新編高中數(shù)學 4.2.2最大值、最小值問題第1課時練習 北師大版選修11

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1、 新編數(shù)學北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學 4.2.2最大值、最小值問題第1課時練習 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．函數(shù)y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　) A．π－1 B．－1 C．π D．π＋1 [答案]　C [解析]　f ′(x)＝1－cosx≥0， ∴f(x)在上為增函數(shù)， ∴f(x)的最大值為f(π)＝π－sinπ＝π，故選C. 2．(2014北京東城區(qū)聯(lián)考)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)f ′(x)的圖像，則下面判斷正確的是(　　) A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù) B．在(1,3)上f(x)是減函數(shù) C．在(4,5)上f

2、(x)是增函數(shù) D．當x＝4時，f(x)取極大值 [答案]　C [解析]　由導函數(shù)y＝f ′(x)的圖像知，f(x)在(－2,1)上先減后增，在(1,3)上先增后減，在(4,5)上單調(diào)遞增，x＝4是f(x)的極小值點，故A、B、D錯誤，選C. 3．(2014營口三中期中)若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1處有極值，則a＋b等于(　　) A．2　　 B．3　　 C．6　　 D．9 [答案]　C [解析]　f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由條件知x＝1是方程f ′(x)＝0的實數(shù)根，∴a＋b＝6. 4．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上

3、的最大值為(　　) A. B． C. D． [答案]　A [解析]　f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]， ∵f＝，f(0)＝f(1)＝0. ∴f(x)max＝. 5．(2014河南淇縣一中模擬)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝eax＋3x，x∈R有大于零的極值點，則(　　) A．a(chǎn)>－3 B．a(chǎn)<－3 C．a(chǎn)>－ D．a(chǎn)<－ [答案]　B [解析]　y′＝aeax＋3，由條件知，方程aeax＋3＝0有大于零的實數(shù)根，∴0<－<1，∴a<－3. 6．若函數(shù)y＝x3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,3) B．(－∞，3) C．

4、(0，＋∞) D．(0，) [答案]　D [解析]　y′＝3x2－2a，因為函數(shù)在(0,1)內(nèi)有極小值， 所以方程3x2－2a＝0較大的根在(0,1)內(nèi)， 所以2a＝3x2∈(0,3)， 所以a∈(0，)． 二、填空題 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋3x－1，則其極大值點為________，極小值點為________． [答案]　1，－1 [解析]　f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)， 當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)減； 當x∈(－1,1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)增，所以f(x)極大值點為x＝1，極小值點為x＝－1

5、. 8．若函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在其定義域的一個子區(qū)間( t－1，t＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則t的取值范圍是________． [答案]　[1，) [解析]　f(x)的定義域為{x|x>0}，f′(x)＝4x－＝＝，f(x)在其定義域的一個子區(qū)間不單調(diào)，則需0≤t－1<，1≤t<. 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x＋4. (1)求函數(shù)的極值； (2)求函數(shù)在區(qū)間[－3,4]上的最大值和最小值． [答案]　(1)極大值9，極小值－1　(2)最大值9，最小值－1. [解析]　(1)由導數(shù)公式表和求導法則可得f′(x)＝x2－4. 解方程x2－4＝0，得x1＝－2

6、，x2＝2. x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表 x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  從上表看出，當x＝－2時，函數(shù)有極大值．且 f(－2)＝(－2)3－4(－2)＋4＝9. 而當x＝2時，函數(shù)有極小值，且 f(2)＝23－42＋4＝－1. (2)f(－3)＝(－3)3－4(－3)＋4＝7， f(4)＝43－44＋4＝9. 與極值點的函數(shù)值比較，得已知函數(shù)在區(qū)間[－3,4]上的最大值是9，最小值是－1. 10．(2014淄博市臨淄中學學分

7、認定考試)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲線y＝f(x)在點P(1，f(1))處的切線方程為y＝3x＋1. (1)求a、b的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值． [答案]　(1)a＝2，b＝－4　(2)13 [解析]　(1)依題意可知點P(1，f(1))為切點，代入切線方程y＝3x＋1可得，f(1)＝31＋1＝4， ∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2， 又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f ′(x)＝3x2＋2ax＋b， 而由切線方程y＝3x＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0， 由解得 ∴a＝2

8、，b＝－4. (2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令f ′(x)＝0，得x＝或x＝－2. 當x變化時，f(x)，f ′(x)的變化情況如下表： x －3 (－3，－2) －2 (－2，) (，1) 1 f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 8 增 極大值 減 極小值 增 4 ∴f(x)的極大值為f(－2)＝13，極小值為f()＝， 又f(－3)＝8，f(1)＝4， ∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13. 一、選擇題 1．函數(shù)y＝2x3－

9、3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分別是(　　) A．12；－8 B．1；－8 C．12；－15 D．5；－16 [答案]　A [解析]　y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2時y＝1，x＝－1時y＝12，x＝1時y＝－8. ∴ymax＝12，ymin＝－8.故選A. 2．(2014開灤二中期中)若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(0，) [答案]　D [解析]　f ′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)內(nèi)有

10、極小值， ∴在(0,1)內(nèi)存在點x0，使得在(0，x0)內(nèi)f ′(x)<0，在(x0,1)內(nèi)f ′(x)>0，由f ′(x)＝0得，x2＝2b>0， ∴∴0

11、∈R)滿足f ′(x)＞f(x)，則(　　) A．f(2)e2f(0) [答案]　D [解析]　設(shè)F(x)＝，則F′(x)＝>0， ∴F(x)在R上為增函數(shù)，故F(2)>F(0)， ∴>， 即f(2)>e2f(0)． 二、填空題 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值，則a＝________. [答案]　3 [解析]　考查分式函數(shù)求導法則、極值點的性質(zhì)． f ′(x)＝＝， f ′(1)＝0?＝0?a＝3. 6．(2014衡陽六校聯(lián)考)在區(qū)間[－a，a](a>0)內(nèi)圖像不間斷的

12、函數(shù)f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，函數(shù)g(x)＝exf(x)，且g(0)g(a)<0，又當00，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－a，a]內(nèi)零點的個數(shù)是________． [答案]　2 [解析]　∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)為偶函數(shù)， ∵g(x)＝exf(x)，∴g′(x)＝ex[f ′(x)＋f(x)]>0， ∴g(x)在[0，a]上為單調(diào)增函數(shù)， 又∵g(0)g(a)<0， ∴函數(shù)g(x)＝exf(x)在[0，a]上只有一個零點， 又∵ex≠0， ∴f(x)在[0，a]上有且僅有一個零點， ∵f(x)是偶函數(shù)，且f(0)≠0，

13、∴f(x)在[－a，a]上有且僅有兩個零點． 三、解答題 7．已知函數(shù)f(x)＝ex－f(0)x＋x2(e是自然對數(shù)的底數(shù))． (1)求f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)g(x)＝x2＋a與函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間[－1,2]上恰有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍． [答案]　(1)f(x)＝ex－x＋x2　f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)　(2)(1,1＋] [解析]　(1)由已知得f′(x)＝ex－f(0)＋x， ∴f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1. 又f(0)＝，∴f′(1)＝e. 從而f(x)＝ex－x

14、＋x2. 顯然f′(x)＝ex－1＋x在R上單調(diào)遞增且f′(0)＝0，故當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0. ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)． (2)由f(x)＝g(x)得a＝ex－x，令h(x)＝ex－x， 則h′(x)＝ex－1. 由h′(x)＝0得x＝0. 當x∈(－1,0)時，h′(x)<0；當x∈(0,2)時，h′(x)>0. ∴h(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增． 又h(0)＝1，h(－1)＝1＋，h(2)＝e2－2且h(－1)

15、，實數(shù)a的取值范圍是(1,1＋]． 8．(2014唐山市二模)已知函數(shù)f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R. (1)當a＝1時，求f(x)的最小值； (2)若f(x)>x，求a的取值范圍． [答案]　(1)0　(2)(－∞，0) [解析]　(1)當a＝1時，f(x)＝x2－lnx－x，f′(x)＝. 當x∈(0,1)時，f′(x)＜0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0. ∵f(x)的極小值為f(1)＝0， 又∵f(x)的定義域為(0，＋∞)， ∴f(x)的最小值為f(1)＝0. (2)f(x)＞x，即f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x＞0. 由于x＞0，所以f(x)＞x等價于x－＞a＋1. 令g(x)＝x－，則g′(x)＝. 當x∈(0,1)時，g′(x)＜0；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0. g(x)有最小值g(1)＝1. 故a＋1＜1，a的取值范圍是(－∞，0)．