高考數(shù)學(xué) 試題分類解析 考點2630

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1、 高考數(shù)學(xué)試題分類解析 考點26-30 考點26 隨機(jī)變量及其分布 第1題圖 【1】（A，湖北，理4）設(shè)，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是 A. B. C.對任意正數(shù)， D.對任意正數(shù)， 【2】（B，上海，理12）賭博有陷阱.某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金（單位：元）.若隨機(jī)變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則= （元）. 【3】（A，重慶，理17）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)

2、習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個. (I)求這三種粽子各取到1個的概率； (II)設(shè)表示取到的豆沙粽個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【4】（A，四川，理17）某市兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊. (1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率； (2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)表示參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3、 【5】（A，福建，理16）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定. (I)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (II)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【6】（B，天津，理16）為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名.

4、從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (I)設(shè)為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件發(fā)生的概率； (II)設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【7】（B，安徽，理17）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時檢測結(jié)束． (I)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (II)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)表示直到檢測出2件次品或檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

5、【8】（B，湖南，理18）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎. 每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球. 在摸出的2球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎. (I)求顧客抽獎1次能獲獎的概率； (II)若某顧客有3次抽獎的機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【9】（C，山東，理19）若是一個三位正整數(shù)，且的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）． 在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需

6、從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (I)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ； (II)若甲參加活動，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望． 考點27 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【1】（C，新課標(biāo)Ⅱ，理12）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是 A. B. C. D. 【2】（C，安徽，文10）函數(shù) 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是 A. B. C. D. 【3】（C，福建，文12）“對任

7、意，”是“”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【4】（C，福建，理10）若定義在上的函數(shù) 滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯誤的是 A. B. C. D. 【5】（A，新課標(biāo)Ⅱ，文13）已知函數(shù) 的圖像過點，則 . 【6】（A，新課標(biāo)Ⅱ，文16）已知曲線在點 處的切線與曲線相切，則 . 【7】（B，天津，文11）已知函數(shù)， ，其中為實數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).若，則的值為 . 【8】（B，陜西，文15）函數(shù)在其極值點處的切線方程為 . 【

8、9】（B，陜西，理15）設(shè)曲線在點處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標(biāo)為 . 【10】（C，安徽，理15）設(shè)，其中均為實數(shù).下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是 （寫出所有正確條件的編號）. ①;②； ③;④; ⑤． 【11】（A，新課標(biāo)I，文21）設(shè)函數(shù) . (I)討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)； (II)證明：當(dāng)時. 【12】（A，浙江，自選模塊3-2）設(shè)函數(shù)R)，求的單調(diào)遞減區(qū)間. 【13】（B，重慶，文19）已知函數(shù) 在處取得極值. (I)確定的值； (II)若，討論函數(shù)的單調(diào)性. 【14】（B，重慶，理20）設(shè)函數(shù) . (I)若

9、在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程； (II)若在上為減函數(shù)，求的取值范圍. 【15】（B，廣東，理19）設(shè)，函數(shù) . (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：在上僅有一個零點； (3)若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（是坐標(biāo)原點）,證明：． 【16】（C，新課標(biāo)I，理21）已知函數(shù) ，. (I)當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線； (II)用 表示，中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論零點的個數(shù). 【17】（C，新課標(biāo)Ⅱ，文21）函數(shù) . (I)討論的單調(diào)性； (II)當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求a的取值范圍． 【18】（C，新課標(biāo)Ⅱ，理21）設(shè)

10、函數(shù) . (I)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增； (II)若對于任意都有 ，求的取值范圍. 【19】（C，北京，文19）設(shè)函數(shù)，． (I)求的單調(diào)區(qū)間和極值； (II)證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點． 【20】（C，北京，理18）已知函數(shù)． (I)求曲線在點處的切線方程； (II)求證：當(dāng)時，； (III)設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值． 【21】（C，天津，文20）已知函數(shù)，. (1)求的單調(diào)區(qū)間； (2)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數(shù)，都有; (3)若方程（為實數(shù)）有兩個實數(shù)根且求證：. 【22】（C，天津，理

11、20）已知函數(shù) ，其中,且 (I)討論的單調(diào)性； (II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有 (III)若關(guān)于的方程（為實數(shù)）有兩個正實根，求證： 【23】（C，四川，文21）已知函數(shù) ，其中． (1)設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性； (2)證明：存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 【24】（C，四川，理21）已知函數(shù) ，其中 (1)設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性； (2)證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 【25】（C，廣東，文21）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)． (1)若，求的取值范圍； (2)討論的單調(diào)性； (

12、3)當(dāng)時，討論在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)． 【26】（C，山東，文20）設(shè)函數(shù)， ，已知曲線在點處的切線與直線平行. (I)求的值； (II)是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由； (III)設(shè)函數(shù) （表示中的較小值），求的最大值. 【27】（C，山東，理21）設(shè)函數(shù) ，其中． (I)討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由； (II)若，成立，求的取值范圍． 【28】（C，江蘇，文理19）已知函數(shù) (R). (1)試討論的單調(diào)性； (2)若（實數(shù)是與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值. 【29】（C，福

13、建，文22）已知函數(shù)． (I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； (II)證明：當(dāng)時，； (III)確定實數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時，恒有． 【30】（C，湖南，理21）已知，函數(shù) ，，記為的從小到大的第個極值點. 證明: (I)數(shù)列是等比數(shù)列； (II)若，則對一切，恒成立. 【31】（C，陜西，文21）設(shè) ,，，． (I)求; (II)證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且. 【32】（C，福建，理20）已知函數(shù)， ，. (I)證明：當(dāng)時； (II)證明：當(dāng)時，存在,使得對任意的，恒有； (III)確定k的所有可能取值，使得存在，對任意的，恒有． 考點28 定

14、積分與微積分基本定理 【1】（A，天津，理11）曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為 . 【2】（A，湖南，理11） . 第3題圖 【3】（B，陜西，理16）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 . 考點29 推理與證明 【1】（A，山東，理11）觀察下列各式： ；； ； 照此規(guī)律，當(dāng)時， = . 【2】（B，陜西，文16）觀察下列等式： ； … … … 據(jù)此規(guī)律，第個等式可為 . 【3】（Ｃ，福建，理15）一個二

15、元碼是由0和1組成的數(shù)字串，，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）. 已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗方程組： 其中運(yùn)算 定義為： ． 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定等于 . 【4】（B，湖北，文21）設(shè)函數(shù)，的定義域均為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù). (I)求，的解析式，并證明：當(dāng)時，，； (II)設(shè)，，證明：當(dāng)時，. 【5】（C，湖北，理22）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)．

16、(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??； (II)計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明； (II)令，數(shù)列，的前項和分別記為,, 證明：. 【6】（C，江蘇，理23）已知集合，（N*），設(shè) 整除或整除，，，令表示集合所含元素個數(shù). (1)寫出的值； (2)當(dāng)時，寫出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 考點30 復(fù)數(shù) 【1】（A，新課標(biāo)I，文3）已知復(fù)數(shù)滿足 ，則 A. B. C. D. 【2】（A，新課標(biāo)I，理1）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則 A. B. C. D. 【3】（A，新課標(biāo)Ⅱ，文2）若為實數(shù)，且 ，則 A.

17、 B. C.3 D. 【4】（A，新課標(biāo)Ⅱ，理2）若為實數(shù)，且 ，則 A.-1 B.0 C.1 D. 【5】（A，北京，理1）復(fù)數(shù) A. B. C. D. 【6】（A，湖北，文1）i為虛數(shù)單位， A. B. C. D.1 【7】（A，湖北，理1）i為虛數(shù)單位，的共軛復(fù)數(shù)為 A. B. C.1 D.-1 【8】（A，四川，理2）設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) A. B. C. D. 【9】（A，廣東，文2）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) A.2i B.

18、-2i C.2 D.-2 【10】（A，廣東，理2）若復(fù)數(shù) ( i是虛數(shù)單位)，則 A. B. C. D. 【11】（A，山東，理2文2）若復(fù)數(shù)滿足i，其中i為虛數(shù)單位，則= A. B. C. D. 【12】（A，安徽，文1）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) A. B. C. D. 【13】（A，安徽，理1）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【14】（A，福建，文1）若 （，是虛數(shù)單位），則的值分別等于 A. B. C. D. 【15】（

19、A，福建，理1）若集合（ 是虛數(shù)單位）， ，則 等于 A. B. C． D. 【16】（A，湖南，文1理1）已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)= A. B. C. D. 【17】（A，北京，文9）復(fù)數(shù)的實數(shù)為 . 【18】（A，天津，文9）是虛數(shù)單位，計算的結(jié)果為 . 【19】（A，天津，理9）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 . 【20】（A, 上海，文3理2）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則= . 【21】（A，重慶，文11）復(fù)數(shù)的實部為__. 【22】（A，重慶，理11）設(shè)復(fù)數(shù)的模為，則 . 【23

20、】（A，四川，文11）設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù). 【24】（A，江蘇，文理3）設(shè)復(fù)數(shù)滿足i（i是虛數(shù)單位），則的模為 . 【25】（A，浙江，自選模塊3-1）已知i是虛數(shù)單位，R,復(fù)數(shù)滿足，求的值. 考點26 隨機(jī)變量及其分布 【1】（A，湖北，理4）、C 解析：隨機(jī)變量的正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象分別關(guān)于，對稱，所以.又越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，.因而選C. 【2】（B，上海，理12）、0.2 解析：當(dāng)賭金分別為時，其概率都是，. 的分布律如下： 1.4 2.8 4.2 5.6 ，所以 【3】（A，重慶，理

21、17） 解析：(I)令表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有 (II)X的所有可能的取值為0,1,2，且 ，，. 綜上知，X分布列為 0 1 2 故（個）. 【4】（A，四川，理17） 解析：(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取的概率為.因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為. (2)根據(jù)題意，的可能取值為1，2,3 . 所以的分布列為 1 2 3 因此，的數(shù)學(xué)期望為 . 【5】（Ａ，福建，理16） 解析：(I)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A

22、，則 (II)依題意得，X所有可能的取值是1，2，3， 又，，， 所以X的分布列為 X 1 2 3 P 所以． 【6】（B，天津，理16） 解析：(I)由已知，有 所以，事件發(fā)生的概率為 (II)隨機(jī)變量的所有可能值為：1，2，3，4. 所以，隨機(jī)變量的分布列為 1 2 3 4 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 . 【7】（B，安徽，理17） 解析：(I)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件， ． (II)的可能取值為200,300,400. ， ， ， 故的分布列為 200 300

23、 400 ． 【8】（B，湖南，理18） 解析：(I)記事件={從甲箱中摸出的一個球是紅球}，={從乙箱中摸出的一個球是紅球}，＝{顧客抽獎一次獲一等獎}，＝{顧客抽獎一次獲二等獎}，C＝{顧客抽獎一次能獲獎}. 由題意與相互獨立，與互斥， 與互斥，且 ，=+，. 又因為，，所以， ，故所求概率為. (II)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復(fù)實驗， 由(I)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以，于是 由此求得X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望為. 【9】（C，山東，理19） 解析：(I)個位數(shù)字是的“

24、三位遞增數(shù)”分別是：，，，，，． (II)由題意知全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為．甲得分，因此 ， ， ． 故甲得分的分布列為： 0 1 所以． 考點27 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 【1】（C，新課標(biāo)Ⅱ，理12）、A 解析：設(shè)，則，由已知得，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；又為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，使得成立的的取值范圍是. 【2】（C，安徽，文10）、A 解析:由函數(shù)圖象可知； 又是的兩個正數(shù)解，則 故． 【3】（C，福建，文12）、B 解析：當(dāng)時，，構(gòu) 造函數(shù),則 .故在單調(diào)遞增,故 ,則；

25、 當(dāng)時，不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，則 ，故在單調(diào)遞增，故，則. 綜上所述，“對任意， ”是“”的必要不充分條件,故選B. 【4】（C，福建，理10）、C 解析：由已知條件,構(gòu)造函數(shù),則,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,且,故,所以 ,即，所以結(jié)論中一定錯誤的是C，選項D不確定；構(gòu)造函數(shù),則, 故函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增,且,故,所以，即,選項A，B無法判斷，故選C. 【5】（A，新課標(biāo)Ⅱ，文13）、 解析：由已知得，解得. 【6】（A，新課標(biāo)Ⅱ，文16）、 解析：法1 設(shè)曲線，曲線，由求得曲線在點處的切線斜率 ，故切線方程，當(dāng)時，為直線，不符合題意，當(dāng)時，設(shè)切線與

26、曲線相切于點，根據(jù)題意可列方程組 ，解得，又，解得. 法2 由求得曲線在點處的切線斜率 ，故切線方程，當(dāng)時，為直線，不符合題意，當(dāng)時，由得，依據(jù)解得. 【7】（B，天津，文11）、 解析： . 【8】（B，陜西，文15）、 解析：由得.又因為當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以為函數(shù)的極值點，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線斜率，而切點為，所以切線方程為. 【9】（B，陜西，理15）、 解析：設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點處的切線斜率，曲線上點處的切線斜率，因為兩切線垂直，所以，即，又，所以，所以. 【10】（C，安徽，理15）、①③④⑤ 解析:令， 當(dāng)時，單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，，分析

27、可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值為，極小值為， 因為三次方程僅有一個實根， 所以或，即或． 【11】（A，新課標(biāo)I，文21） 解析：(I)法1 的定義域為， ， 令，得 令，則 在上是增函數(shù)，從而 當(dāng)時，有一個零點，當(dāng)時，沒有零點； 法2 的定義域為 當(dāng)時，，沒有零點； 當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又， 當(dāng)滿足且時，，故當(dāng)時，存在唯一零點. (II)由(I)，可設(shè)在的唯一零點為，當(dāng)時，；當(dāng) 時，. 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時，取得最小值，最小值為. 由于，所以 . 故當(dāng)時

28、，. 【12】（A，浙江，自選模塊3-2） 解析：對求導(dǎo)，得，由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為. 【13】（B，重慶，文19） 解析：(I)對求導(dǎo)得, 因為在處取得極值,所以, 即，解得. (II)由(I)得. 故 ， 令解得，或. 當(dāng)時，故為減函數(shù); 當(dāng)時, ，故為增函數(shù)； 當(dāng)時,，故為減函數(shù)； 當(dāng)時，，故為增函數(shù). 綜上知在和內(nèi)為減函數(shù),在和內(nèi)為增函數(shù). 【14】（B，重慶，理20） 解析：(I)對求導(dǎo)得 因為在處取得極值，所以=0，即. 當(dāng)時，，，故，， 從而在點處的切線方程為，化簡. (II)由(I)知. 令， 由解得,. 當(dāng)時，，即，故

29、為減函數(shù)； 當(dāng)時，，即，故為增函數(shù)； 當(dāng)時，，即，故為減函數(shù). 由在上為減函數(shù)，知，解得， 故的取值范圍為. 【15】（B，廣東，理19） 解析：(1)依題意 ， ∴ 在上是單調(diào)增函數(shù). (2) ，且 ∴在上有零點; 又由（1）知在上是單調(diào)函數(shù)，故在上僅有一個零點. （3）由（1）知，令得，又 ，即，即. 又， 令，則 由得，由得， 函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 函數(shù)，即在上恒成立，， 即. 故． 【16】（C，新課標(biāo)I，理21） 解析：(I)設(shè)曲線與軸相切與點則，，即解得， 因此，當(dāng)時，軸為曲線的切線. (II)當(dāng)時，， 從而，故在無零

30、點. 當(dāng)時，若，則，，故是的零點；若，則， ，故不是的零點. 當(dāng)時，，所以只需考慮在的零點個數(shù). (i)若或，則在的無零點，故在單調(diào)，而，，所以當(dāng)時，在有一個零點；當(dāng)時，在沒有零點 (ii)若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在中，當(dāng)時，取得最小值，最小值為. ?若，即，在無零點； ?若，即，則在有唯一零點； ?若，即， 由于，， 所以當(dāng)時，在有兩個零點；當(dāng)時，在有一個零點. 綜上，當(dāng)或時，有一個零點；當(dāng)或時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點. 【17】（C，新課標(biāo)Ⅱ，文21） 解析：(I)的定義域為，.若，則，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時，； 當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞

31、減. (II)由(I)得，當(dāng)時，則在上沒有最大值；若，則在上的最大值為.從而 ，構(gòu)造函數(shù)則在上單調(diào)遞增，結(jié)合得， 所求a的取值范圍是. 【18】（C，新課標(biāo)Ⅱ，理21） 解析：(I) 法1依題意. 若,則當(dāng)時, , ； 當(dāng)時,,. 所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. 若，則當(dāng)時，，； 當(dāng)時，，. 所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 法2 依題意 設(shè)，則 在R上恒成立，即在R上單調(diào)遞增 又 所以當(dāng)時，，當(dāng)時，. 所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. (II)由(I)知,對任意的,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在處取得最小值. 所以,對于任意, 的充要條件是即 ① 設(shè)函

32、數(shù),則. 當(dāng)時,； 當(dāng),. 故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. 又，, 故當(dāng)時, 當(dāng)時,,,即①式成立 當(dāng)時,由的單調(diào)性,, 即 時, ,即. 綜上,的取值范圍是. 【19】（C，北京，文19） 解析：(I)由，得 . 由解得． 與在區(qū)間上的情況如下： - 0 + ↘ ↗ 所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．在處取得極小值． （Ⅱ）由（I）知，在區(qū)間上的最小值． 因為存在零點，所以，從而． 當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且， 所以是在區(qū)間上的唯一零點． 當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，， 所以在區(qū)間上僅有一個零點． 綜上所述

33、，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點． 【20】（C，北京，理18） 解析: (I)因為，所以 ，． 又因為，所以曲線在點處的切線方程為． (II)令，則. 因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以,, 即當(dāng)時，． (III)由(II)知，當(dāng)時，對恒成立． 當(dāng)時，令，則 . 所以當(dāng)時，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減． 當(dāng)時，， 即． 所以當(dāng)時，令并非對恒成立． 綜上可知，的最大值為2． 【21】（C，天津，文20） 解析：（I）由得 當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞減. 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為 (II)設(shè)點的坐標(biāo)為點則 曲線在點處的切線方程為

34、，即 . 令函數(shù)即 則 由于在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減. 又因為所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對于任意實數(shù)，即對任意實數(shù)，都有. (III)由（II）知設(shè)方程的根為，可得因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，又由（II）知因此 類似地，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得對于任意的有即 設(shè)方程的根為可得因為在上單調(diào)遞增，且因此 由此可得 【22】（C，天津，理20） 解析：(I)由可得 其中,且 下面分兩種情況討論 (1)當(dāng)為奇數(shù) 令解得或 當(dāng)變化時，，的變化如下表： ↘ ↗ ↘ 所以，在，上單調(diào)遞減

35、，在內(nèi)單調(diào)遞增. (2)當(dāng)為偶數(shù) 當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減； 所以，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減. (II)設(shè)的坐標(biāo)為即，曲線在點處的切線方程為，即 令 ，則 由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減. 又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對于任意正實數(shù)，都有即對任意正實數(shù)，都有. (III)不妨設(shè)由(II)知 . 設(shè)方程的根為，可得當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.又由(II)知，可得 類似的，設(shè)曲線在原點處的切線方程為可得當(dāng)， 即對任意的， 設(shè)方程的根為，可得因為在上單調(diào)遞增，且因此 由此可得 因為，所以 ， 故

36、 所以， 【23】（C，四川，文21） 解析：(1)由已知，函數(shù)的定義域為，， 所以. 當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，單調(diào)遞增. (2)由， 解得， 令 ， 則. 于是，存在，使得. 令， 其中. 由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 所以， 即. 當(dāng)時，有. 由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 故當(dāng)時，，； 當(dāng)時，，； 又當(dāng)時，． 所以，當(dāng)時，. 綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 【24】（C，四川，理21） 解析：(1)由已知，函數(shù)的定義域為， ，所以 . 當(dāng)時，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增

37、. (2)由 ，解得. 令 則 故存在，使得. 令， 由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 所以 ，即. 當(dāng)時，有， . 由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 故當(dāng)時，，； 當(dāng)時，，； 所以，當(dāng)時，. 綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解. 【25】（C，廣東，文21） 解析：，因為，所以， 當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)，則有，所以，所以 綜上所述，的取值范圍. （2） 對于，其對稱軸為 ，開口向上， 所以在單增； 對于，其對稱軸為 ，開口向上， 所以在單減. 綜上，在單增，在單減. （3）由（2）得在單增，在單減，所以. (i)當(dāng)時

38、，， 令=0，即. 因為在單減，所以 而在單增，，所以 與在無交點. 當(dāng)時，， 即，所以，所以，因為，所以，即當(dāng)時，有一個零點. (ii)當(dāng)時，， 當(dāng)時， ，，而在單增，當(dāng)時，.下面比較與的大小： 因為 ，所以. 第25題圖 結(jié)合圖像不難得當(dāng)，與有兩個交點. 綜上，當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)，與有兩個零點. 【26】（C，山東，文20） 解析：(I)由題意知，曲線在點處的切線斜率為2.所以， 又，所以. (II)時，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè) 當(dāng)時， 又. 所以存在，使得 因為 所以當(dāng)時， 時， 所以當(dāng)時，單調(diào)遞增. 所以，使得方程在內(nèi)存在唯一

39、的根. (III)由(II)知方程在內(nèi)存在唯一的根，且時， 時， 所以 當(dāng)時，若 若，由 可知. 故. 當(dāng)時，由可知 當(dāng)時，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 可知，且 綜上可知函數(shù)的最小值為. 【27】（C，山東，理21） 解析：(I)函數(shù)的定義域是，． 令，，則 (1)當(dāng)時，，此時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，無極值點； (2)當(dāng)時，． ①當(dāng)時，，，此時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，無極值點； ②當(dāng)時，，設(shè)方程的兩根為和（），因為，所以 ,,由知, 所以當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個極值點． (3)當(dāng)時

40、,.由知. 當(dāng)時，，， 單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減； 因此函數(shù)有一個極值點． 綜述：當(dāng)時，函數(shù)有一個極值點； 當(dāng)時，函數(shù)無極值點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點． (II)(1)當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，，符合題意； (2)當(dāng)時，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以，，符合題意； (3)當(dāng)時，由得，所以時，函數(shù)單調(diào)遞減，因為，所以時，，不合題意； (4)當(dāng)時，設(shè)．因為時，，所以在上單調(diào)遞增．因此當(dāng)時，，即．所以 ，當(dāng)時，，此時，不合題意． 綜上所述，的取值范圍是． 【28】（C，江蘇，文理19） 解析：(1)，令， 解得，. 當(dāng)時，因為，，所以函數(shù)在R上單

41、調(diào)遞增； 當(dāng)時，當(dāng)或時， ，當(dāng)時，；所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時，當(dāng)或時， ，當(dāng)時，；所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； (2)法1 ， ，當(dāng)時，，. 由函數(shù)有三個不同的零點知且，即； 又因為的解集是. 因此，可得，，是 的所有根；又因為肯定有一個根為.因此，將，，分別代入解得的其他解進(jìn)行檢驗. 最后得：時，，，，其他均不符合，所以. 法2 由(1)知，函數(shù)的兩個極值為，，則函數(shù)有三個零點等價于，從而或. 又，所以當(dāng)時，或當(dāng)時，. 設(shè)，因為函數(shù)有三個零點時，的取值范圍恰好是 則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此. 此時， ，因函數(shù)有三

42、個零點，則有兩個異于的不等實根，所以 ， 且，解得 . 綜上. 【29】（C，福建，文22） 解析：(I)，．由得解得． 故的單調(diào)遞增區(qū)間是． (II)令，．則有． 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減. 故當(dāng)時，，即當(dāng)時，． (III)由(II)知，當(dāng)時，不存在滿足題意． 當(dāng)時,對于,有, 則，從而不存在滿足題意． 當(dāng)時，令，，則有． 由得，． 解得， ． 當(dāng)時，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．從而當(dāng)時， ，即. 綜上，的取值范圍是. 【30】（C，湖南，理21） 解析：(I) ， 其中，. 令，由得 ，即，. 對，若，即，則; 若，即，則. 因此，在

43、區(qū)間與上，的符號總相反，于是，當(dāng)，時，取得極值，所以，. 此時， ，易知，且 是常數(shù)，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. (II)由(I)知，，于是對一切，恒成立，即 恒成立，等價于 （*）恒成立（因為a>0）. 設(shè)，則得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.從而當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.因此，要使（*）式恒成立，只需，即只需. 而當(dāng)時，由且由知，. 于是，且當(dāng)時，，因此，對一切，，所以，故（*）式也恒成立. 綜上所述，若，則對一切，恒成立. 【31】（C，陜西，文21） 解析：(I)法1由題設(shè)= = ① = ② ①-②得， . 所以.

44、 法2 當(dāng)時，，則，可得 . (II)因為，, 所以在內(nèi)至少存在一個零點. 又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此在內(nèi)有且僅有一個零點. 由于，所以 ，由此可得. 故，所以 . 【32】（C，福建，理20） 解析：(I)令， ，則有. 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減； 故當(dāng)時，即當(dāng)時，． (II)令， ，則有 當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增，. 故對任意正實數(shù)均滿足題意. 當(dāng)時，令得．取對任意，恒有，所以在上單調(diào)遞增, ，即. 綜上，當(dāng)時，總存在，使得對任意的，恒有． (III)當(dāng)時，由(I)知，對于， ，故. ， 令，，則有. 故當(dāng)時，,在 上單調(diào)遞增，

45、故，即，所以滿足題意的不存在. 當(dāng)時，由(II)知存在,使得對任意的任意的恒有． 此時 ，令，，則有， 故當(dāng)時， ,在 上單調(diào)遞增，故，即 .記與中較小的為，則當(dāng)時,恒有.故滿足題意的不存在. 當(dāng)，由(I)知，當(dāng)時， . 令，，則有. 當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故. 故當(dāng)時，恒有，此時，任意實數(shù)滿足題意. 綜上，. 考點28 定積分與微積分基本定理 【1】（A，天津，理11）、 解析：聯(lián)立，得或， 曲線與直線的交點坐標(biāo)為，. 曲線與直線所圍成的圖形面積. 【2】（A，湖南，理11）、 解析： 【3】（B，陜西，理16）、1.2 第3

46、題圖 解析：如圖，以為原點建立直角坐標(biāo)系，則，因為拋物線過,兩點，易知其方程為，由題意可知原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為，又因為 ，由定積分的幾何意義可知，所以，故答案應(yīng)填1.2. 考點29 推理與證明 【1】（A，山東，理11）、 解析：觀察等式右邊的指數(shù)與中的關(guān)系，可知答案為． 【2】（B，陜西，文16）、 解析：觀察得知，等式左邊有2項，各項分子都是1，分母從1依次遞增至2，并且各項正負(fù)相間；等式右邊有項，各項分子都是1，分母從+1依次遞增至2.所以，第個等式為. 【3】（Ｃ，福建，理15）、 解析：由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為0,不同數(shù)字運(yùn)算后為1. 由

47、可知后4個數(shù)字出錯； 由可知后2個數(shù)字沒錯，即出錯的是第4個或第5個； 由可判斷出錯的是第5個.綜上，第5位發(fā)生碼元錯誤. 【4】（B，湖北，文21） 解析：(I)由, 的奇偶性及 得：.聯(lián)立上述兩式解得 ，. 當(dāng)時，，，故 又由基本不等式，有，即 (II)由(I)得 ， . 當(dāng)時，等價于； 等價于 不妨設(shè)函數(shù) ， 則有 . 當(dāng)時，需要分情況討論： (1)若，得，故在上為 增函數(shù),從而,即， 故成立. (2)若，得，故在上為減函數(shù)，從而，即 ，故 成立. 綜合可得. 【5】

48、（C，湖北，理22） 解析：(I)的定義域為，.當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，單調(diào)遞減. 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)時，，即. 令，得，即. ① (II)； ； . 由此推測： ② 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②. (1)當(dāng)時，左邊右邊，②成立. (2)假設(shè)當(dāng)時，②成立，即. 當(dāng)時，，由歸納假設(shè)可得 所以當(dāng)時，②也成立. 根據(jù)（1）（2），可知②對一切正整數(shù)n都成立. (III)由的定義，②，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及①得 . 即. 【6】（C，江

49、蘇，理23） 解析：(1). (2)當(dāng)時， ，N* 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)時，，結(jié)論成立； ②假設(shè)時結(jié)論成立，那么時，的基礎(chǔ)上新增加的元素在，，中產(chǎn)生，分以下情形討論： 1)若，則，此時有 ，結(jié)論成立； 2) 若，則，此時有 ，結(jié)論成立； 3)若，則，此時有 ，結(jié)論成立； 4)若，則，此時有 ，結(jié)論成立； 5)若，則，此時有 ，結(jié)論成立； 6) 若，則，此時有 ，結(jié)論成立；. 綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立. 考點30 復(fù)數(shù) 【1】（A，新課標(biāo)I，文3）、C 解析：由題，得. 【2】（A，新課標(biāo)I

50、，理1）、A 解析：由題，得. ∴. 【3】（A，新課標(biāo)Ⅱ，文2）、D 解析：由已知得，所以. 【4】（A，新課標(biāo)Ⅱ，理2）、B 解析：由已知得，故，，解得. 【5】（A，北京，理1）、A 解析：. 【6】（A，湖北，文1）、A 解析：因為，故選A. 【7】（A，湖北，理1）、A 解析：由i的性質(zhì)知，則 . 【8】（A，四川，理2）、C 解析：，選C. 【9】（A，廣東，文2）、A 解析：. 【10】（A，廣東，理2）、A 解析：因為，. 【11】（A，山東，理2文2）、A 解析：由得，故. 【12】（A，安徽，文1）、C 解析：． 【13】（A

51、，安徽，理1）、B 解析：． 【14】（A，福建，文1）、A 解析：由已知得，所以． 【15】（A，福建，理1）、C 解析：由已知得，故，故選C． 【16】（A，湖南，文1理1）、D 解析：. 【17】（A，北京，文9）、-1 解析：復(fù)數(shù)，其實部為-1． 【18】（A，天津，文9）、 解析：. 【19】（A，天津，理9）、 解析： ，為純虛數(shù) . 【20】（A, 上海，文3理2）、 解析：設(shè)，則，解得 ，所以. 【21】（A，重慶，文11）、-2 解析： =. 【22】（A，重慶，理11）、3 解析：. 【23】（A，四川，文11）、 解析：. 【24】（A，江蘇，文理3）、 解析：因為，所以. 【25】（A，浙江，自選模塊3-1） 解析：由題意得ii，解得,故.