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1、
第十五章 復 數(shù)
高考導航
考試要求
重難點擊
命題展望
1.理解復數(shù)的基本概念、復數(shù)相等的充要條件.
2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
3.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.了解復數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其運算的幾何意義.
4.了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關系及擴充的基本思想，體會理性思維在數(shù)系擴充中的作用.
本章重點：1.復數(shù)的有關概念；2.復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.
本章難點：運用復數(shù)的有關概念解題.
近幾年高考對復數(shù)的考查無論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復習過程中，應將
2、復數(shù)的概念及運算放在首位.
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15.1 復數(shù)的概念及其運算
典例精析
題型一 復數(shù)的概念
【例1】 (1)如果復數(shù)(m2＋i)(1＋mi)是實數(shù)，則實數(shù)m＝ ??；
(2)在復平面內，復數(shù)對應的點位于第 象限；
(3)復數(shù)z＝3i＋1的共軛復數(shù)為＝ .
【解析】 (1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是實數(shù)?1＋m3＝0?m＝－1.
(2)因為＝＝1－i，所以在復平面內對應的點為(1，－1)，位于第四象限.
(3)因為z＝1＋3i，所以＝1－3i.
【點撥】 運算此類題目需注意復數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，
3、b∈R)，并注意復數(shù)分為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復數(shù)的幾何意義，共軛復數(shù)等概念.
【變式訓練1】(1)如果z＝為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于( )
A.0 B.－1 C.1 D.－1或1
(2)在復平面內，復數(shù)z＝(i是虛數(shù)單位)對應的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】(1)設z＝xi，x≠0，則
xi＝?1＋ax－(a＋x)i＝0??或故選D.
(2)z＝＝(1－i)(－i)＝－1－i，該復數(shù)對應的點位于第三象限.故選C.
題型二 復數(shù)的相等
【例2】(1)已知復數(shù)z0＝3＋2i，復數(shù)z滿足z
4、83;z0＝3z＋z0，則復數(shù)z＝ ??；
(2)已知＝1－ni，其中m，n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni＝ ?。?
(3)已知關于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實根，則這個實根為 ，實數(shù)k的值為 .
【解析】(1)設z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入z·z0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得 (2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
則由復數(shù)相等的條件得
解得所以z＝1－.
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
則由復數(shù)相等的條件得
5、所以m＋ni＝2＋i.
(3)設x＝x0是方程的實根，代入方程并整理得
由復數(shù)相等的充要條件得
解得或
所以方程的實根為x＝或x＝－，
相應的k值為k＝－2或k＝2.
【點撥】復數(shù)相等須先化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得實部與實部相等、虛部與虛部相等.
【變式訓練2】(1)設i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是( )
A.－ B.－2 C.2 D.
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝ .
【解析】(1)C.＝＝，于是a＋b＝＋＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋i?a＝1，b
6、＝2.
題型三 復數(shù)的運算
【例3】 (1)若復數(shù)z＝－＋i， 則1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008＝ ?。?
(2)設復數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，那么z＝ .
【解析】 (1)由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i ＝z.
所以zn具有周期性，在一個周期內的和為0，且周期為3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2 006＋z2 007＋z2 008)
＝1＋z＝＋i.
(2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，則x＋yi＋＝2＋i，
所以解得所以z＝＋i.
【點撥】 解(1)時要注意x3＝1?(x－1
7、)(x2＋x＋1)＝0的三個根為1，ω，，
其中ω＝－＋i，＝－－i， 則
1＋ω＋ω2＝0， 1＋＋2＝0 ，ω3＝1，3＝1，ω·＝1，ω2＝，2＝ω.
解(2)時要注意|z|∈R，所以須令z＝x＋yi.
【變式訓練3】(1)復數(shù)＋等于( )
A. B. C.－ D.
(2)(20xx江西鷹潭)已知復數(shù)z＝＋()2 010，則復數(shù)z等于( )
A.0 B.2 C.－2i D.2i
【解析】(1)D.計算容易有＋＝.
(2)A.
總結提高
復數(shù)的代數(shù)運算是重點，是每年必考內容之一，復數(shù)代數(shù)形式的運算：①加減法按合并同類項法則進行；②乘法展開、除法須分母實數(shù)化.因此，一些復數(shù)問題只需設z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就可以將復數(shù)問題化歸為實數(shù)問題來解決.
高三理科數(shù)學 一輪總復習第十五章 復 數(shù)教師用書
