精編高中數(shù)學(xué) 本冊綜合測試 北師大版選修22

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 選修2－2綜合測試 時(shí)間120分鐘，滿分150分． 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．計(jì)算：＝(　　) A．－1－i　　　　　 B．－1＋i C．1＋i D．1－i [答案]　B [解析]　＝＝＝＝－1＋i. 2．用反證法證明命題“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被3整除”，假設(shè)應(yīng)為(　　) A．a(chǎn)，b都能被3整除 B．a(chǎn)，b都不能被3整除 C．a(chǎn)，b不都能被3整除 D．a(chǎn)不能被3整除 [答案]　B [解析]　“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒

2、有”． 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝，從n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是(　　) A．(k－1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1] [答案]　B [解析]　當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，∴從n＝k到n＝k＋1，左邊應(yīng)添加的式子為(k＋1)2＋k2. 4．已知函數(shù)f(x)＝，則y＝f(x)的圖象大

3、致為(　　) [答案]　B [解析]　當(dāng)x＝1時(shí)，y＝<0，排除A；當(dāng)x＝0時(shí)，y不存在，排除D；當(dāng)x從負(fù)方向無限趨近于0時(shí)，y趨近于－∞，排除C.故選B. 5．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(　　) A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 C．a(chǎn)1a2…a9＝29 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 [答案]　D [解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5，故D成立． 6．做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處，所受的力F(x)＝1－e－x，則質(zhì)點(diǎn)從x

4、1＝0，沿x軸運(yùn)動(dòng)到x2＝1處，力F(x)所做的功是(　　) A．e　　　 B．　　　　 C．2e　　　 D． [答案]　B [解析]　由W＝(1－e－x)dx＝1dx－e－xdx＝x|＋e－x|＝1＋－1＝. 7．已知復(fù)數(shù)(x－2)＋yi(x，y∈R)對應(yīng)向量的模為，則的最大值是(　　) A． B． C. D． [答案]　C [解析]　由|(x－2)＋yi|＝，得(x－2)2＋y2＝3， 此方程表示如圖所示的圓C， 則的最大值為切線OP的斜率． 由|CP|＝，|OC|＝2，得∠COP＝， ∴切線OP的斜率為，故選C. 8．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)

5、為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖像可能是(　　) [答案]　C [解析]　本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象． 由f(x)在x＝－2處取極小值知f′(－2)＝0且在－2的左側(cè)f′(x)<0，而－2的右側(cè)f′(x)>0，所以C項(xiàng)合適． 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式結(jié)合命題，對學(xué)生應(yīng)用函數(shù)能力提出了較高要求． 9.觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第6個(gè)圖中有________個(gè)小正方形，第n個(gè)圖中有________個(gè)小正方形(　　) A．28， B．14， C．28， D．12， [答案]　A [解析]　 根據(jù)規(guī)律知第6個(gè)圖形

6、中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 第n個(gè)圖形中有1＋2＋…＋(n＋1)＝. 10.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在(0，)上不是凸函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x [答案]　D [解析]　若f(x)＝sinx＋cosx，則f″(x)＝－sinx－cosx， 在x∈(0，)上，恒有

7、f″(x)<0； 若f(x)＝lnx－2x，則f″(x)＝－，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0； 若f(x)＝－x3＋2x－1，則f″(x)＝－6x，在x∈(0，)上，恒有f″(x)<0； 若f(x)＝－xe－x，則f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x. 在x∈(0，)上，恒有f″(x)>0，故選D. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分) 11．(2014北京理，9)復(fù)數(shù)()2＝________. [答案]　－1 [解析]　復(fù)數(shù)＝＝＝i， 故()2＝i2＝－1. 12．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1能被14整除時(shí)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對于3

8、4(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為________． [答案]　3434k＋1＋5252k＋1 [解析]　n＝k時(shí)，34k＋1＋52k＋1能被14整除，因此，我們需要將n＝k＋1時(shí)的式子構(gòu)造為能利用n＝k的假設(shè)的形式.34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝3434k＋1＋5252k＋1＋3452k＋1－3452k＋1＝34(34k＋1＋52k＋1)＋(52－34)52k＋1，便可得證． 13．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則＝(＋)，將命題類比到四面體中去，得到一個(gè)類比命題：___________________________________________________

9、_________ ________________________________________________________________________. [答案]　在四面體A－BCD中，G為△BCD的重心，則＝(＋＋) 14．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在區(qū)間(－∞，＋∞)內(nèi)既有極大值，又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________． [答案]　(－∞，0)∪(9，＋∞) [解析]　由題意得y′＝3x2－2ax＋3a＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根，故Δ＝(－2a)2－433a>0， 解得a<0或a>9. 15.如圖為函數(shù)f(x)的圖像，f′(x

10、)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式xf′(x)<0的解集為________． [答案]　(－3，－1)∪(0,1) [解析]　xf′(x)<0?或 ∵(－3，－1)是f(x)的遞增區(qū)間， ∴f′(x)>0的解集為(－3，－1)． ∵(0,1)是f(x)的遞減區(qū)間， ∴f′(x)<0的解集為(0,1)． 故不等式的解集為(－3，－1)∪(0,1)． 三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分) 16．(2015山東青島)已知復(fù)數(shù)z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|. (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． [解析]　(1)

11、|z1|＝|i(1－i)3|＝|i||i－1|3＝2. (2)如圖所示，由|z|＝1可知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓．而z1對應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成是點(diǎn)Z1(2，－2)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值．由圖知|z－z1|max＝|z1|＋r(r為圓的半徑)＝2＋1. 17．設(shè)函數(shù)f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)的極小值大于0，求k的取值范圍． [解析]　(1)當(dāng)k＝0時(shí)，f(x)＝－3x2＋1， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0

12、，＋∞)． 當(dāng)k>0時(shí)，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)． ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)，(，＋∞)， 單調(diào)減區(qū)間為(0，)． (2)當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)f(x)不存在極小值． 當(dāng)k>0時(shí)，由(1)知f(x)的極小值為 f()＝－＋1>0，即k2>4， 又k>0，∴k的取值范圍為(2，＋∞)． 18.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin13cos17； ②sin215＋cos215－sin15cos15； ③sin218＋cos212－sin18cos12； ④sin2(－18)＋cos24

13、8－sin(－18)cos48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． [解析]　解法一： (1)選擇(2)式，計(jì)算如下： sin215＋cos215－sin15cos15 ＝1－sin30 ＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝sin2α＋(cos30cosα＋sin30sinα)2

14、－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 解法二： (1)同解法一． (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sinαcos(30－α) ＝＋－sinα(cos30cosα＋sin30sinα) ＝－cos2α＋＋(cos60cos2α＋sin60sin2α)－sinαcosα－sin2α ＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α

15、) ＝1－cos2α－＋cos2α＝. 19.設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝x2－(a＋1)x＋alnx. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率； (2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)． [解析]　(1)由已知得x>0. 當(dāng)a＝2時(shí)，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝， 所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為. (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ ＝＝. 由f′(x)＝0，得x＝1或x＝A． ①當(dāng)00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(a,1)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

16、 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增． 此時(shí)x＝a時(shí)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)． ②當(dāng)a>1時(shí)， 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(1，a)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增． 此時(shí)x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)． 綜上，當(dāng)01時(shí)，x＝1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝a是f(x)的極小值點(diǎn)． 20.(2014廣東理)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

17、和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解析]　(1)a1＝S1＝2a2－312－41＝2a2－7① a1＋a2＝S2＝4a3－322－42＝4(S3－a1－a2)－20＝4(15－a1－a2)－20， ∴a1＋a2＝8② 聯(lián)立①②解得，∴a3＝S3－a1－a2＝15－8＝7， 綜上a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)由(1)猜想an＝2n＋1，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①由(1)知，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3＝21＋1，猜想成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即ak＝2k＋1，

18、 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝ak＋ ＝(2k＋1)＋3＋ ＝＋3＋ ＝2k＋3＝2(k＋1)＋1 這就是說n＝k＋1時(shí)，猜想也成立，從而對一切n∈N*，an＝2n＋1. 21.如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB＝20 km，CB＝10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且與A，B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長為y km. (1)設(shè)∠BAO＝θrad，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式； (2)確定污水處理廠的位置，使三條排污管道的總長度最小． [解析]　(1)延長PO交AB于點(diǎn)Q，則PQ垂直平分AB.若∠BAO＝θrad，則OA＝＝，故OB＝. 又OP＝10－10tanθ，所以y＝OA＋OB＋OP＝＋＋10－10tanθ. 故所求函數(shù)關(guān)系式為y＝＋10(0≤θ≤)． (2)y′＝ ＝. 令y′＝0，得sin θ＝. 因?yàn)?≤θ≤，所以θ＝. 當(dāng)θ∈[0，)時(shí)，y′<0，則y是關(guān)于θ的減函數(shù)；當(dāng)θ∈(，]時(shí)，y′>0，則y是關(guān)于θ的增函數(shù)， 所以當(dāng)θ＝時(shí)，ymin＝＋10＝(10＋10)． 故當(dāng)點(diǎn)O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊km處時(shí)，三條排污管道的總長度最?。?