2020高中數學北師大版選修21課時作業(yè)：第3章 習題課2 Word版含解析

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1、北師大版2019-2020學年數學精品資料 習題課(2) 一、選擇題 1．將拋物線y＝4x2繞焦點逆時針方向旋轉90后，所得拋物線的準線方程是(　　) A．x＝2 B．y＝－2 C．x＝ D．x＝ 解析：化成標準式x2＝y(tǒng)，則p＝，設準線方程為x＝m，則m＝. 答案：C 2．若拋物線y2＝2px(p>0)上三個點的縱坐標的平方成等差數列，那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關系是(　　) A．成等差數列 B．既成等差數列又成等比數列 C．成等比數列 D．既不成等比數列也不成等差數列 解析：設三點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 則y＝

2、2px1，y＝2px2，y＝2px3， 因為2y＝y(tǒng)＋y，所以x1＋x3＝2x2， 即|P1F|－＋|P3F|－＝2， 所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|. 答案：A 3．已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點，O為坐標原點，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，則直線AB的方程是(　　) A．x＝p B．x＝3p C．x＝p D．x＝p 解析：∵|OA|＝|OB|，∴A，B兩點關于x軸對稱，由于垂心是焦點，則垂心為F. 設A，B兩點的坐標分別為A(x0，y0)，B(x0，－y0)，由題意，得kFAkOB＝－1，即＝－1， 則y＝x0.

3、 ∵y＝2px0(x0>0，p>0)， ∴2px0＝x0.∴x0＝p. ∴直線AB的方程為x＝p. 答案：D 4．拋物線x2＝－4y的通徑為線段AB，O為拋物線的頂點，則(　　) A．通徑長為8，△AOB的面積為4 B．通徑長為8，△AOB的面積為2 C．通徑長為4，△AOB的面積為4 D．通徑長為4，△AOB的面積為2 解析：在拋物線x2＝－4y中，因為2p＝4，所以通徑的長為4，△AOB的面積為2p＝41＝2. 答案：D 5．過拋物線y2＝ax(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若PF與FQ的長分別為p、q，則＋等于(　　) A．2a B． C．4

4、a D． 解析：可采用特殊值法，設PQ過焦點F且垂直于x軸，則|PF|＝p＝xp＋＝＋＝， |QF|＝q＝，∴＋＝＋＝. 答案：D 6．[2014河北省衡水中學期中考試]已知拋物線y＝x2－1上一定點B(－1,0)和兩個動點P，Q，當BP⊥PQ時，點Q的橫坐標的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3)∪[1，＋∞) B．[－3,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：本題主要考查直線垂直的條件和直線與拋物線的位置關系．設P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個不同的

5、點，∴必須有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴點Q的橫坐標的取值范圍是(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故選D. 答案：D 二、填空題 7．拋物線y＝ax2的準線方程為y＝1，則實數a的值是__________． 解析：拋物線y＝ax2化為x2＝y(tǒng)， 由于其準線方程為y＝1，故a<0，且||＝1， 解得a＝－. 答案：－ 8．[2014四川省綿陽南山中學月考]拋物線y2＝2x上的兩點A、B到焦點的距離之和是5，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離是________． 解析：本題主要考查拋物線的定義和基本性質的應用．拋物線y2＝2x的焦點為F

6、(，0)，準線方程為x＝－，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故線段AB的中點橫坐標為2.故線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2. 答案：2 9．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝__________. 解析：∵直線AF的斜率為－， ∴∠PAF＝60. 又|PA|＝|PF|， ∴△PAF為正三角形，作FM⊥PA，則M為PA中點，|MA|＝p， ∴|PA|＝2p. ∴|PF|＝|AP|＝2p＝8. 答案：8 三、解答題 10．(1)求

7、過點(－，0)(p>0)且與直線x＝相切的動圓圓心M的軌跡方程； (2)平面上動點M到定點F(0,3)的距離比M到直線y＝－1的距離大2，求動點M滿足的方程，并畫出相應的草圖． 解：(1)根據拋物線的定義知， 圓心M的軌跡是以點(－，0)為焦點， 直線x＝為準線的拋物線， 其方程為y2＝－2px(p>0)． (2)因為動點M到定點F(0,3)的距離比點M到直線y＝－1的距離大2， 所以動點M到定點F(0,3)的距離等于點M到直線y＝－3的距離， 由拋物線的定義得動點M的軌跡是以定點F(0,3)為焦點， 定直線y＝－3為準線的拋物線， 故動點M的軌跡方程為x2＝12y，

8、 草圖如上圖所示． 11．已知拋物線方程y2＝2x，設點A的坐標為(a,0)，求拋物線上的點到點A的距離最小值d，并寫出關系式d＝f(a)． 解：設B(x，y)是拋物線y2＝2x上任意一點， 則|AB|2＝(x－a)2＋y2＝[x－(a－1)]2－1＋2a. 當a>1時，此時當x＝a－1時，|AB|取最小值， d＝； 當a≤1時，此時當x＝0時，|AB|取最小值，d＝|a|. 綜上所述，d＝ 12．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程； (2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A、

9、B的任一直線，都有<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解：(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足－x＝1(x>0)，化簡得y2＝4x(x>0)． 即曲線C的方程為y2＝4x(x>0)． (2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 設l的方程為x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m)>0，由韋達定理知 ① 因為＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)， <0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0. ② 又x＝，所以不等式②等價于 ＋y1y2－＋1<0 ?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0， ③ 由①式，不等式③等價于m2－6m＋1<4t2， ④ 對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1<0，即3－2