第13篇 第2節(jié) 參數(shù)方程

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1、第十三篇　第2節(jié) 一、填空題 1．(2013年高考廣東卷)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為____________． 解析：∵曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， ∴其普通方程為x2＋y2＝2. 又點(diǎn)(1,1)在曲線C上， ∴切線l的斜率k＝－1. 設(shè)其方程為x＋y＋m＝0(m<0)， 由＝知m＝－2. 故l的方程為x＋y－2＝0， 將代入l的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝2， 即ρsin＝. 答案：ρsin＝ 2．(2013年高考

2、陜西卷)如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為____________． 解析：設(shè)圓上任一點(diǎn)P(x，y)(x≠0)， 則y＝xtan θ， 由x2＋y2－x＝0得， x2＋x2tan2θ－x＝0， x＝＝cos2θ， 則y＝xtan θ＝cos2θtan θ＝sin θcos θ， 又θ＝時(shí)，x＝0，y＝0也適合題意， 故參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 答案：(θ為參數(shù)) 3．(2014陜西師大附中高三第四次模擬)直線l1：(t為參數(shù))與圓C2：(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是________． 解析：直線l1的普通方程為xsin α－ycos α

3、－sin α＝0， 圓C2的普通方程為x2＋y2＝1， 圓心到直線的距離為d＝<1， 因此直線l1與圓C2相交． 答案：相交 4．(2013年高考江西卷)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________． 解析：(1)由參數(shù)方程得曲線在直角坐標(biāo)系下的方程為y＝x2. 由公式得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝sin θ. 答案：ρcos2θ＝sin θ 5．(2012年高考北京卷)直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 解析：由已知得直線的普通方程為x＋y－1

4、＝0， 曲線的普通方程為x2＋y2＝9，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓， 而直線x＋y－1＝0過點(diǎn)(1,0)，且點(diǎn)(1,0)顯然在圓x2＋y2＝9內(nèi)， ∴直線與曲線一定有2個(gè)交點(diǎn)． 答案：2 6．(2012年高考湖南卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a>0)有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，則a＝________. 解析：曲線C1的普通方程為2x＋y＝3，與x軸的交點(diǎn)為；曲線C2的普通方程為＋＝1，與x軸的交點(diǎn)為(a,0)和(－a,0)，由題意可得a＝. 答案： 7．已知拋物線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝r(r>

5、;0)，若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C1的焦點(diǎn)，且與圓C2相切，則r＝________. 解析：拋物線C1的普通方程為y2＝8x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，過該點(diǎn)且斜率為1的直線方程是y＝x－2，即x－y－2＝0.圓ρ＝r的圓心是極點(diǎn)、半徑為r，直線x－y－2＝0與該圓相切，則r＝＝. 答案： 8．(2014深圳市期末檢測(cè))已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l與曲線C相交所得弦長(zhǎng)為________． 解析：曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝6y， 即x2＋(y－3)2＝9，圓心C(0,3)，半徑r＝3. 直線l的普通方程為x－2y＋1＝0.

6、 所以點(diǎn)C到l的距離d＝＝. 故所求弦長(zhǎng)為2＝2＝4. 答案：4 9．(2014湖南十二校聯(lián)考)設(shè)極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ－＝a，a∈R.圓C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則a＝________. 解析：圓C的圓心坐標(biāo)為(2，2)，其極坐標(biāo)為，由題意知點(diǎn)在直線l上， 于是4sin＝a， 即a＝－2. 答案：－2 10．(2013年高考湖北卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a＞b＞0)．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O

7、的極坐標(biāo)方程分別為ρsin＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為________． 解析：將橢圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù)，a>b>0)化為普通方程為＋＝1(a>b>0)． 又直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝m(m為非零常數(shù))， 即ρ＝m， 則該直線的直角坐標(biāo)方程為y＋x－m＝0. 圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝b， 其直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝b2. ∵直線與圓O相切， ∴＝b，|m|＝b. 又∵直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)， ∴|m|＝c. ∴c＝b，c2＝2b2. ∵a2＝b2＋c2＝3b2， ∴e2＝＝.

8、∴e＝. 答案： 二、解答題 11．(2013年高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0＜α＜2π)，M為PQ的中點(diǎn)． (1)求M的軌跡的參數(shù)方程； (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)． 解：(1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，0＜α＜2π)． (2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d＝＝(0＜α＜2π)． 當(dāng)α＝π時(shí)，d＝0， 故M的軌跡過

9、坐標(biāo)原點(diǎn)． 12．(2013年高考遼寧卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4sin θ，ρcos＝2. (1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)．已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù))，求a，b的值． 解：(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝4， 直線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. 解 得 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，. (注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一．) (2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2)，(1,3)． 故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0， 由直線PQ的參數(shù)方程可得y＝x－＋1. 所以 解得a＝－1，b＝2.