新教材高中數(shù)學北師大版選修23教學案：第一章 1 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 分類加法計數(shù)原理 1．李娜為了備戰(zhàn)2014年澳大利亞網(wǎng)球會開賽，需要從北京到A地進行封閉式訓練，每天有7次航班，5列動車． 問題1：李娜從北京到A城的方法可分幾類？ 提示：兩類，即乘飛機、乘動車． 問題2：這幾類方法都能完成“從北京到A城”這件事嗎？ 提示：都能． 問題3：李娜從北京到A城共有多少種不同的方法？ 提示：7＋5＝12(種)． 2．若你班有男生26人，女生24人，從中選一名同學擔任班長． 問題4：不同的選法的種數(shù)為多少？ 提示：26＋24＝50. 分類加法

2、計數(shù)原理(加法原理) 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，……，在第n類辦法中有mn種方法．那么，完成這件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn種方法. 分步乘法計數(shù)原理 1．李娜從北京到A城需在B城停留，若從北京到B城有7次航班，從B城到A城有5列動車． 問題1：李娜從北京到A城需要經(jīng)歷幾個步驟？ 提示：兩個，即從北京到B城，從B城到A城． 問題2：這幾個步驟中的某一步能完成“從北京到A城”這件事嗎？ 提示：不能．必須“從北京到B城”“從B城到A城”這兩步都完成后才能完成“從北京到A城”這件事． 問題3：李娜從北京到A城共有

3、多少種不同的方法？ 提示：75＝35(種)． 2．若你班有男生26人，女生24人，從中選一名男生和一名女生擔任班長． 問題4：不同的選法的種數(shù)為多少？ 提示：2624＝624. 分步乘法計數(shù)原理(乘法原理) 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有 N＝m1m2…mn種方法． 1．分類加法計數(shù)原理中的每一種方法都可以完成這件事情，而分步乘法計數(shù)原理的每一個步驟都是完成這件事情的中間環(huán)節(jié)，都不能獨立完成這件事情． 2．分類加法計數(shù)原理考慮的是完成這件事情的方法被分成不同的類別，求各

4、類方法之和；而分步乘法計數(shù)原理考慮的是完成這件事情的過程被分成不同的步驟，求各步驟方法之積．  分類加法計數(shù)原理 [例1]　高二一班有學生50人，男生30人；高二二班有學生60人，女生30人；高二三班有學生55人，男生35人． (1)從中選一名學生擔任學生會主席，有多少種不同的選法？ (2)從高二一班、二班男生中，或從高二三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？ [思路點撥]　(1)完成的一件事是從三個班級中選一名學生任學生會主席；(2)完成的一件事是從一班、二班男生中，或從三班女生中選一名學生任學生會體育部長，因而可按當選學生來自不同班級

5、分類，利用分類加法計數(shù)原理求解． [精解詳析]　(1)選一名學生任學生會主席有3類不同的選法： 第一類，從高二一班選一名，有50種不同的方法； 第二類，從高二二班選一名，有60種不同的方法； 第三類，從高二三班選一名，有55種不同的方法． 故任選一名學生任學生會主席的選法共有 50＋60＋55＝165種不同的方法． (2)選一名學生任學生會體育部長有3類不同的選法： 第一類，從高二一班男生中選，有30種不同的方法； 第二類，從高二二班男生中選，有30種不同的方法； 第三類，從高二三班女生中選，有20種不同的方法． 故選一名學生任學生會體育部長共有 30＋30＋20＝80

6、種不同的方法． [一點通]　如果完成一件事有n類不同的辦法，而且這n類辦法是相互獨立的，無論用哪一類辦法中的哪一種方法都能獨立地完成這件事，那么求完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計數(shù)原理．分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總種數(shù)． 1．上海世博會期間，一志愿者帶一客人去預(yù)訂房間，賓館有上等房10間，中等房20間，一般房25間，則客人選一間房的選法有(　　) A．500種　　　　　　　　 B．5 000種 C．55種 D．10種 解析：選法為10＋20＋25＝55種． 答案：C 2．(福建高考)滿足a，b∈{－1,0,1,

7、2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(　　) A．14　　　　　　　　　 B．13 C．12 D．10 解析：因為a，b∈{－1,0,1,2}，可分為兩類：①當a＝0時，b可能為－1或0或1或2，即b有4種不同的選法；②當a≠0時，依題意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.當a＝－1時，b有4種不同的選法，當a＝1時，b可能為－1或0或1，即b有3種不同的選法，當a＝2時，b可能為－1或0，即b有2種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，(a，b)的個數(shù)共有4＋4＋3＋2＝13. 答案：B 3．在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字大于個位數(shù)字的兩位數(shù)共有

8、多少個？ 解：依據(jù)“十位數(shù)字大于個位數(shù)字”進行分類，令十位數(shù)字為 m，個位數(shù)字為n，則有 當 m＝1時，n＝0，有1個； 當 m＝2時，n＝0,1，有2個；當 m＝3時，n＝0,1,2，有3個；…… 當 m＝9時，n＝0,1,2,3…8，有9個． 所有這樣的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋…＋9＝45個. 分步乘法計數(shù)原理 [例2]　(1)(山東高考)用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 (　　) A．243 B．252 C．261 D．279 (2)有三個盒子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個，現(xiàn)從盒子里任取紅、白、黃

9、小球各一個，有不同的取法________種． [思路點撥]　(1)先排百位，然后排十位，最后排個位．注意百位數(shù)字不能為0. (2)要從盒子里任取紅、白、黃小球各一個，應(yīng)分三個步驟，并且這三個步驟均完成時，才完成這件事，故須采用乘法原理． [精解詳析]　(1)十個數(shù)字組成三位數(shù)的個數(shù)為91010＝900.沒有重復數(shù)字的三位數(shù)有998＝648，所以有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648＝252. (2)完成這件事可分三步： 第一步：取紅球，有6種不同的取法； 第二步：取白球，有5種不同的取法； 第三步：取黃球，有4種不同的取法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝654＝120種不同

10、的取法． [答案]　(1)B　(2)120 [一點通]　利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)的一般思路：首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積，注意各步之間的相互聯(lián)系，每步都完成后，才能完成這件事． 4．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同配法的種數(shù)為(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 解析：要完成長褲與上衣配成一套，分兩步： 第一步：選上衣，從4件中任選一件，有4種不同選法； 第二步：選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法． 故共有43＝12種不同的配法． 答案：B 5．將3封

11、信投到4個郵筒，所有投法有(　　) A．24種 B．4種 C．64種 D．81種 解析：分三步完成投信這件事．第一步投第1封信有4種方法，第二步投第2封信有4種方法，第三步投第3封信有4種方法，故共有N＝444＝64種方法． 答案：C 6．從1,2,3,4中選三個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的整數(shù)，則滿足下列條件的數(shù)有多少個？ (1)三位數(shù)； (2)三位數(shù)的偶數(shù)． 解：(1)三位數(shù)有三個數(shù)位：百位，十位，個位，故可分三步完成： 第一步，排個位，從1,2,3,4中選1個數(shù)字，有4種方法； 第二步，排十位，從剩下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法； 第三步，排百位，從剩下的2個數(shù)

12、字中選1個，有2種方法． 依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有432＝24個滿足要求的三位數(shù)． (2)分三步完成： 第一步，排個位，從2,4中選1個，有2種方法； 第二步，排十位，從余下的3個數(shù)字中選1個，有3種方法； 第三步，排百位，只能從余下的2個數(shù)字中選1個，有2種方法． 故共有232＝12個三位數(shù)的偶數(shù). 兩個計數(shù)原理的應(yīng)用 [例3]　(12分)如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊．現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊地里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，問共有多少種不同的種植方法． [思路點撥]　本題可以先分類，由A，C是否種相同的花分為兩類，也可以先分步，在考慮C時

13、再分類． [精解詳析]　法一：分為兩類： 第一類：當花壇A，C中種的花相同時有4313＝36種； 第二類：當花壇A，C中種的花不同時有4322＝48種． 共有36＋48＝84種． 法二：分為四步： 第一步：考慮A，有4種； 第二步：考慮B，有3種； 第三步：考慮C，有兩類：一是A與C同，C的選法有1種，這樣第四步D的選法有3種；二是A與C不同，C的選法有2種，此時第四步D的選法也有2種． 共有43(13＋22)＝84種． [一點通]　綜合應(yīng)用兩個原理時，一定要把握好分類與分步．分類是根據(jù)完成方法的不同類別，分步是根據(jù)一種方法進程的不同步驟． 7．已知集合M＝{1，－2

14、,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中，第一、二象限不同點的個數(shù)為(　　) A．18 B．16 C．14 D．10 解析：分為兩大類： 第一類，以集合M中的元素為點的橫坐標，集合N中的元素為點的縱坐標． 由分步乘法計數(shù)原理，有32＝6個不同的點． 第二類，以集合N中的元素為點的橫坐標，集合M中的元素為點的縱坐標． 由分步乘法計數(shù)原理，有42＝8個不同的點． 由分類加法計數(shù)原理，第一、二象限內(nèi)不同的點共有N＝6＋8＝14個． 答案：C 8．有不同的中文書7本，不同的英文書5本，不同的法文書3本．若從中選出不屬于同一種

15、文字的2本書，共有________種不同的選法． 解析：分為三類，每一類再分兩步． 第一類選中文、英文書各一本有75＝35種選法，第二類選中文、法文書各一本有73＝21種選法，第三類選英文、法文書各一本有53＝15種選法，所以總共有35＋21＋15＝71種不同的選法． 答案：71 9．電視臺在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的群眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多少種不同的結(jié)果？ 解：確定幸運觀眾可分兩類： 第一類：幸運之星在甲箱中抽，再在兩箱中各定一名幸運

16、伙伴，有302920＝17 400種結(jié)果； 第二類：幸運之星在乙箱中抽，再在兩箱中各定一名幸運伙伴，有203019＝11 400種結(jié)果． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有17 400＋11 400＝28 800種不同的結(jié)果． 1．兩個計數(shù)原理的區(qū)別 分類加法計數(shù)原理 分步乘法計數(shù)原理 區(qū)別一 完成一件事有n類不同的辦法，關(guān)鍵詞是“分類” 完成一件事需要n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步” 區(qū)別二 每類辦法都能獨立地完成這件事，它是獨立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事 每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，即缺少任何一步都不能完成這件事

17、，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事 區(qū)別三 各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的 各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復 2.“分類”“分步”應(yīng)注意 (1)分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)． (2)分步要做到“步驟完整”．完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． 1．一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學書14本，英語書11本，從中任取一本，則不同的取法共有(　

18、　) A．37種　　　　　　　　　 B．1 848種 C．3種 D．6種 解析：根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得不同的取法為N＝12＋14＋11＝37(種)． 答案：A 2．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù) a，b 組成復數(shù) a＋bi，其中虛數(shù)有 (　　) A．30個 B．42個 C．36個 D．35個 解析：完成這件事分為兩個步驟：第一步，虛部 b 有6種選法；第二步，實部 a 有6種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有虛數(shù) 66＝36 個． 答案：C 3．現(xiàn)有高一學生9人，高二學生12人，高三學生7人，自發(fā)組織參加數(shù)學課外活動小組，從中推選兩名

19、來自不同年級的學生做一次活動的主持人，不同的選法共有(　　) A．756種 B．56種 C．28種 D．255種 解析：推選兩名來自不同年級的兩名學生，有N＝912＋127＋97＝255(種)． 答案：D A B C D 4.用4種不同的顏色給矩形A，B，C，D涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有(　　) A．12種 B．24種 C．48種 D．72種 解析：先涂C，有4種涂法，涂D有3種涂法，涂A有3種涂法，涂B有2種涂法． 由分步乘法計數(shù)原理，共有4332＝72種涂法． 答案：D 5．為了對某農(nóng)作物新品種選擇最佳生產(chǎn)條件，

20、在分別有3種不同土質(zhì)，2種不同施肥量，4種不同的種植密度，3種不同的種植時間的因素下進行種植試驗，則不同的實驗方案共有________種． 解析：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的方案有N＝3243＝72(種)． 答案：72 6．如圖，A→C，有________種不同走法． 解析：A→C的走法可分兩類： 第一類：A→C，有2種不同走法； 第二類：A→B→C，有22＝4種不同走法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得共有2＋4＝6種不同走法． 答案：6 7．設(shè)橢圓＋＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}． (1)求滿足條件的橢圓的個數(shù)； (2)如果橢圓的焦點在x軸上，求橢圓的個數(shù)．

21、 解：(1)由橢圓的標準方程知a≠b，要確定一個橢圓，只要把a，b一一確定下來這個橢圓就確定了． ∴要確定一個橢圓共分兩步：第一步確定a，有5種方法；第二步確定b，有4種方法，共有54＝20個橢圓． (2)要使焦點在x軸上，必須a>b，故可以分類：a＝2,3,4,5時，b的取值列表如下： a 2 3 4 5 b 1 1,2 1,2,3 1,2,3,4 故共有1＋2＋3＋4＝10個橢圓． 8．某藝術(shù)小組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的1種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴和會小號的各1人，有多少種不同的選法？ 解：由題意可知，在藝術(shù)小組9人中，有且僅有1人既會鋼琴又會小號(把該人稱為“多面手”)，只會鋼琴的有6人，只會小號的有2人，把選出會鋼琴、小號各1人的方法分為兩類： 第一類：多面手入選，另1人只需從其他8人中任選一個，故這類選法共有8種． 第二類：多面手不入選，則會鋼琴者只能從6個只會鋼琴的人中選出，會小號者也只能從只會小號的2人中選出，故這類選法共有62＝12種． 因此有N＝8＋12＝20種不同的選法．