第八章第4節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)

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1、第四節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 題型95 證明空間中直線、平面的平行關(guān)系 2013年 1．（2013廣東文8）設(shè)為直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是 A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 2. （2013浙江文4）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面， A.若，，則 B.若，，則 C.若，，則 D.若，，則 3. （2013山東文19） 如圖，四棱錐中，，，， ，分別為的中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面

2、 4. （2013江蘇16）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，過作，垂足為，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn). 求證：（1）平面平面； （2）. 5.（2013遼寧文18）如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，是圓上的點(diǎn). （1）求證：平面； （2）設(shè)為的中點(diǎn)，為的重心，求證：平面. 6. (2013陜西文18）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面， . （1）證明：平面平面； （2）求三棱柱的體積. 2014年 1.（2014山東文18）如圖所示，四棱錐中 分別為線段的中點(diǎn). （1）求證：； （2）求證：.

3、 2.（2014安徽文19） 如圖所示，四棱錐的底面是邊長為的正方形，四條側(cè)棱長均為.點(diǎn)分別是棱上共面的四點(diǎn)，平面平面，平面. （1）求證： （2）若，求四邊形的面積. 2015年 1.（2015廣東文18）如圖所示， 所在的平面與長方形所在的平面垂直， ，，． (1)求證：平面； (2)求證：； (3)求點(diǎn)到平面的距離． 1. 解析 （1）因?yàn)樗倪呅问情L方形，所以. 因?yàn)槠矫?，平面，所以平? （2）因?yàn)樗倪呅问情L方形，所以. 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面? 所以平面.因?yàn)槠矫?，所? （3）解法一：取的中點(diǎn)，連接和，如圖所示. 因

4、為，所以.在中，. 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平? 由（2）知平面，由（1）知，所以平面.因?yàn)槠矫?，所? 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋? 所以，即， 所以點(diǎn)到平面的距離是. 解法二：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示. 由（2）知平面，由（1）知，所以平面. 又平面，所以. 因?yàn)?，所以平? 則的長度即為點(diǎn)到平面的距離. 因?yàn)?，所? 在與中，，所以，所以. 在中，. 則，得.故點(diǎn)到平面的距離為. 2.（2015江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，已知，． 設(shè)的中點(diǎn)為，． 求證：（1）平面；（2）． 2

5、.解析 （1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以是的中點(diǎn). 又是的中點(diǎn)， 因此是的中位線，故. 又平面，平面，所以平面． （2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，從而平? 因?yàn)槠矫妫裕? 因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以. 因?yàn)?，所以平? 又因?yàn)槠矫妫裕? 2016年 1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直線.若直線，滿足，，則（ ）. A. B. C. D. 1.C 解析 對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以與平行或異面.故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B和D，因?yàn)?，，所以?又因?yàn)?，所以與的關(guān)系平行、相交或異面都有可能.故選項(xiàng)B和D不正確；對于選項(xiàng)C

6、，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗?，故選項(xiàng)C正確，故選C. 2.(2016上海文16)如圖所示，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是（ ）. A.直線 B.直線 C.直線 D.直線 2.D 解析 易知與在兩個平行平面內(nèi)，故不可能相交；平面，平面，故不可能相交；同理與也不可能相交；與均在平面內(nèi)，且與不平行，故相交，其交點(diǎn)如圖所示.故選D. 3.（2016江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，. 求證：（1）直線平面； （2）平面平面. 3.解析 （1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，又因

7、為三棱柱為直棱柱，故，所以，又因?yàn)槠矫?，且，故平? （2）三棱柱為直棱柱，所以平面.又平面， 故.又，且，平面， 所以平面.又因?yàn)槠矫妫? 又因?yàn)?，，且平面? 所以平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面平? 4.（2016天津文17）如圖所示，四邊形是平行四邊形，平面平面，，，，，，，為的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）求直線與平面所成角的正弦值. 4.解析 （1）如圖所示，取的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且. 又因?yàn)?，，所以且，即四邊形是平行四邊形，所?又平面，平面，所以平面 （2）在中，，，.由余弦定理可得，進(jìn)而可

8、得，即. 又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平? 又因?yàn)槠矫?，所以平面平? （3）因?yàn)椋灾本€與平面所成角即為直線與平面所成角. 過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示. 又因?yàn)槠矫嫫矫妫桑?）知平面， 所以直線與平面所成角即為. 在中，. 由余弦定理可得，所以， 因此. 在中，， 所以直線與平面所成角的正弦值為. 5（2016山東文18）在如圖所示的幾何體中，是的中點(diǎn)，. （1）已知，. 求證：； （2）已知分別是和的中點(diǎn).求證：平面. 5. 解析 （1）因?yàn)椋耘c確定一個平面，連接，如圖（1）所示. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以；同理可得. 又因?yàn)?，?/p>

9、以平面，因?yàn)槠矫妫? （2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如圖（2）所示. 在中，是的中點(diǎn)，所以.又，所以；在中，是的中點(diǎn)，所以. 又，，所以平面平面. 因?yàn)槠矫妫云矫? （1） (2) 6.（2016全國丙文19）如圖所示，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn). （1）證明平面； （2）求四面體的體積. 6.解析（1）取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形.所以. 又平面，平面，所以平面. (

10、2)由(1) 平面. 所以. 所以. 2017年 1.（2017全國1文6）如圖所示，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（ ）. 1.解析 由選項(xiàng)B，，則直線平面；由選項(xiàng)C，，則直線平面；由選項(xiàng)D，，則直線平面.故選項(xiàng)A不滿足.故選A. 2.（2017全國2文18）如圖所示，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面， ，. （1）證明：直線平面； （2）若面積為，求四棱錐的體積. 解析 （1）在平面內(nèi)，因?yàn)?，所? 又平面，平面，故平面. （2）取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，. 由，及，，得四邊形為正

11、方形，則. 因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所? 設(shè)，則，，，. 取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則，所以. 因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得（舍去），，于是，，.所以四棱錐的體積. 3.（2017山東文18）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面. （1）證明：平面； （2）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，，分別為和的中點(diǎn)，所以. 又 面，平面，所以

12、. 因?yàn)?，所以. 又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面. 解析（1）如圖所示，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱， 所以，，因此四邊形為平行四邊形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，，分別為和的中點(diǎn)，所以. 又 面，平面，所以. 因?yàn)?，所以. 又平面，，所以平面，又平面， 所以平面平面. 4.（2017江蘇15）如圖所示，在三棱錐中，，， 平面平面， 點(diǎn)（與不重合）分別在棱上，且． 求證：（1）平面； （2）． 解析 （1）在平面內(nèi)，因?yàn)?，，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合，所以. 又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平? （2）因?yàn)槠?/p>

13、面平面，平面平面， 平面，，所以平面. 因?yàn)槠矫?，所? 又，，平面，平面， 所以平面.又因?yàn)槠矫?，所? 題型96 與平行有關(guān)的開放性、探究性問題 2014年 27.（2014四川文18）在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形. （1）若，求證：直線平面； （2）設(shè)，分別是線段，的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線平面？請證明你的結(jié)論. 2015年 1.（2015陜西文18）如圖1所示，在直角梯形中，，， ，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起 到圖2中的位置，得到四棱錐時，四棱錐的體積為， 求的值. 1.解析

14、 (1)在圖1中，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，，且所以四邊形是正方形，故. 又在圖2中，，，從而平面. 又 且，所以，即可證得平面； (2)由已知，平面平面，且平面平面. 又由(1)知，，所以平面，即是四棱錐的高， 且.平行四邊形面積， 從而四棱錐的體積， 由，得. 2016年 1.（2016四川文17）如圖所示，在四棱錐中，，，，. （1）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得直線平面，并說明理由； （2）證明：平面平面 1.解析（1）取棱的中點(diǎn)平面，點(diǎn)即為所求的一個點(diǎn). 證明如下：因?yàn)?，所以，? 所以四邊形是平行四邊形，從而 又平面，平面， 所以平面 (說明：取棱的中點(diǎn)，則所找的

15、點(diǎn)可以是直線上任意一點(diǎn)). （2）由已知，，因?yàn)?，所以直線與相交，所以平面從而因?yàn)?，所以，?所以四邊形是平行四邊形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面 2.（2016北京文18）如圖所示，在四棱錐中，平面，. （1）求證：平面； （2）求證：平面平面； （3）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?說明理由. 2.解析 （1）因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)椋?所以平面. （2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面 （3）棱上存在點(diǎn)，使得平面.證明如下. 取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以. 又因?yàn)槠矫?，所以平?