精編高中數(shù)學(xué) 3.4第1課時(shí)曲線與方程、圓錐曲線的共同特征練習(xí) 北師大版選修21

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第三章　3.4　第1課時(shí) 曲線與方程、圓錐曲線的共同特征 一、選擇題 1．(2013·廣東省中山一中期中)方程(2x－y＋2)＝0表示的曲線是(　　) A．一個(gè)點(diǎn)與一條直線 B．兩條射線和一個(gè)圓 C．兩個(gè)點(diǎn) D．兩個(gè)點(diǎn)或一條直線或一個(gè)圓 [答案]　B [解析]　原方程等價(jià)于x2＋y2－1＝0， 或，故選B． 2．動(dòng)點(diǎn)在曲線x2＋y2＝1上移動(dòng)時(shí)，它和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4　 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝1 [答案]　C [

2、解析]　設(shè)P點(diǎn)為(x，y)，曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x1，y1)， 則有＝x，＝y(tǒng). ∴x1＝2x－3，y1＝2y. ∵(x1，y1)在x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1 ∴(2x－3)2＋(2y)2＝1. 3．“點(diǎn)M在曲線y＝|x|上”是“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　到兩坐標(biāo)軸距離相等點(diǎn)的軌跡如圖(1)，y＝|x|的曲線如圖(2)． ∴“點(diǎn)M在曲線y＝|x|上”?“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”．故選B． 4．若方程x－2y－2k＝0與2x－y－k＝0所表示的兩條直線的

3、交點(diǎn)在方程x2＋y2＝9的曲線上，則k等于(　　) A．±3　　　　　　 B．0 C．±2 D． 一切實(shí)數(shù) [答案]　A [解析]　兩直線的交點(diǎn)為(0，－k)，由已知點(diǎn)(0，－k)在曲線x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3. 5．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為(　　) A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 [答案]　A [解析]　本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，以及拋物線的定義． 由題意作圖可知，圓C的圓心到(0,3)的距離等于到直線y ＝－1的距離，所以C的圓心軌跡為拋物線． 6

4、．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．線段B1C B．線段BC1 C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段 D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段 [答案]　A [解析]　設(shè)P1、P2為P的軌跡上兩點(diǎn)，則AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A， ∴直線AP1與AP2確定一個(gè)平面α，與面BCC1B1交于直線P1P2，且知BD1⊥平面α， ∴P1P2⊥BD1， 又∵BD1在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1內(nèi)只有B1C與BC1垂直

5、， ∴P點(diǎn)的軌跡為B1C． 二、填空題 7．M為直線l：2x－y＋3＝0上的一動(dòng)點(diǎn)，A(4,2)為一定點(diǎn)，又點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng)，且APPM＝3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______________． [答案]　8x－4y＋3＝0 [解析]　設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為M(x0，y0)，P(x，y)，由題設(shè)及向量共線條件可得 ，　　∴. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上， 所以2×－＋3＝0， 即8x－4y＋3＝0， 從而點(diǎn)P的軌跡方程為8x－4y＋3＝0. 8．已知圓的方程為x2＋y2＝4，動(dòng)拋物線過(guò)點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線

6、，則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程是________________． [答案]?。? [解析]　設(shè)P(x0，y0)為圓上任一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)的切線l：x0x＋y0y＝4　(|x0|≤2)， 以l為準(zhǔn)線過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線焦點(diǎn)F(x，y)，A，B到l距離分別為d1，d2，根據(jù)拋物線的定義， |FA|＋|FB|＝d1＋d2， 即＋＝＋＝4>|AB|， ∴F點(diǎn)的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓， ∴c＝1，∴b2＝3，∴方程為＋＝1. 三、解答題 9．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程． [解析]　如圖

7、所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)， 則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以＝，＝，從而由N(x＋3，y－4)在圓上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)：和. 10．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)到直線x－y＋2＝0的距離為3. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，B為(4,0)，M點(diǎn)是線段BP上的靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程． [分析]　(1)設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出c，又b＝1，則可求得

8、a，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)．由題意可知＝，進(jìn)而可得(x，y)與(x0，y0)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．利用相關(guān)點(diǎn)法，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上，代入橢圓方程即可求出M點(diǎn)的軌跡方程． [解析]　(1)設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0)， 因?yàn)橛医裹c(diǎn)到直線x－y＋2＝0的距離為3. 所以＝3，即c＋2＝±3， 所以c＝或c＝－5(舍)． 又由b＝1，得a2＝3. 因此所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，由題意可知，＝，所以(x－x0，y－y0)＝(4－x0，－y0)， 所以 又由P在橢圓上，則有＋()2＝1， 即＋＝1， 故

9、點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1. 一、選擇題 1．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的圖形是(　　) A．前后兩者都是一條直線和一個(gè)圓 B．前后兩者都是兩點(diǎn) C．前者是一條直線和一個(gè)圓，后者是兩點(diǎn) D．前者是兩點(diǎn)，后者是一條直線和一個(gè)圓 [答案]　C [解析]　x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，表示直線x＝0和圓x2＋y2＝1. x2＋(x2＋y2－1)2＝0? ?表示點(diǎn)(0,1)、(0，－1)． 2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的圖形是(　　) A．直線2x－y＝0 B．直線2x＋y＋3＝0 C．直線2x－y＝0

10、或直線2x＋y＋3＝0 D．直線2x＋y＝0和直線2x－y＋3＝0 [答案]　C [解析]　∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)， ∴原方程表示兩條直線2x－y＝0和2x＋y＋3＝0. 3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)滿足10＝|3x＋4y|，則P點(diǎn)的軌跡是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩相交直線 [答案]　A [解析]　條件化為2＝，即為點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(1,2)的距離與到定直線l：3x＋4y＝0的距離之比為，又點(diǎn)F不在直線l上，故根據(jù)橢圓的第二定義可知，點(diǎn)P的軌跡是橢圓． 4．已知點(diǎn)A(2,0

11、)，B、C在y軸上，且|BC|＝4，△ABC外心的軌跡S的方程為(　　) A．y2＝2x B．x2＋y2＝4 C．y2＝4x D．x2＝4y [答案]　C [解析]　設(shè)△ABC外心為G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋4)， 由G點(diǎn)在BC的垂直平分線上知y＝a＋2， ∵|GA|2＝|GB|2，∴(x－2)2＋y2＝x2＋(y－a)2， 整理得y2＝4x. 即點(diǎn)G的軌跡S方程為y2＝4x. 二、填空題 5．已知0≤α≤2π，點(diǎn)P(cos α，sin α)在曲線(x－2)2＋y2＝3上，則α的值為_(kāi)_________________． [答案]　或 [解析]　由已知(c

12、osα－2)2＋sin2α＝3 ∴cos2α－4cos α＋4＋sin2α＝3 ∴cos α＝，∵α∈[0,2π]，∴α＝或α＝ 6．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由動(dòng)點(diǎn)P向⊙O和⊙O′所引的切線長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是____________________． [答案]　x＝ [解析]　由⊙O：x2＋y2＝2，⊙O′：(x－4)2＋y2＝6知兩圓相離，記切點(diǎn)分別為T(mén)、Q，則|PT|＝|PQ|.如圖： 而|PT|2＝|PO|2－2，|PQ|2＝|PO′|2－6. ∴|PO|2－2＝|PO′|2－6.設(shè)P(x，y)， 則x2

13、＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6. 即8x＝12，即x＝. 三、解答題 7．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－2,0)、B(0，－2)，第三個(gè)點(diǎn)C在曲線y＝3x2－1上移動(dòng)，求△ABC重心的軌跡方程．(注：設(shè)△ABC頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC重心坐標(biāo)為G(，)．) [解析]　設(shè)C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐標(biāo)公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1， 即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2， ∵C(x1，y1)在曲線y＝3x2－1上， ∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1. 化簡(jiǎn)得y＝9x2＋12x＋3. 故△ABC的重心

14、的軌跡方程為y＝9x2＋12x＋3.(不包括和直線AB的交點(diǎn)) [總結(jié)反思]　當(dāng)形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P隨另一動(dòng)點(diǎn)B有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)B的軌跡給定或能求得時(shí)，可先用動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，并代入動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程中得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．這種求軌跡的方法叫相關(guān)點(diǎn)法，也叫代入法． 8．(2014·北京文)已知橢圓C：x2＋2y2＝4. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y＝2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長(zhǎng)度的最小值． [解析]　(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， 所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝. 故橢圓C的離心率e＝＝. (2)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0. 因?yàn)镺A⊥OB，所以·＝0， 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－. 又x＋2y＝4， 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2 ＝(x0＋)2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4 ＝x＋＋＋4 ＝＋＋4　(0<x≤4)． 因?yàn)椋?(0<x≤4)，且當(dāng)x＝4時(shí)等號(hào)成立，所以|AB|2≥8， 故線段AB長(zhǎng)度的最小值為2.