based on differential geometry theory, applying the dynamic extension approach of relative degree, the exact feedback linearization on the kinematic error model of mobile robot is realized. The trajectory-tracking controllers are designed by pole assignment approach. When angle speed of mobile robot is permanently nonzero, the local asymptotically stable controller is designed. When angle speed of mobile robot is not permanently nonzero, the trajectory-tracking control strategy with globally tracking bound is given. The algorithm is simple and applied easily. Simulation results show their effectiveness.
Keywords: Trajectory tracking; Dynamic extension approach; Exact feedback linearization; Globally tracking bound
1. Introduction
Recently, interest in the tracking control of mobile robots has increased with various theoretical and practical contributions being made. Particularly, feedback linearization has attracted a great deal of research interest in recent nonlinear control theory, and some techniques have been employed in mobile robot control Path tracking problems of several types of mobile robots have been investigated by means of linearizing the static and dynamic state feedback in [1]. The local and global tracking problems via time-varying state feedback based on the back stepping technique have been addressed in [2].
Since the wheel-driven mobile robot has nonholonomic constraints that arise from constraining the wheels of the mobile robot to roll without slipping and the linearized mobile robot with nonholonomic constraints has a controllability deficiency, it is difficult to control them. The point stabilization problem can be regarded as the generation of control inputs to drive the robot from any initial point to target point. The crucial problem in this stabilization question centers on the fact that the mobile robot model does not meet Brockett’s well-known necessary smooth feedback stabilization condition, so the mobile robot cannot be stabilized with smooth state feedback, which leads to the limitation in application. Therefore some discrete time-invariant controllers, time-varying controllers and hybrid controllers based on Lyapunov control theories have been proposed in [4].
The global trajectory-tracking problem to reference mobile robot is discussed based on the back stepping technique in [5]. The trajectory-tracking problem to reference mobile robot is discussed based on the terminal sliding-mode technique in [6], but it requires the nonzero speed of rotation. Point stabilization of mobile robot via state-space exact feedback linearization based on dynamic extension approach is proposed in [7]. The point stabilization problem in polar frame can be exactly transformed into the problem of controlling a linear time-invariant system. But its disadvantage is to require the verification of the complex involution. And the point stabilization problem is only discussed but the trajectory tracking is not solved.
In the present paper, the trajectory tracking to reference mobile robot as [5] and [6] is addressed based on dynamic extension approach in [7]. The exact feedback linearization on the kinematic error model of mobile robot is realized. Its proof is simple and different from [7] since the complex process of verifying involution is avoided. By linearization, the nonlinear system is transferred to linear time-invariance system, which is equivalent to two reduced-order linear time-invariance systems that can be controlled easily. If angle speed of mobile robot is permanently nonzero, the local asymptotically stable controller is designed. If angle
speed of mobile robot is not permanently nonzero, the trajectory-tracking control strategy with globally tracking bound is given. The algorithm is simple and applied easily.
2. Preliminaries and problem formulation
Consider a class of nonlinear systems described as
Definition (Slotine and Li [8] and Feng and Fei[9].) Given X is an n-dimension differentiable manifold if there exists a neighborhood V of x0 and integer vector er1; r2;y; rmT such that
is nonsingular 8xAV; we say that system (1)–(2) has vector relative degree er1; at point x0: Lemma (Feng and Fei [9]).
The necessary and sufficient condition of exact feedback linearization at x0 for system (1) is that there exists a neighborhood V of x0 and smooth real-valued functionssuch that system (1)–(2) has vector relativeedegreeat the point,
The kinematic model of wheel-driven mobile robot as follows:
where (x; y) is the position of mobile robot and y is the heading angle. The control variables of mobile robot are the linear velocity v and the angular velocity o: Here, the trajectory-tracking problem is to track reference mobile robot with the known posture yr; yrT and velocities vr; as shown in Fig. 1. We have the posture error equation of mobile robot [5,6]
Hence we have the posture error difference equations [5,6]
From above analysis, the trajectory-tracking problem to reference mobile robot can be stated as: find the bounded inputs v and o so that for an arbitrary initial error, the state of system (5) can be held near the origin ; i.e.
3. Design of trajectory-tracking controllers
It is obvious that system (5) cannot be state-space exact feedback linearization. It cannot also be partial input/output feedback linearization by choosing the outputs y1 = ye; y2 = ye: The reason is that system (5) has not the relative degree. Actually It is obvious that the decoupling matrix is singular.
Proof. We differentiate the output equations y1=x2; y2=x3 then we have
From (11) and (13), we have the decoupling matrix
From (14) we have
Hence under outputs y1=x2; y2=x3; and angle velocity oa0; system (9) has the relative degree er1; and: Using lemma in Section 2, there exists the local diffeomorphism so that system (9) can be linearized exactly. The local diffeomorphism and transformed states are defined as follows:
the input transformations are defined as follows: Using (10)–(13), (16) and (17), system (9) can be transformed into a linear time-invariant system:
where is the new state vector. is the new control input.
The nonlinear system (9) is transformed into the linear time-invariant system (18)–(19) by the state and input transformations (16)–(17). For the linear timeinvariant system (18)–(19), we can apply the known linear control method such as pole-assignment method to implement control, hence we have the following Theorem 2. & Theorem 2. Assuming angle velocity oa; when system (9) is controlled by controller (20a), it has the local asymptotic stability. If oa0 cannot be satisfied, system (9) is controlled by controllers (20a) and (20b) alternately, it has the globally bounded tracking to reference mobile robot with the known posture ; and velocities vr; or. where e is a given arbitrary small positive number. The new control inputs where .i=1,2;are the parameters that
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make the matrix stable are, respectively,
Proof. Under angle velocity oa0; from Theorem 1, system (9) can be transformed into linear time-invariant system (18)–(19). It is clear that system (18)–(19) is completely controllable and completely observable. It contains two reduce-order independent subsystems
It is well known that linear time-invariant systems (22) can be well controlled via pole-assignment approach.
If angle velocity oa0 cannot be satisfied, to guarantee the realization of control, we choose the suitable small positive number e that can be specified artificially according to the need of practice, so that when jojXe; controller (20a) is used, when jojoe; controller (20b) is used. Hence controllers (20a) and (20b) are used alternately, which can guarantee the bounded tracking to reference mobile robot with the
known posture and velocities vr and or: From (20) we see that the control inputs v and o’ are bounded as long as vr and o’r are bounded.
4. Simulation research
We implement the simulation research to verify the effectiveness of tracking controllers (20a) and (20b). In the simulation, the parameters such as the initial conditions, desired velocities and feedback gains are listed in Table 1. We choose the same feedback gain for two time-invariant systems (22a) and (22b) Figs. 2–5 show the responses of the trajectory tracking control of mobile robot. Figs. 2 and 3 show the simulation results that mobile robot follows the straight lines, where controllers (20a) and (20b) are used alternately in order to guarantee the bounded tracking to reference mobile robot with or=0: From Figs. 2 and 3 we see that the performance of tracking is good and bounded; though xe has a bias from zero before t =5 s, it approximates near zero after t = 5 s. Figs. 4 and 5 show the simulation results that mobile robot follows the curves. From Figs. 4 and 5 we see that the performance of tracking is better. And all controllers are bounded, which guarantees the realization of control.
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5. Conclusion
In practice, to make the mobile robot obtain some postures and velocities, we can assume a reference mobile robot with these postures and velocities, and consider the trajectory-tracking problem to reference mobile robot.
In this paper, the trajectory-tracking problem to reference mobile robot is addressed based on dynamic extension approach. The exact feedback linearization on the kinematic error model of mobile robot is realized. The nonlinear system is transferred to two reduced-order linear time-invariance systems that can be controlled easily. The following control is realized, i.e. if angle speed of the mobile robot is permanently nonzero, the local asymptotically stable controller is designed. If angle speed of the mobile robot is not permanently nonzero, the trajectory-trackingcontrol strategy with globally tracking bound is given. The approaches are simple and efficient.
Acknowledgements
The author is grateful to the associate editor and referees for the valuable comments and suggestions.
一個精確的駕駛差異曲線移動機(jī)器人運動規(guī)劃
摘要
一個有固定單一曲率半徑旋轉(zhuǎn)軌跡建議，旨在將移動機(jī)器人駕駛差最優(yōu)軌跡計劃捕捉移動物體。一般來說，當(dāng)差分驅(qū)動一路走來，其旋轉(zhuǎn)半徑移動機(jī)器人的動作不是常數(shù)，與旅行距離增加移動機(jī)器人跟蹤誤差。此外，跟蹤誤差大大增加，當(dāng)移動機(jī)器人如下與旋轉(zhuǎn)半徑小軌跡?；谝陨蟽牲c，一個單一的曲率軌跡，它不斷旋轉(zhuǎn)半徑大，建議作為最優(yōu)軌跡，以盡量減少移動機(jī)器人駕駛差分跟蹤誤差。
本文首先回顧了單一曲率軌跡的特點。接下來，一個算法捕捉運動物體的建議恰恰是使用單一曲率軌跡。由于預(yù)先確定的初始狀態(tài)（即位置和移動機(jī)器人的方向和最后的狀態(tài)），移動機(jī)器人是由此捕捉移動物體的。
通過模擬和使用兩自由度的車輪實際試驗為基礎(chǔ)的移動機(jī)器人，該算法的有效性得到了驗證。
1.導(dǎo)言
移動機(jī)器人的研究被大體分為三種類別：路徑規(guī)劃，位置估計，和驅(qū)動控制。
移動機(jī)器人軌跡規(guī)劃,旨在提供從初始位置的最佳路徑目標(biāo)位置。優(yōu)化的移動機(jī)器人路徑規(guī)劃提供了一個路徑，它跟蹤誤差最小，最短的行車時間和距離。
移動機(jī)器人的跟蹤誤差會導(dǎo)致沖突的障礙由于偏離計劃的道路，也使機(jī)器人對未能成功的完成任務(wù)。跟蹤誤差減少要通過反饋控制。然而，這需要過度的控制努力是由于高增益控制。
跟蹤誤差也造成了旅行時間的增加，以及旅行的距離，由于需要滿足駕駛的額外調(diào)整狀態(tài)。因此，軌跡規(guī)劃，以減少跟蹤誤差是非常重要，需要謹(jǐn)慎處理。
跟蹤誤差的主要原因之一是差分驅(qū)動移動機(jī)器人在不同的路徑的旋轉(zhuǎn)半徑不連續(xù)的。在直線和曲線路線，或在一個轉(zhuǎn)折點連接點的旋轉(zhuǎn)半徑的變化。
在這幾點，差分驅(qū)動移動機(jī)器人由于方向的快速變化，很容易的脫離目標(biāo)軌道。因此，為了減少跟蹤誤差，在移動機(jī)器人軌跡必須要有計劃，盡可能使旋轉(zhuǎn)半徑維持為一個常數(shù)。
跟蹤誤差由于小旋轉(zhuǎn)半徑增加干擾了移動機(jī)器人的準(zhǔn)確駕駛。路徑在移動機(jī)器人可分為彎曲和直線段，總體看來。雖然跟蹤誤差不在直線部分產(chǎn)生的，產(chǎn)生重大的錯誤，在彎曲的部分，由于離心力和向心力，它使機(jī)器人在地面滑動。此外，跟蹤誤差增加旋轉(zhuǎn)時，半徑小。事實上，直線段可以被看作是一個彎曲的部分，其旋轉(zhuǎn)半徑無窮大。由于跟蹤誤差變大的彎曲段，一個同在彎曲的道路，旋轉(zhuǎn)半徑減少跟蹤誤差增長的可能性。請注意，一個相對較小的錯誤在直線路徑發(fā)生。
因此，重要的是要同時保持大并不斷旋轉(zhuǎn)半徑，以減少差分驅(qū)動移動機(jī)器人的跟蹤誤差。本文提出了一種單曲率軌跡，它不斷旋轉(zhuǎn)變大半徑。鑒于規(guī)模和旋轉(zhuǎn)半徑，單一曲率軌跡和雙曲率連續(xù)軌跡視圖比較顯示，隨著旋轉(zhuǎn)半徑減少跟蹤誤差增加。通過跟蹤沿每個軌道實驗，證明了單曲率軌跡跟蹤誤差最小。精確軌跡規(guī)劃，一個算法的移動機(jī)器人捕捉運動物體的建議。隨著預(yù)指定的初始位置和移動機(jī)器人的方向和最后的狀態(tài)，并假設(shè)運動物體的速度是預(yù)先估計，最佳捕捉移動機(jī)器人路徑作為這項研究的結(jié)果產(chǎn)生。
在第2節(jié)用運動學(xué)分析移動機(jī)器人的駕駛特點，同時分析了移動機(jī)器人正在彎曲的議案。單曲率軌跡和雙曲率軌跡說明，在第3節(jié)。第4節(jié)，講彎曲的軌跡形成的算法，根據(jù)單一曲率軌跡與理論公式.第五節(jié)引入顯示關(guān)于跟蹤誤差的比較單一曲率和雙曲率軌跡，在現(xiàn)實的捕捉實驗 。第6節(jié)結(jié)束這份文件，為今后的工作議程。
2．移動的移動機(jī)器人駕駛差的特
要形成駕駛移動機(jī)器人，運動學(xué)分析，首先需要不同的軌跡進(jìn)行。根據(jù)運動學(xué)分析，移動機(jī)器人駕駛差分驅(qū)動機(jī)制的特點進(jìn)行建模，它提供了軌跡規(guī)劃的理論基礎(chǔ)。
2.1 運動學(xué)分析的移動機(jī)器人
如圖所示。 1A是一個差分驅(qū)動機(jī)制的移動機(jī)器人有兩個在同一軸線車輪，每個車輪是由一個獨立的電機(jī)控制。讓我們定義Vl為左車輪速度，Vr為右車輪速度，l表示兩個輪子之間的距離。機(jī)器人的馬達(dá)決定兩輪的速度，vL 和 vR表示線速度和角速度，移動機(jī)器人vL和VR可以表示為：
一個有差分驅(qū)動機(jī)制的移動機(jī)器人運動學(xué)模型，可以說，如圖1b中所示.
兩個X _Y笛卡爾坐標(biāo)，對移動機(jī)器人的狀態(tài)用(t)和(t)表示，而方向用(t)表示.同時，用 和代表線性速度，代表角速度。在移動機(jī)器人速度矢量定義為：
現(xiàn)在，移動機(jī)器人運動學(xué)模型可以同樣地可以表示為
2.2 驅(qū)動移動機(jī)器人的原則
通過運動學(xué)分析,可以確認(rèn)，移動機(jī)器人的運動狀態(tài)與差分驅(qū)動機(jī)制改變的兩個輪子的速度。當(dāng)多個輪子的機(jī)器人繞瞬間旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)時，這個旋轉(zhuǎn)中心被稱為ICC（瞬時曲率中心）。如圖2b所示。ICC是位于橫截面的擴(kuò)展點的車輪中心的路線。對于一個差分驅(qū)動機(jī)制的移動機(jī)器人，ICC可以設(shè)在方向盤上的任何軸點，因為這兩個輪子軸在同一行。在這種情況下，ICC將取決于兩個輪子之間的速度比。圖 3說明ICC隨著機(jī)器人的運動和的位置改變。一個車輪之間的速度和車輪到ICC的距離成比例關(guān)系，如圖所示。
同樣地，上式可簡化為:
請注意，移動機(jī)器人旋轉(zhuǎn)半徑是左，右前輪速度值確定。當(dāng)機(jī)器人耕作跟蹤一條直線時，
R =1，vR = vL。當(dāng)vR != vL，機(jī)器人遵循某種旋轉(zhuǎn)半徑曲線軌跡。因此，速度和加速度的機(jī)器人改變，造成旋轉(zhuǎn)半徑是多種多樣的。當(dāng)移動機(jī)器人在A點時，其坐標(biāo)為，此時時間=T，到B，其坐標(biāo)為， 時間 = t + d t,
在時間= t + d t時，ICC坐標(biāo)可動態(tài)確定為
現(xiàn)在，機(jī)器人的運動位置，時間 = t + d t,可以來表示根據(jù)ICC和角位置
速度Vx，如下：
(a) 移動機(jī)器人的速度 (b) 機(jī)器人位置的表示形式
圖1 一種移動機(jī)器人的運動學(xué)模型
圖3 曲率
圖4 機(jī)器人移動中心
現(xiàn)在，移動機(jī)器人從A運動到B地點總距離d和旋轉(zhuǎn)角度u可表示如下：
利用這些方程，當(dāng)旋轉(zhuǎn)半徑，運動距離，以及移動機(jī)器人旋轉(zhuǎn)角度事先確定，所需的線性和角速度，可變區(qū)，虛擬現(xiàn)實和VX可以動態(tài)獲取，當(dāng)機(jī)器人是在行駛的曲線路徑運行時。
3．曲率軌跡
3.1 運動特性曲線
曲率，K是定義為移動機(jī)器人從一個點P旋轉(zhuǎn)至Q 時，Dh 與 Ds比值，如圖4所示。也就是說，曲率的定義是：
旋轉(zhuǎn)半徑可以定義為曲率的倒數(shù)，p=1/k,其中k〉0。從方程（11），可看出，總沿曲線的距離，弧的長度是與曲率成正比。K是成反比Ds的,曲率K也與曲線半徑成反比。如果k = 0，則曲線半徑，即旋轉(zhuǎn)半徑，成為無限。請注意，使得k = 0意味著一條直線，這是一種無限的半徑。
當(dāng)移動機(jī)器人沿著彎曲的軌跡前進(jìn)，旋轉(zhuǎn)半徑對跟蹤誤差產(chǎn)生嚴(yán)重影響。一般來說，移動機(jī)器人沿著一條直線（k= 0）比曲線路徑（k!=0）錯誤的可能性更小。從理論上說，一個彎曲的軌跡，可以計算出均衡器。 （6） - （8），假定純滾動和非滑移條件。
但是，實際駕駛可能導(dǎo)致與理論值的一些不同。當(dāng)一個移動機(jī)器人路徑彎曲后，有離心和向心合力。車輪與地面之間的摩擦力，作為ICC的向心力，維護(hù)了移動機(jī)器人曲線運動摩擦力。在理想的條件下滑動，跟蹤誤差為零。然而，在實際情況下，總會有一個跟蹤誤差造成的延誤。在離心力的作用，可以制定作為一個旋轉(zhuǎn)半徑R和速度v函數(shù)：
其中m是機(jī)器人的質(zhì)量和c是一個比例常數(shù)。圖 5說明了移動機(jī)器人駕駛的情況，從A出發(fā)，走曲線路徑。在理想的條件下，機(jī)器人，估計情況會如B1。然而，在實際情況下，通過機(jī)器人到達(dá)跟蹤誤差在B2。目前已經(jīng)進(jìn)行，在減少跟蹤誤差小的旋轉(zhuǎn)半徑和高運行速度進(jìn)行了許多研究。.圖 6顯示了一個真正的移動機(jī)器人誤差的特點，根據(jù)運動半徑和速度。右前輪的時速保持在恒定的，而左車輪被更改，以推動在一個彎曲移動的機(jī)器人。
隨著左車輪速度增加，以及跟蹤誤差的增加。還要注意的是一個小的旋轉(zhuǎn)速度，即使保持半徑不變跟蹤誤差也會增加。從對圖6的分析，可以得出結(jié)論，一個一個較小的旋轉(zhuǎn)半徑和更高的速度移動機(jī)器人的跟蹤誤差，同時提高了移動機(jī)器人沿著彎曲的道路運動。
圖5 移動機(jī)器人曲線的路徑傳動誤差
圖6 移動速度和曲線半徑的偏差
3.2 單曲率軌跡
圖7A和b分別代表單曲率和雙曲率軌跡。雙曲率軌跡又一對稱形狀的拐點。單曲率軌跡保持相同的曲率，而雙曲率軌跡改變其方向和曲率在拐點。圖7C表示了軌跡曲率隨機(jī)變化，即拐點在幾個地方存在。雖然移動機(jī)器人正沿軌跡7c。當(dāng)旋轉(zhuǎn)半徑，運動方向的改變時，車輪速度需要改變，按照式（7）。
同樣的運動距離，圖7A顯示了最大的旋轉(zhuǎn)半徑，而其他有不同的小半徑。因此，可以預(yù)見，當(dāng)移動機(jī)器人沿著單一軌道曲率旅行，它有最少跟蹤誤差。圖 8顯示了模擬單曲率和雙曲率軌跡形狀。
使用公式 （6）-（11），旋轉(zhuǎn)半徑，行駛距離，旋轉(zhuǎn)角度，以及ICC的位置，得到表1。運行的總距離單曲率和雙曲率軌跡相同。然而，旋轉(zhuǎn)半徑的單曲率軌跡2倍的雙曲軌道大。具體來說，旋轉(zhuǎn)半徑的單曲率軌跡5.0米，而另外的雙曲率是2.5米，它的拐點在（2.5，2.5）。接近圖6和7的顯示值，導(dǎo)致期望單一曲率的軌跡會比雙曲軌跡跟蹤誤差小。通過實時實驗，單曲率軌跡和雙曲率軌跡跟蹤誤差可以相互定量比較，。
?對移動機(jī)器人在最后位置方向，并非只對雙曲率軌跡，因為另一個轉(zhuǎn)折點曲率軌跡是必要的，以匹配方向移動機(jī)器人單曲率軌跡。
4.1 預(yù)先假設(shè)
根據(jù)不同的運動物體的狀態(tài)和移動機(jī)器人，為移動機(jī)器人最優(yōu)軌跡可能會有所不同。因此，在本文，是一個移動機(jī)器人最優(yōu)軌跡規(guī)劃，其中認(rèn)為對運動物體的運動的限制，以及移動機(jī)器人。
首先，移動的物體其線速度和角速度，表示如下：
(a) 單-曲率 (b) 雙曲率 (c) 復(fù)雜-曲率
圖7 曲率類型
(a) 單-曲率 (b) 雙曲率
圖8單曲率和雙曲率軌跡
根據(jù)方程（14）和（15），對移動物體的運動從最初的位置僅限于直在勻速直線運動。據(jù)推測，移動機(jī)器人保持靜態(tài)的，開始時，應(yīng)該有相同的速度和在目前的捕捉運動物體的方向。 移動機(jī)器人最優(yōu)路徑規(guī)劃，主要有兩個考慮因素：運動時間和跟蹤誤差。如果速度加快，最低的行車時間移動機(jī)器人移動時，跟蹤誤差會增加一個彎曲的路徑。因此，駕駛時的最低條件和跟蹤誤差在移動機(jī)器人的最小線速度和加速度范圍內(nèi)。
其表示如下：
其中Vmax是最大允許線速度和amax最大允許加速度。
對于一個給定的路徑最基本的駕駛時間，加速移動機(jī)器人選擇在允許的范圍內(nèi)加速范圍內(nèi)，最高速度。此外，在移動機(jī)器人的最高速度被限制在最小范圍內(nèi)允許的最大范圍內(nèi)跟蹤誤差。
4.2 獲得移動物體的移動機(jī)器人的狀態(tài)
由于移動機(jī)器人最優(yōu)路徑可以根據(jù)運動物體的移動機(jī)器人的狀態(tài)創(chuàng)建，在移動機(jī)器人狀態(tài)和運動物體的需要定義為成功的移動機(jī)器人路徑規(guī)劃準(zhǔn)確。
如圖9所示，一個移動物體的位置和移動機(jī)器人的定義為兩個三維笛卡爾變量x和y，以及方向變量h，然后，面向?qū)ο蟮囊苿?，hobj，表示為
運動物體的初始位置，，可以表示為
現(xiàn)在，移動物體的線速度，vobj，可以計算如下：
在移動機(jī)器人的初始位置被表示為
在移動機(jī)器人的使命要求，它開始捕獲了以固定的初始位置恒定速度運動的物體。如果移動機(jī)器人具有相同的速度，并在最后的位置定位移動物體，移動物體將被移動機(jī)器人輕易抓獲。
圖9 移動機(jī)器人與移動對象的初始狀態(tài)
4.3 確定路徑
根據(jù)移動機(jī)器人和物體的初始狀態(tài)，無論選中是單或雙曲率軌跡。單一曲率軌道存在的條件是獲得，這是一個有趣的觀察，這項研究產(chǎn)生的如圖10所示。當(dāng)沿單一曲率移動機(jī)器人移動的軌跡，從A至D可減少自彎曲運動延誤，可以跟蹤誤差最小化。
因此，在移動機(jī)器人可以捕捉運動物體時，正是具有相同的速度和移動物體。如果軌跡和運動物體的位置，方向被準(zhǔn)確估計，預(yù)計捕捉位置D (xD,yD)為：
在這種情況下，C的坐標(biāo)(xC,yC)，可以從運動物體的初始狀態(tài)和移動機(jī)器人的所得如下：
其中(xI,yI)代表了運動物體的初始位置。ICC坐標(biāo)單曲率軌跡，和旋轉(zhuǎn)半徑為R，可以表示如下：
還有一些單一曲率軌跡不能產(chǎn)生的情況，由于軌跡取決于移動機(jī)器人的狀態(tài)和運動目標(biāo)。如圖11所示，如果移動機(jī)器人與運動物體的角度和方向的區(qū)別是不積極，單曲率軌跡不能滿足在最后的位置捕獲條件。在這種情況下，雙曲率軌跡被選擇為最佳路徑，而不是單一曲率。在這種情況下，一個移動機(jī)器人軌跡分解為路徑1和路徑2。根據(jù)移動對象和移動機(jī)器人，旋轉(zhuǎn)半徑和ICC的坐標(biāo)被決定（見圖12）。
從最初的狀態(tài)，坐標(biāo)ICC1和 ICC2, ，表示如下：
對路徑1和路徑2的旋轉(zhuǎn)半徑選擇相同可減少跟蹤誤差，以及旋轉(zhuǎn)半徑可以表示為
請注意，移動機(jī)器人的方向是在轉(zhuǎn)折點，改變了雙曲率軌跡。
4.4設(shè)計文件的速度
移動機(jī)器人的速度決定的運動物體的速度和駕駛距離捕獲的對象。在單曲率軌跡的移動機(jī)器人線速度分為三個部分：加速，勻速和減速。在移動機(jī)器人線速度可以表示如下：
其中T是移動機(jī)器人的總行車時間。
根據(jù)移動機(jī)器人運動學(xué)，車輪速度，vR 和vL,以及移動機(jī)器人角速度hR，確定如下：
對于雙曲軌跡，兩個速度分布是必要的。也就是說，在拐點的移動機(jī)器人暫時停止和改變的速度分布。
5實驗
5.1實驗環(huán)境
實驗是在智能機(jī)器人實驗室.地板平整，光滑。移動機(jī)器人的實驗中使用的是三輪的驅(qū)動機(jī)制不同兩個自由度的移動機(jī)器人。在實施主計算機(jī)遠(yuǎn)程控制使用串行的通道。在移動機(jī)器人有一個 DSP320LF2407A控制板來控制的電機(jī)。
一個10位編碼器安裝在移動機(jī)器人每個車輪。對于運動物體的采樣周期是1 / 30秒。對移動機(jī)器人的硬件規(guī)格如表2。
表2 移動機(jī)器人的硬件列表
5.2實驗表明單一曲率軌跡優(yōu)勢
在前兩個實驗，同樣的移動機(jī)器人移動的單，雙曲率，曲率軌跡捕獲如圖14所示移動對象。跟蹤誤差測量和比較圖15。在計算單曲率和雙曲率軌跡表1可見，用來捕捉移動物體。正如15圖所示。為雙曲率軌跡跟蹤誤差的增長十分迅速，而單軌跡慢慢增加。通過這些實驗，可以得出結(jié)論，一個單一曲率軌跡是精確跟蹤運作的最佳，除非它是不可能的。
圖15 尋跡誤差比較
5.3實驗的捕獲軌跡
允許加速度被設(shè)置為0.1?常用和運動物體的線速度是假設(shè)恒定在0.3米/秒抽樣時間是0.1秒?；谠撍惴ǎ瑔吻受壽E，計劃捕捉如圖16A所示移動對象。與單一曲率軌跡的實驗結(jié)果如圖16B所示。以及規(guī)格和單曲率軌道實驗結(jié)果總結(jié)在表3。
（A）理論單曲率曲線 （B）實際運動曲線
圖17 機(jī)器人捕捉曲線
當(dāng)單曲率軌跡不可用，雙曲率軌跡被選擇，而不是單一曲率軌跡最優(yōu)軌跡捕捉移動物體。圖 17A說明路徑的移動機(jī)器人應(yīng)遵循捕捉運動物體沿著雙曲軌道上。與雙曲彈道實驗結(jié)果如圖17B所示。以及規(guī)格和雙曲率彈道實驗結(jié)果總結(jié)在表4.通過這些實驗，它再次證實了雙曲率軌跡具有比單曲率較大的軌跡跟蹤誤差。即使軌跡生成過程不是說明在這一節(jié)中。該算法在第4節(jié)解釋了一個成功的跟蹤和捕捉重要的作用。
表3 單-曲率軌跡的實驗結(jié)果 表4 雙曲率彈道實驗結(jié)果
（A）理論雙曲率曲線 （B）實際運動曲線
圖17 機(jī)器人雙曲率捕捉曲線
結(jié)論
本文為一個差分驅(qū)動移動機(jī)器人最優(yōu)路徑規(guī)劃新算法被提出。其中造成跟蹤移動機(jī)器人誤差的因素很多，路徑的曲率是深入分析本文，因為它可以不執(zhí)行以進(jìn)行任務(wù)的選擇。
這項研究表明了精確的彎曲議案單一曲率軌跡最優(yōu)。一個精確的曲線運動，運動物體的捕捉，是真正的實驗說明。在單曲率軌跡優(yōu)勢已核實的基礎(chǔ)上從理論和實際觀測實驗。由于與航位推算傳感器只能總額估計誤差的位置移動機(jī)器人當(dāng)他們航行，一個誤差校正算法，以支持精確和及時的控制。頻繁的糾錯過程降低了行駛性能至關(guān)重要，并可能導(dǎo)致不穩(wěn)定的行動。提供一個軌跡這會導(dǎo)致更少的錯誤，是非常有效的精確和快速彎跟蹤移動機(jī)器人駕駛差的議案。為了提高移動機(jī)器人駕駛的準(zhǔn)確性，在未來的研究中，智能位置估計計劃和駕駛控制算法將不得不進(jìn)一步發(fā)展。
鳴謝
這項工作是由支持MIC和國際熱帶農(nóng)業(yè)研究所的一部分，通過領(lǐng)先的IT研發(fā)支持項目。