2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(宏志班).doc
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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(宏志班) 一、選擇題(共60題,每題5分。每題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)。) 1.下列說(shuō)法正確的是 ( ) A.有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 B.四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形 C.有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn) 2.如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖, 其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,則原圖形是 ( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四邊形 3.已知直線是異面直線,直線分別與都相交,則直線的位置關(guān)系 A.可能是平行直線 B.一定是異面直線 C.可能是相交直線 D.平行、相交、異面直線都有可能 4.在正四面體的6條棱中隨機(jī)抽取2條,則其2條棱互相垂直的概率為 ( ) A. B. C. D. 5.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥,則( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 6.直線與的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.垂直 C.斜交 D.與的值有關(guān) 7.設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3,-1),∠B,∠C的平分線方程分別為x=0,y=x,則直線BC的方程為( ) A.y=2x+5 B.y=2x+3 C.y=3x+5 D.y=-x+ 8.是兩個(gè)不重合的平面,在下列條件中,可判斷平面平行的是 ( ) A.是平面內(nèi)兩條直線,且 B.內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等 C.都垂直于平面 D.是兩條異面直線,,且 9.某工作的三視圖如圖3所示,現(xiàn)將該工作通過(guò)切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為(材料利用率=新工件的體積/原工件的體積)( ) A、 B、 C、 D、 10.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( ) A. B. C. D. 11.在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值是( ) A.2 B. C. D. 12.如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D1、E、F的截面將正方體分割成兩個(gè)部分,記這兩個(gè)部分的體積分別為V1、V2(V1<V2),則V1:V2=( ?。? A. B. C. D. 二、填空題(共20分,每題5分) 13.直線l:ax+(a+1)y+2=0的傾斜角大于45,則a的取值范圍是________________. 14. 四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為,點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的體積為_(kāi)________. 15. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是________寸.(注:① 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;② 一尺等于十寸) 16.如果三棱錐的底面是正三角形,頂點(diǎn)在底面上的射影是△的中心,則這樣的三棱錐稱為正三棱錐.給出下列結(jié)論: ① 正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等; ② 正三棱錐至少有一組對(duì)棱(如棱與)不垂直; ③ 當(dāng)正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí),該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值; ④ 若正三棱錐所有棱長(zhǎng)均為,則該棱錐外接球的表面積等于. ⑤ 若正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為2,一個(gè)側(cè)面的頂角為,過(guò)點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱,于.則△周長(zhǎng)的最小值等于. 以上結(jié)論正確的是 (寫出所有正確命題的序號(hào)). 三、解答題(共70分,每題必需要有必要的解答過(guò)程) 17(10分).如圖,在四棱錐中,平面⊥平面,,分別是的中點(diǎn).求證: (1)直線∥平面; (2)平面⊥平面. 18(12分).如圖,在三棱錐中,,, ,,. (1)求三棱錐的體積; (2)求點(diǎn)C到平面距離. 19(12分).已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M(-1,0),N(1,0)距離的比為,點(diǎn)N到直線PM的距離為1.求直線PN的方程. 20(12分).如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,且∠DAB=60,PA=PD,M為CD的中點(diǎn),BD⊥PM. (1)求證:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若∠APD=90,四棱錐P﹣ABCD的體積為,求三棱錐A﹣PBM的高. 21(12分).如圖在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)(點(diǎn)E與B1不重合),且EH∥A1D1.過(guò)EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點(diǎn)分別為F,G. (1)證明:AD∥平面EFGH; (2)設(shè)AB=2AA1=2a,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p.當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱A1B1,B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí),求p的最小值. 22(12分).如圖,已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G. (Ⅰ)證明:G是AB的中點(diǎn); (Ⅱ )在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F (說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積. 合肥一六八中學(xué)xx第一學(xué)期期中考試 高二數(shù)學(xué)試題(宏志班) 命題人:汪克亮 審題人:賈秋雨 (考試時(shí)間:120分鐘 滿分:150分) 注意事項(xiàng): 1、 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。 2、 選擇題答案請(qǐng)用2B鉛筆準(zhǔn)確地填涂在答題卡上相應(yīng)位置,非選擇題答案必須填寫在答題卷上相應(yīng)位置,否則不得分。 3、 考試結(jié)束后,請(qǐng)將答題卡和答題卷一并交回。 第Ⅰ卷 一、選擇題(共60題,每題5分。每題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)。) 1.下列說(shuō)法正確的是 (B ) A.有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱 B.四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形 C.有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) D.棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn) 2.如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖, 其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,則原圖形是 (C ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四邊形 3.已知直線是異面直線,直線分別與都相交,則直線的位置關(guān)系 A.可能是平行直線 B.一定是異面直線 C.可能是相交直線 D.平行、相交、異面直線都有可能 答案 C 4.在正四面體的6條棱中隨機(jī)抽取2條,則其2條棱互相垂直的概率為 ( ) A. B. C. D. C 5.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥,則( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C 6.直線與的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.垂直 C.斜交 D.與的值有關(guān) B 7.設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3,-1),∠B,∠C的平分線方程分別為x=0,y=x,則直線BC的方程為( ) A.y=2x+5 B.y=2x+3 C.y=3x+5 D.y=-x+ 答案:A 8.是兩個(gè)不重合的平面,在下列條件中,可判斷平面平行的是 ( ) A.是平面內(nèi)兩條直線,且 B.內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等 C.都垂直于平面 D.是兩條異面直線,,且 D 9.某工作的三視圖如圖3所示,現(xiàn)將該工作通過(guò)切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為(材料利用率=新工件的體積/原工件的體積)( ) A、 B、 C、 D、 【答案】A 10.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 11.在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線A1B上存在一點(diǎn)P使得AP+D1P取得最小值,則此最小值是( ) A.2 B. C. D. D 12.如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D1、E、F的截面將正方體分割成兩個(gè)部分,記這兩個(gè)部分的體積分別為V1、V2(V1<V2),則V1:V2=( C?。? A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空題(共20分,每題5分) 13.直線l:ax+(a+1)y+2=0的傾斜角大于45,則a的取值范圍是________________. 答案 (-∞,-)∪(0,+∞) 14. 四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為,點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的體積為_(kāi)________. 解析: 如圖所示,根據(jù)對(duì)稱性,只要在四棱錐的高線SE上找到一個(gè)點(diǎn) 使得,則四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)就在同一個(gè)球面上.在中, ,故.設(shè)球的半徑為,則 中,,,即點(diǎn)E即為球心, 故這個(gè)球的體積 15. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是________寸.(注:① 平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;② 一尺等于十寸) 答案:3 解析:本題考查圓臺(tái)的體積公式.做出圓臺(tái)的軸截面如圖,由題意知,BF=14(單位寸,下同),OC=6,OF=18,OG=9,即G是OF中點(diǎn),所以GE為梯形的中位線,所以GE==10,即積水的上底面半徑為10.所以盆中積水的體積為(100π+36π+)=588π.盆口的面積為142π=196π,所以=3,即平地降雨量是3寸. 16.如果三棱錐的底面是正三角形,頂點(diǎn)在底面上的射影是△的中心,則這樣的三棱錐稱為正三棱錐.給出下列結(jié)論: ① 正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等; ② 正三棱錐至少有一組對(duì)棱(如棱與)不垂直; ③ 當(dāng)正三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí),該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值; ④ 若正三棱錐所有棱長(zhǎng)均為,則該棱錐外接球的表面積等于. ⑤ 若正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為2,一個(gè)側(cè)面的頂角為,過(guò)點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱,于.則△周長(zhǎng)的最小值等于. 以上結(jié)論正確的是 ▲ (寫出所有正確命題的序號(hào)). 答案:③,④,⑤ 三、解答題(共70分,每題必需要有必要的解答過(guò)程) 17(10分).如圖,在四棱錐中,平面⊥平面,,分別是的中點(diǎn).求證: (1)直線∥平面; (2)平面⊥平面. 解析:(1)如圖,在△PAD中,因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AP,AD的中點(diǎn), 所以EF∥PD. 又因?yàn)槠矫鍼CD,PD?平面PCD, 所以直線EF∥平面PCD. (2)連接BD.因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60,所以△ABD為正三角形. 因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),所以BF⊥AD. 因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD. 又因?yàn)锽F?平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD. 18(12分).如圖,在三棱錐中,,,,,. (1)求三棱錐的體積; (2)求點(diǎn)C到平面距離. 18.解:(1)過(guò)作交于一點(diǎn), , . 在中,,,則,. 面積. 四面體體積. (2)在中,連接.則,. ,. 在中,,,, ,. . 設(shè)點(diǎn)到平面距離為,由等體積法可知. . .從而. 點(diǎn)到平面距離為. 19(本題滿分12分)已知點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)M(-1,0),N(1,0)距離的比為,點(diǎn)N到直線PM的距離為1.求直線PN的方程. 解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)有=, 即=, 整理得x2+y2-6x+1=0.① 因?yàn)辄c(diǎn)N到PM的距離為1,|MN|=2,所以∠PMN=30,直線PM的斜率為, 直線PM的方程為y=(x+1).② 將②式代入①式整理得x2-4x+1=0, 解得x=2,代入②式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+,1+)或(2-,-1+)或(2+,-1-)或(2-,1-), ∴直線PN的方程為y=x-1或y=-x+1. 20(12分).如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,且∠DAB=60,PA=PD,M為CD的中點(diǎn),BD⊥PM. (1)求證:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若∠APD=90,四棱錐P﹣ABCD的體積為,求三棱錐A﹣PBM的高. 20證明:(1)取AD的中點(diǎn)E,連接PE,EM,AC. 底面ABCD為菱形, 又 EM ∥AC, 又BD⊥PM, 則. , 平面PAD⊥平面ABCD (2)設(shè), 由∠APD=90,可得 由(1)知,則 ,則 連接,可得 . 設(shè)三棱錐A﹣PBM的高為,則由,可得 即. 21(12分).如圖在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)(點(diǎn)E與B1不重合),且EH∥A1D1.過(guò)EH的平面與棱BB1,CC1相交,交點(diǎn)分別為F,G. (1)證明:AD∥平面EFGH; (2)設(shè)AB=2AA1=2a,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE-D1DCGH內(nèi)的概率為p.當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱A1B1,B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí),求p的最小值. (1)證明:在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD∥A1D1, 又因?yàn)镋H∥A1D1,所以AD∥EH. 因?yàn)锳D平面EFGH,EH平面EFGH, 則AD∥平面EFGH. (2)解:設(shè)BC=b,則長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D的體積V=ABADAA1=2a2b. 幾何體EB1F-HC1C的體積V1=(EB1B1FB1C1)=EB1B1F. 因?yàn)? 所以EB1B1F. 當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=時(shí)等號(hào)成立. 從而V1≤. 故≥. 當(dāng)且僅當(dāng)EB1=B1F=時(shí)等號(hào)成立. 則p的最小值為. 22(12分).如圖,已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G. (Ⅰ)證明:G是AB的中點(diǎn); (Ⅱ)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積. 【分析】(Ⅰ)根據(jù)題意分析可得PD⊥平面ABC,進(jìn)而可得PD⊥AB,同理可得DE⊥AB,結(jié)合兩者分析可得AB⊥平面PDE,進(jìn)而分析可得AB⊥PG,又由PA=PB,由等腰三角形的性質(zhì)可得證明; (Ⅱ)由線面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC,可得F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.由棱錐的體積公式計(jì)算可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)證明:∵P﹣ABC為正三棱錐,且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影, ∴PD⊥平面ABC,則PD⊥AB, 又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影, ∴DE⊥面PAB,則DE⊥AB, ∵PD∩DE=D, ∴AB⊥平面PDE,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G, 則AB⊥PG, 又PA=PB, ∴G是AB的中點(diǎn); (Ⅱ)在平面PAB內(nèi),過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影. ∵正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形, ∴PB⊥PA,PB⊥PC, 又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC, 即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影. 連結(jié)CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心. 由(Ⅰ)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CD=CG. 由題設(shè)可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC. 由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PG=3,PE=2. 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2. 所以四面體PDEF的體積V=DES△PEF=222=. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積計(jì)算以及線面垂直的性質(zhì)、應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確分析幾何體的各種位置、距離關(guān)系.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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