2020高中數學 3.3計算導數練習 北師大版選修11

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1、 北師大版2019-2020學年數學精品資料 【成才之路】高中數學 3.3計算導數練習 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．設y＝e3，則y′等于(　　) A．3e2 B．e2 C．0 D．以上都不是 [答案]　C [解析]　∵y＝e3是一個常數，∴y′＝0. 2．已知函數f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．不確定 [答案]　B [解析]　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝1.切點有兩個，即可得切線有兩條． 3．f(x)＝，則f′(－1)＝(　　) A. B．－ C. D．－ [答案]　D [解析]　∵f

2、(x)＝x－， ∴f′(x)＝－x－， ∴f′(－1)＝－(－1) －＝－. 4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，則α的值等于(　　) A．4　　 B．－4　　 C．5　　 D．－5 [答案]　A [解析]　f(x)＝xα，f′(x)＝αxα－1，所以f′(－1)＝α(－1)α－1，當α＝4時，f′(－1)＝4(－1)3＝－4，符合題意，另三個選項都不能滿足f′(－1)＝－4，故選A. 5．若f(x)＝sinx，則f′(2π)和(f(2π))′的值分別為(　　) A．1和0 B．－1和0 C．0和1 D．cosx和－1 [答案]　A [解析]　(sinx)′＝

3、cosx，∴f′(2π)＝cos2π＝1. 又f(2π)＝sin2π＝0，∴(f(2π))′＝0，故選A. 6．(2014合肥一六八高二期中)下列函數中，導函數是奇函數的是(　　) A．y＝sinx B．y＝ex C．y＝lnx D．y＝cosx－ [答案]　D [解析]　由y＝sinx得y′＝cosx為偶函數，故A錯；又y＝ex時，y′＝ex為非奇非偶函數，∴B錯；C中y＝lnx的定義域x>0，∴C錯；D中y＝cosx－時，y′＝－sinx為奇函數，∴選D. 二、填空題 7．質點沿直線運動的路程與時間的關系是s＝，則質點在t＝32時的速度等于____________． [答

4、案]　 [解析]　∵s′＝()′＝(t)′＝t－， ∴質點在t＝32時的速度為32－＝(25) － ＝. 8．在曲線y＝上求一點P，使得曲線在該點處的切線的傾斜角為135，則P點坐標為________． [答案]　(2,1) [解析]　設P(x0，y0)， ∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135＝－1， ∴－8x＝－1. ∴x0＝2，y0＝1. 三、解答題 9．求下列函數的導數． (1)y＝x7；(2)y＝x10. [解析]　(1)y′＝7x6；(2)y′＝10x9. 10．求證：雙曲線y＝上任意一點P處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為定值． [答

5、案]　定值為2，證明略 [解析]　設雙曲線上任意一點P(x0，y0)， ∵y′＝－， ∴點P處的切線方程y－y0＝－(x－x0)． 令x＝0，得y＝y(tǒng)0＋＝； 令y＝0，得x＝x0＋xy0＝2x0. ∴S△＝|x||y|＝2. ∴三角形面積為定值2. 一、選擇題 1．(2014北京東城區(qū)聯考)曲線y＝x3在x＝1處切線的傾斜角為(　　) A．1 B．－ C. D． [答案]　C [解析]　∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切線的傾斜角α滿足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝. 2．給出下列結論： ①若y＝，則y′＝－； ②y＝，則y′＝； ③y＝log2x

6、，則y′＝； ④y＝cosx，則y′＝sinx； ⑤已知f(x)＝3x，則f ′(2)＝[f(2)]′. 其中正確的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　A [解析]　y＝＝x－3，y′＝－3x－4＝－，故①正確；y＝＝x，y′＝x－＝，故②不正確；y＝log2x，y′＝；故③不正確；y＝cosx，y′＝－sinx，故④不正確； ∵f(2)為常數，∴[f(2)]′＝0，又f ′(2)＝32ln3， ∴⑤錯誤． 3．正弦曲線y＝sinx上切線的斜率等于的點為(　　) A．(，) B．(－，－)或(，) C．(2kπ＋，) D．(2kπ＋，)或(2k

7、π－，－) [答案]　D [解析]　設斜率等于的切線與曲線的切點為P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝， ∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－. 4．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2015(x)＝(　　) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx [答案]　D [解析]　f0(x)＝sinx， f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx， f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx， f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－

8、cosx， f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx， ∴4為最小正周期． ∴f2015(x)＝f3(x)＝－cosx. 二、填空題 5．P是拋物線y＝x2上一點，若過點P的切線與直線y＝－x＋1垂直，則過點P的切線方程為________． [答案]　y＝2x－1 [解析]　設P(x0，x)，則k＝y(tǒng)′＝2x0＝2，故x0＝1，∴P(1,1)，k＝2，∴切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 6．兩曲線y＝與y＝在交點處的兩切線的斜率之積為________． [答案]?。? [解析]　兩曲線y＝與y＝的交點坐標為(1,1)， ∴k1＝()′|x＝1＝－

9、|x＝1＝－1， k2＝()′|x＝1＝|x＝1＝. ∴k1k2＝－. 三、解答題 7．已知曲線C：y＝x3. (1)求曲線C上點(－1，－1)處的切線方程； (2)在(1)中的切線與曲線C是否還有其他公共點？ [答案]　(1)3x－y－2＝0　(2)其他公共點有(1,1)和(－2，－8) [解析]　(1)∵y′＝3x2， ∴切線斜率k＝3， ∴切線方程y＋1＝3(x＋1)， 即3x－y＋2＝0. (2)由消去y得，3x－x3－2＝0， ∴(x－1)2(x＋2)＝0， ∴x1＝1，x2＝－2. ∴其他公共點為(1,1)及(－2，－8)． 8．已知函數y＝asinx＋b的圖像過點A(0,0)，B(，－1)，試求函數在原點處的切線方程． [答案]　y＝x [解析]　∵y＝asinx＋b的圖像過點A(0,0)，B(，－1)， ∴，解得. ∴y＝sinx. 又∵y′＝cosx，∴y′|x＝0＝1. ∴切線方程為y＝x.