人教版 小學(xué)9年級(jí) 數(shù)學(xué)上冊(cè) 一元二次方程教案

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1、2019人教版初中數(shù)學(xué)精品教學(xué)資料 第二十一章　一元二次方程 21．1　一元二次方程 1．通過(guò)類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解． 重點(diǎn) 通過(guò)類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡(jiǎn)單問(wèn)題． 難點(diǎn) 一元二次方程及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別． 活動(dòng)1　復(fù)習(xí)舊知 1．什么是方程？你能舉一個(gè)方程的例子嗎？ 2．

2、下列哪些方程是一元一次方程？并給出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x－1　(2)mx＋n＝0　(3)＋1＝0　(4)x2＝1 3．下列哪個(gè)實(shí)數(shù)是方程2x－1＝3的解？并給出方程的解的概念． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 活動(dòng)2　探究新知 根據(jù)題意列方程． 1．教材第2頁(yè)　問(wèn)題1. 提出問(wèn)題： (1)正方形的大小由什么量決定？本題應(yīng)該設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)？ (2)本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系列方程嗎？怎么列方程？ (3)這個(gè)方程能整理為比較簡(jiǎn)單的形式嗎？請(qǐng)說(shuō)出整理之后的方程． 2．教材第2頁(yè)　問(wèn)題2. 提出問(wèn)題： (1)本題中有哪些量

3、？由這些量可以得到什么？ (2)比賽隊(duì)伍的數(shù)量與比賽的場(chǎng)次有什么關(guān)系？如果有5個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)比賽幾場(chǎng)？一共有20場(chǎng)比賽嗎？如果不是20場(chǎng)比賽，那么究竟比賽多少場(chǎng)？ (3)如果有x個(gè)隊(duì)參賽，一共比賽多少場(chǎng)呢？ 3．一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3，且兩個(gè)數(shù)之積為0，求這兩個(gè)數(shù)． 提出問(wèn)題： 本題需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？如果可以設(shè)一個(gè)未知數(shù)，那么方程應(yīng)該怎么列？ 4．一個(gè)正方形的面積的2倍等于25，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 活動(dòng)3　歸納概念 提出問(wèn)題： (1)上述方程與一元一次方程有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ (2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個(gè)什么名字？ (3)歸納一元二次方程的

4、概念． 1．一元二次方程：只含有________個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是________，這樣的________方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)． 提出問(wèn)題： (1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號(hào)的左、右分別是什么？ (2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？ (3)2x2－x＋1＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？為什么？ 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根)． 活動(dòng)4　例題與練習(xí) 例

5、1　在下列方程中，屬于一元二次方程的是________． (1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)＋＝2； (4)2x2－2x(x＋7)＝0. 總結(jié)：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡(jiǎn)前含有二次項(xiàng)，但是化簡(jiǎn)后二次項(xiàng)系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程． 例2　教材第3頁(yè)　例題． 例3　以－2為根的一元二次方程是(　　) A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0 C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0 總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以將這個(gè)數(shù)代入方程，判斷方程

6、左、右兩邊的值是否相等． 練習(xí)： 1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是________． 2．將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)． (1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3. 3．教材第4頁(yè)　練習(xí)第2題． 4．若－4是關(guān)于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一個(gè)根，則k的值為_(kāi)_______． 答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4. 活動(dòng)5　課堂小結(jié)與作業(yè)布置 課堂小結(jié) 我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些知識(shí)？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解

7、一元二次方程嗎？ 作業(yè)布置 教材第4頁(yè)　習(xí)題21.1第1～7題.21.2　解一元二次方程 21．2.1　配方法(3課時(shí)) 第1課時(shí)　直接開(kāi)平方法 理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題． 提出問(wèn)題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2＋c＝0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程． 重點(diǎn) 運(yùn)用開(kāi)平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，領(lǐng)會(huì)降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 難點(diǎn) 通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如x2＝n的方程，將知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．

8、 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題． 問(wèn)題1：填空 (1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2. 解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)16　4；(2)4　2；(3)()2　. 問(wèn)題2：目前我們都學(xué)過(guò)哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過(guò)哪些降次的方法？ 二、探索新知 上面我們已經(jīng)講了x2＝9，根據(jù)平方根的意義，直接開(kāi)平方得x＝±3，如果x換

9、元為2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接開(kāi)平方的方法求解呢？ (學(xué)生分組討論) 老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t＋1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t＋1＝±3 即2t＋1＝3，2t＋1＝－3 方程的兩根為t1＝1，t2＝－2 例1　解方程：(1)x2＋4x＋4＝1　(2)x2＋6x＋9＝2 分析：(1)x2＋4x＋4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x＋3)2＝2 直接開(kāi)平方，得：x＋3＝± 即x＋3＝，x＋3＝－ 所以，方程的兩根x1＝－3＋，x2＝－3－ 解：略． 例2　市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在

10、的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率． 分析：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x，一年后人均住房面積就應(yīng)該是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2 解：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x， 則：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44 直接開(kāi)平方，得1＋x＝±1.2 即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2 所以，方程的兩根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2 因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的，因此，x2＝－2.2應(yīng)舍去． 所以，每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20%. (學(xué)生小結(jié))

11、老師引導(dǎo)提問(wèn)：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？ 共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”． 三、鞏固練習(xí) 教材第6頁(yè)　練習(xí)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無(wú)解． 五、作業(yè)布置 教材第16頁(yè)　復(fù)習(xí)鞏固1.第2課時(shí)　配方法的基本形式 理解間接即通過(guò)變形運(yùn)用開(kāi)平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題． 通過(guò)復(fù)習(xí)可

12、直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟． 重點(diǎn) 講清直接降次有困難，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解題步驟． 難點(diǎn) 將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧． 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們解下列方程： (1)3x2－1＝5　(2)4(x－1)2－9＝0　(3)4x2＋16x＋16＝9　(4)4x2＋16x＝－7 老師點(diǎn)評(píng)：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得 x＝±或mx＋n＝±(p

13、≥0)． 如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9嗎？ 二、探索新知 列出下面問(wèn)題的方程并回答： (1)列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三個(gè)方程的解法呢？ 問(wèn)題：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6 m，并且面積為16 m2，求場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各是多少？ (1)列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有此特征． (2)不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來(lái)講如何轉(zhuǎn)化：

14、x2＋6x－16＝0移項(xiàng)→x2＋6x＝16 兩邊加(6/2)2使左邊配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9 左邊寫(xiě)成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5 解一次方程→x1＝2，x2＝－8 可以驗(yàn)證：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但場(chǎng)地的寬不能是負(fù)值，所以場(chǎng)地的寬為2 m，長(zhǎng)為8 m. 像上面的解題方法，通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解． 例1　用配方法解下列關(guān)于x的方程： (1)x2－8x＋1＝0　(2)x2－2x－

15、＝0 分析：(1)顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上． 解：略． 三、鞏固練習(xí) 教材第9頁(yè)　練習(xí)1，2.(1)(2)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程． 五、作業(yè)布置 教材第17頁(yè)　復(fù)習(xí)鞏固2，3.(1)(2)．第3課時(shí)　配方法的靈活運(yùn)用 了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟． 通過(guò)復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目． 重點(diǎn) 講清配方法的解題步驟．

16、 難點(diǎn) 對(duì)于用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，通常把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程，要先化二次項(xiàng)系數(shù)為1，再用配方法求解． 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動(dòng))解下列方程： (1)x2－4x＋7＝0　(2)2x2－8x＋1＝0 老師點(diǎn)評(píng)：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接開(kāi)方降次解方程的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題． 解：略．　(2)與(1)有何關(guān)聯(lián)？ 二、探索新知 討論：配方法解一元二次方程的一般步驟： (1)先將已知方程化為一般形式； (

17、2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1； (3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊； (4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式； (5)變形為(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程無(wú)實(shí)根． 例1　解下列方程： (1)2x2＋1＝3x　(2)3x2－6x＋4＝0　(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0 分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來(lái)完成，即配一個(gè)含有x的完全平方式． 解：略． 三、鞏固練習(xí) 教材第9頁(yè)　練習(xí)2.(3)(4)(5)(6)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．配方法的概念及用配方法解一元二

18、次方程的步驟． 2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過(guò)配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性．在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到． 五、作業(yè)布置 教材第17頁(yè)　復(fù)習(xí)鞏固3.(3)(4)． 補(bǔ)充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值． (2)求證：無(wú)論x，y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2＋y2－2x－4y＋16的值總是正數(shù).21.2.2　公式法 理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程． 復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過(guò)程，

19、引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推導(dǎo)，并應(yīng)用公式法解一元二次方程． 重點(diǎn) 求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用． 難點(diǎn) 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)． 一、復(fù)習(xí)引入 1．前面我們學(xué)習(xí)過(guò)解一元二次方程的“直接開(kāi)平方法”，比如，方程 (1)x2＝4　(2)(x－2)2＝7 提問(wèn)1　這種解法的(理論)依據(jù)是什么？ 提問(wèn)2　這種解法的局限性是什么？(只對(duì)那種“平方式等于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實(shí)施于一般形式的二次方程．) 2．面對(duì)這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開(kāi)平方”的形式．) (學(xué)生活動(dòng))用配方法解方程　2x2＋3＝7

20、x (老師點(diǎn)評(píng))略 總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))． (1)先將已知方程化為一般形式； (2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1； (3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊； (4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式； (5)變形為(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程無(wú)實(shí)根． 二、探索新知 用配方法解方程： (1)ax2－7x＋3＝0　(2)ax2＋bx＋3＝0 如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問(wèn)題． 問(wèn)題：已知ax2

21、＋bx＋c＝0(a≠0)，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1＝，x2＝(這個(gè)方程一定有解嗎？什么情況下有解？) 分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)，b，c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去． 解：移項(xiàng)，得：ax2＋bx＝－c 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2＋x＝－ 配方，得：x2＋x＋()2＝－＋()2 即(x＋)2＝ ∵4a2>0，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，≥0 ∴(x＋)2＝()2 直接開(kāi)平方，得：x＋＝± 即x＝ ∴x1＝，x2＝ 由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a，b，c而定，因此： (1)解一元二

22、次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，將a，b，c代入式子x＝就得到方程的根． (2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解 (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 例1　用公式法解下列方程： (1)2x2－x－1＝0　(2)x2＋1.5＝－3x (3)x2－x＋＝0　(4)4x2－3x＋2＝0 分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可． 補(bǔ)：(5)(x－2)(3x－5)＝0 三、鞏固練習(xí) 教材第12頁(yè)　練習(xí)1.(1)(3)(5)

23、或(2)(4)(6)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： (1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過(guò)程； (2)公式法的概念； (3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，注意移項(xiàng)要變號(hào)，盡量讓a>0；2)找出系數(shù)a，b，c，注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號(hào)；3)計(jì)算b2－4ac，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無(wú)解；4)若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果． (4)初步了解一元二次方程根的情況． 五、作業(yè)布置 教材第17頁(yè)　習(xí)題4，5.21.2.3　因式分解法 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通過(guò)復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會(huì)和探尋用更簡(jiǎn)單的方法——因式分解法

24、解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問(wèn)題． 重點(diǎn) 用因式分解法解一元二次方程． 難點(diǎn) 讓學(xué)生通過(guò)比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡(jiǎn)便． 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動(dòng))解下列方程： (1)2x2＋x＝0(用配方法)　(2)3x2＋6x＝0(用公式法) 老師點(diǎn)評(píng)：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為，的一半應(yīng)為，因此，應(yīng)加上()2，同時(shí)減去()2.(2)直接用公式求解． 二、探索新知 (學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們口答下面各題． (老師提問(wèn))(1)上面兩個(gè)方程中有沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)？ (2)等式左邊的各項(xiàng)有沒(méi)有共同因式？ (學(xué)生先答，老師解答)

25、上面兩個(gè)方程中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解． 因此，上面兩個(gè)方程都可以寫(xiě)成： (1)x(2x＋1)＝0　(2)3x(x＋2)＝0 因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至少其中一個(gè)因式要等于0，也就是(1)x＝0或2x＋1＝0，所以x1＝0，x2＝－. (2)3x＝0或x＋2＝0，所以x1＝0，x2＝－2.(以上解法是如何實(shí)現(xiàn)降次的？) 因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開(kāi)平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法． 例1　解方程： (1)10x－4.9x2＝0　(2)x(x－2)＋x－

26、2＝0　(3)5x2－2x－＝x2－2x＋　(4)(x－1)2＝(3－2x)2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？ 解：略　(方程一邊為0，另一邊可分解為兩個(gè)一次因式乘積．) 練習(xí)：下面一元二次方程解法中，正確的是(　　) A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7 B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝，x2＝ C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝－2 D．x2＝x，兩邊同除以x，得x＝1 三、鞏固練習(xí) 教材第14頁(yè)　練習(xí)1，2. 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課要

27、掌握： (1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用． (2)因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0. 五、作業(yè)布置 教材第17頁(yè)　習(xí)題6，8，10，11.21.2.4　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 1．掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會(huì)初步應(yīng)用． 2．培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力． 3．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律． 4．培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神． 重點(diǎn) 根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo) 難點(diǎn) 正確理解根與系數(shù)的關(guān)系．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

28、系是指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數(shù)的關(guān)系． 一、復(fù)習(xí)引入 1．已知方程x2－ax－3a＝0的一個(gè)根是6，則求a及另一個(gè)根的值． 2．由上題可知一元二次方程的系數(shù)與根有著密切的關(guān)系．其實(shí)我們已學(xué)過(guò)的求根公式也反映了根與系數(shù)的關(guān)系，這種關(guān)系比較復(fù)雜，是否有更簡(jiǎn)潔的關(guān)系？ 3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為x1＝，x2＝.觀察兩式右邊，分母相同，分子是－b＋與－b－.兩根之間通過(guò)什么計(jì)算才能得到更簡(jiǎn)潔的關(guān)系？ 二、探索新知 解下列方程，并填寫(xiě)表格： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－2x＝0

29、 x2＋3x－4＝0 x2－5x＋6＝0 　　觀察上面的表格，你能得到什么結(jié)論？ (1)關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q為常數(shù)，p2－4q≥0)的兩根x1，x2與系數(shù)p，q之間有什么關(guān)系？ (2)關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根x1，x2與系數(shù)a，b，c之間又有何關(guān)系呢？你能證明你的猜想嗎？ 解下列方程，并填寫(xiě)表格： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 2x2－7x－4＝0 3x2＋2x－5＝0 5x2－17x＋6＝0 　　小結(jié)：根與系數(shù)

30、關(guān)系： (1)關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q為常數(shù)，p2－4q≥0)的兩根x1，x2與系數(shù)p，q的關(guān)系是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q(注意：根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零．) (2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再利用上面的結(jié)論． 即：對(duì)于方程　ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ∵a≠0，∴x2＋x＋＝0 ∴x1＋x2＝－，x1·x2＝ (可以利用求根公式給出證明) 例1　不解方程，寫(xiě)出下列方程的兩根和與兩根積： (1)x2－3x－1＝0　　　(2)2x2＋3x－5＝0 (3)x2－2x

31、＝0 (4)x2＋x＝ (5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0 例2　不解方程，檢驗(yàn)下列方程的解是否正確？ (1)x2－2x＋1＝0 (x1＝＋1，x2＝－1) (2)2x2－3x－8＝0 (x1＝，x2＝) 例3　已知一元二次方程的兩個(gè)根是－1和2，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)符合條件的方程．(你有幾種方法？) 例4　已知方程2x2＋kx－9＝0的一個(gè)根是－3，求另一根及k的值． 變式一：已知方程x2－2kx－9＝0的兩根互為相反數(shù)，求k； 變式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的兩根互為倒數(shù)，求k. 三、課堂小結(jié) 1．根與系數(shù)的關(guān)系． 2．根與系數(shù)關(guān)系使用的前提是：(1)

32、是一元二次方程；(2)判別式大于等于零． 四、作業(yè)布置 1．不解方程，寫(xiě)出下列方程的兩根和與兩根積． (1)x2－5x－3＝0　(2)9x＋2＝x2　(3)6x2－3x＋2＝0 (4)3x2＋x＋1＝0 2．已知方程x2－3x＋m＝0的一個(gè)根為1，求另一根及m的值． 3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一個(gè)根為－2，求另一根及b的值.21.3　實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(2課時(shí)) 第1課時(shí)　解決代數(shù)問(wèn)題 1．經(jīng)歷用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，總結(jié)列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟． 2．通過(guò)學(xué)生自主探究，會(huì)根據(jù)傳播問(wèn)題、百分率問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解，熟悉解

33、題的具體步驟． 3．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解答，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)方程的解必須要進(jìn)行檢驗(yàn)，方程的解是否舍去要以是否符合問(wèn)題的實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn)． 重點(diǎn) 利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題、百分率問(wèn)題． 難點(diǎn) 如果理解傳播問(wèn)題的傳播過(guò)程和百分率問(wèn)題中的增長(zhǎng)(降低)過(guò)程，找到傳播問(wèn)題和百分率問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系． 一、引入新課 1．列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？ 2．科學(xué)家在細(xì)胞研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)： (1)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，經(jīng)過(guò)3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？ (2)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成x個(gè)，經(jīng)過(guò)3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？ (3)如是一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，分裂后原有細(xì)胞仍然存在

34、并能再次分裂，試問(wèn)經(jīng)過(guò)3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？ 二、教學(xué)活動(dòng) 活動(dòng)1：自學(xué)教材第19頁(yè)探究1，思考教師所提問(wèn)題． 有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？ (1)如何理解“兩輪傳染”？如果設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染后共有________人患流感．第二輪傳染后共有________人患流感． (2)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？ (3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？ 解答：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則依題意第一輪傳染后有(x＋1)人患了流感，第二輪有x(1＋x)人被傳染上了流感．于是可列方程： 1＋

35、x＋x(1＋x)＝121 解方程得x1＝10，x2＝－12(不合題意舍去) 因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人． 變式練習(xí)：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？ 活動(dòng)2：自學(xué)教材第19頁(yè)～第20頁(yè)探究2，思考老師所提問(wèn)題． 兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？ (1)如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎？ (2)若設(shè)甲種藥品年平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降了_______

36、_元，此時(shí)成本為_(kāi)_______元；兩年后，甲種藥品下降了________元，此時(shí)成本為_(kāi)_______元． (3)增長(zhǎng)率(下降率)公式的歸納：設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a，增長(zhǎng)率為x，則一月(或一年)后產(chǎn)量為a(1±x)； 二月(或二年)后產(chǎn)量為a(1±x)2； n月(或n年)后產(chǎn)量為a(1±x)n； 如果已知n月(n年)后總產(chǎn)量為M，則有下面等式：M＝a(1±x)n. (4)對(duì)甲種藥品而言根據(jù)等量關(guān)系列方程為：________________. 三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置 課堂小結(jié) 1．列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、列、解、答．最后要檢驗(yàn)根是

37、否符合實(shí)際． 2．傳播問(wèn)題解決的關(guān)鍵是傳播源的確定和等量關(guān)系的建立． 3．若平均增長(zhǎng)(降低)率為x，增長(zhǎng)(或降低)前的基準(zhǔn)數(shù)是a，增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b，則有：a(1±x)n＝b(常見(jiàn)n＝2)． 4．成本下降額較大的藥品，它的下降率不一定也較大，成本下降額較小的藥品，它的下降率不一定也較?。? 作業(yè)布置 教材第21－22頁(yè)　習(xí)題21.3第2－7題．第2課時(shí)　解決幾何問(wèn)題 1．通過(guò)探究，學(xué)會(huì)分析幾何問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決幾何問(wèn)題． 2．通過(guò)探究，使學(xué)生認(rèn)識(shí)在幾何問(wèn)題中可以將圖形進(jìn)行適當(dāng)變換，使列方程更容易． 3．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解答，再次讓

38、學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)方程的解必須要進(jìn)行檢驗(yàn)，方程的解是否舍去要以是否符合問(wèn)題的實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn)． 重點(diǎn) 通過(guò)實(shí)際圖形問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程分析和解決幾何問(wèn)題的能力． 難點(diǎn) 在探究幾何問(wèn)題的過(guò)程中，找出數(shù)量關(guān)系，正確地建立一元二次方程． 活動(dòng)1　創(chuàng)設(shè)情境 1．長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)________，面積________，長(zhǎng)方體的體積公式________． 2．如圖所示： (1)一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是10 cm，寬是8 cm，四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的小正方形，制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器，這個(gè)長(zhǎng)方體容器的底面積是________，高是________，體積是________． (2)一塊長(zhǎng)

39、方形鐵皮的長(zhǎng)是10 cm，寬是8 cm，四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x cm的小正方形，制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器，這個(gè)長(zhǎng)方體容器的底面積是________，高是________，體積是________． 活動(dòng)2　自學(xué)教材第20頁(yè)～第21頁(yè)探究3，思考老師所提問(wèn)題 要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面，封面長(zhǎng)27 cm，寬21 cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(精確到0.1 cm)． (1)要設(shè)計(jì)書(shū)本封面的長(zhǎng)與寬的比是________，則正中央矩形的長(zhǎng)與寬的比是________． (2)為什么說(shuō)上

40、下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9∶7？試與同伴交流一下． (3)若設(shè)上、下邊襯的寬均為9x cm，左、右邊襯的寬均為7x cm，則中央矩形的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm，寬為_(kāi)_______cm，面積為_(kāi)_______cm2. (4)根據(jù)等量關(guān)系：________，可列方程為：________. (5)你能寫(xiě)出解題過(guò)程嗎？(注意對(duì)結(jié)果是否合理進(jìn)行檢驗(yàn)．) (6)思考如果設(shè)正中央矩形的長(zhǎng)與寬分別為9x cm和7x cm，你又怎樣去求上下、左右邊襯的寬？ 活動(dòng)3　變式練習(xí) 如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)為50米，寬為30米的矩形空地上，建造一個(gè)花園，要求花園的面積占整塊面積的75%，等寬且互相垂直的兩條路的面積占25%，求路的寬度． 答案：路的寬度為5米． 活動(dòng)4　課堂小結(jié)與作業(yè)布置 課堂小結(jié) 1．利用已學(xué)的特殊圖形的面積(或體積)公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清題目中的數(shù)量關(guān)系． 2．根據(jù)面積與面積(或體積)之間的等量關(guān)系建立一元二次方程，并能正確解方程，最后對(duì)所得結(jié)果是否合理要進(jìn)行檢驗(yàn)． 作業(yè)布置 教材第22頁(yè)　習(xí)題21.3第8，10題．