專題六 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線

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1、專題升級訓(xùn)練 　橢圓、雙曲線、拋物線 (時間:60分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分) 1.(2013·遼寧師大附中模擬,6)若拋物線y2=ax的焦點(diǎn)與雙曲線=1的右焦點(diǎn)重合,則a的值為(　　) A.4 B.8 C.16 D.8 2.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn),以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 3.若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓C1和雙曲線C2的一個交點(diǎn),F1,F2分別是它們的左、右焦點(diǎn),設(shè)橢圓的

2、離心率為e1,雙曲線的離心率為e2.若=0,則=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.若直線mx+ny=4與圓x2+y2=4沒有交點(diǎn),則過點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓=1的交點(diǎn)有(　　) A.至少1個 B.2個 C.1個 D.0個 5.已知點(diǎn)A,B是雙曲線x2-=1上的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足=0,則點(diǎn)O到直線AB的距離等于(　　) A. B. C.2 D.2 6.直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則弦AB的中點(diǎn)到直線x+=0的距離等于(　　) A. B.2 C. D.4 二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分) 7.

3、已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m),到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直,則實(shí)數(shù)a=　　　　　.  8.在△ABC中,AB=BC,cos B=-,若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,則該橢圓的離心率e=　　　　　.  9.連接拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F與點(diǎn)M(1,0)所得的線段與拋物線交于點(diǎn)A,設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAM的面積為　　　　　.  三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 10.(本小題滿分15分)已知橢圓C:=1(a>b>

4、0)的短軸長等于焦距,橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最短距離為-1. (1)求橢圓C的方程; (2)過點(diǎn)E(2,0)且斜率為k(k>0)的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),P是點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn),證明:N,F,P三點(diǎn)共線. 11.(本小題滿分15分)(2013·山東東營模擬,22)已知圓的方程為x2+y2=4,過點(diǎn)M(2,4)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A1,A2,直線A1A2恰好經(jīng)過橢圓=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)AB是橢圓=1(a>b>0)垂直于x軸的一條弦,AB所在直線的方程為x=m(|m|<a且m≠0

5、),P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線AP,BP分別交定直線l:x=于Q,R兩點(diǎn),求證:>4. 12.(本小題滿分16分) (2013·重慶九校聯(lián)考,20)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:=1(a>b>0),經(jīng)過點(diǎn)(1,e),其中e為橢圓的離心率,且橢圓C與直線y=x+有且只有一個交點(diǎn). (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(1,m)(m>0)在橢圓上,直線OP平分線段AB,求:當(dāng)△PAB的面積取得最大值時直線l的方程. ## 一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分

6、) 1.C 2.D　解析:由題意知a2=4b2,故橢圓C的方程為=1.(*) 又雙曲線的一條漸近線方程為y=x,假設(shè)它與橢圓的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m),由對稱性及題意知8×m2=16,得m2=4, ∴(2,2)在橢圓上,代入(*)式得b2=5,從而a2=20,故選D. 3.B　解析:設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),雙曲線方程為=1(m>0,n>0),其中兩焦點(diǎn)距離為2c. 不妨令P在第一象限,由題意知 ∴|PF1|=a+m,|PF2|=a-m, 又·=0,∴PF1⊥PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴2(a

7、2+m2)=4c2,∴=2,故選B.[來源:] 4.B　解析:∵直線mx+ny=4與圓x2+y2=4沒有交點(diǎn), ∴圓心到直線的距離d=>2,解得m2+n2<4, 即點(diǎn)P(m,n)在以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓的內(nèi)部,而此圓在橢圓=1的內(nèi)部,故點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部,經(jīng)過此點(diǎn)的任意直線與橢圓有兩個交點(diǎn).故選B. 5.A　解析:由·=0?OA⊥OB,由于雙曲線為中心對稱圖形,因此可考查特殊情況,令點(diǎn)A為直線y=x與雙曲線在第一象限的交點(diǎn),因此點(diǎn)B為直線y=-x與雙曲線在第四象限的一個交點(diǎn),因此直線AB與x軸垂直,點(diǎn)O到直線AB的距離就為點(diǎn)A或點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的值. 由?x=.故選

8、A. 6.C　解析:據(jù)拋物線定義知,|AB|=x1++x2+=4,∴x1+x2=. 故弦AB的中點(diǎn)到x=-的距離為. 二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分) 7.　解析:根據(jù)拋物線的性質(zhì)得1+=5,∴p=8. 不妨取M(1,4),則AM的斜率為2,由已知得-×2=-1.故a=.[來源:] 8.　解析:如圖所示,設(shè)AB=BC=x, 由cos B=-及余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=x2+x2+2x2×,∴AC2=x2,∴AC=x. ∵橢圓以A,B為焦點(diǎn),∴焦距為2c=AB=x. 又橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,∴AC+

9、BC=x+x=2a,[來源:] ∴2a=x,∴e=. 9.　解析:線段FM所在直線方程x+y=1與拋物線交于A(x0,y0),則?y0=3-2或y0=3+2(舍去).[來源:] ∴S△OAM=×1×(3-2)=. 三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 10. 解: (1)由題可知解得a=,c=1,∴b=1. ∴橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明:設(shè)直線l為y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x1,-y1),F(1,0),由得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0. ∴x1+x2=

10、,x1x2=. 而=(x2-1,y2)=(x2-1,kx2-2k), =(x1-1,-y1)=(x1-1,-kx1+2k). ∵(x1-1)(kx2-2k)-(x2-1)(-kx1+2k) =k[2x1x2-3(x1+x2)+4] =k=0, ∴.∴N,F,P三點(diǎn)共線. 11. 解: (1)觀察知,x=2是圓的一條切線,切點(diǎn)為(2,0). 設(shè)O為圓心,根據(jù)圓的切線性質(zhì),MO⊥A1A2,所以=-=-, 所以直線A1A2的方程為y=-(x-2). 直線A1A2與y軸相交于點(diǎn)(0,1),依題意可知a=2,b=1,故橢圓的方程為+y2=1. (2)證明:橢圓方程為+y2=1,設(shè)P

11、(x0,y0),A(m,n),B(m,-n), 則有+4-4=0,m2+4n2-4=0. 在直線AP的方程y-n=(x-m)中,令x=,整理,得 yQ=.① 同理,yR=.② ①×②,并將=1-,n2=1-m2代入得[來源:] yQ·yR= = =. 故··+yQ·yR==1+. 因?yàn)閨m|<2且m≠0,所以0<m2<4,>3, 所以·>4. 12.解:(1)∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)(1,e), ∴=1. 又e=,∴=1,∴b2=1, ∴橢圓C的方程為+y2=1. 又∵橢圓C與直線y=

12、x+有且只有一個交點(diǎn),∴方程+(x+)2=1,即(1+a2)x2+2a2x+2a2=0有兩個相等的實(shí)根, ∴Δ=(2a2)2-4(1+a2)·2a2=0,∴a2=2, ∴橢圓C的方程為+y2=1. (2)由(1)知橢圓的方程為+y2=1,故P. 設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線l的方程為y=kx+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0. ∴ 又y1+y2=k(x1+x2)+2t=,直線OP方程為y=x且OP平分線段AB, ∴在直線OP上, ∴,解得k=-,∴|AB|=·. 又∵點(diǎn)P到直線l的距離d==h, ∴S△PAB=|AB|h=. 設(shè)f(t)=(-t)2(4-2t2)=-2t4+4t3-8t+8. 由直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)可得-<t<,求導(dǎo)可得當(dāng)t=-時,f(t)在(-)上有最大值,此時S△PAB取得最大值. 此時直線l的方程為y=-x-.