中考數學真題類編 知識點026直角三角形、勾股定理及逆定理

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1、△+△數學中考教學資料2019年編△+△ 一、選擇題 1. （ 2016安徽，10，4分）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6，BC=4.P是△ABC內部的一個懂點，且滿足∠PAB=∠PBC.則線段CP長的最小值為（ ） A. B.2 C. D. 【答案】B. 【逐步提示】先根據三角形內角和和已知條件求出∠APB=900,并根據圓周角定理判斷出動點P的活動軌跡，把問題轉化為圓外一點與圓上動點的最值問題，最后根據勾股定理即可求解. 【詳細解答】解：如圖，∵AB⊥BC,∴∠ABP+∠CBP=900,∵∠CBP=∠BAP,∴∠AB

2、P+∠BAP=900,∴∠APB=900,∴點P在以AB為直徑的⊙E落在△ABC內部的部分，當點C,P,E在一條直線上時，CP取最小值，此時由勾股定理得CE==5，CP=CE-PE=5-3=2.，故選擇B . 【解后反思】在動態(tài)問題中求兩點之間距離的最值問題，一般應先確定動點的活動規(guī)律，再運用相關知識求解，此類問題與圓結合的較多. 【關鍵詞】最值問題，圓的性質，勾股定理，動態(tài)問題 2. （ 2016江蘇省連云港市，7，3分）如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為、、；如圖2，分別以直角三角形三個頂點為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為、、．其中

3、，，，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【逐步提示】本題考查了勾股定理的應用，找出這些面積之間的關系是解題的關鍵．先根據等邊三角形的面積公式和扇形的面積公式，得出，，之間的關系以及，，之間的關系，最后可得出結論． 【詳細解答】解：設直角三角形的三邊長為a，b，c；則，，，∵，∴； 設圖2中的扇形的圓心角為，則，，，同樣得到，∴，故選擇C ． 【解后反思】由于等邊三角形的面積是與邊長的平方成正比例的，扇形在圓心角相同的情形下也是與半徑即邊長的平方成正比例的，而勾股定理又是與邊長的平方有關的，于是可得出以及之間的關系，從而使問題得以

4、解決． 【關鍵詞】勾股定理；等邊三角形的面積；扇形的面積；； 3. （2016江蘇省無錫市，10，3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，∠ABC＝30，AC＝2，△ABC繞點C順時針旋轉得△A1B1C，當A1落在AB邊上時，連接B1B，取BB1的中點D，連接A1D，則A1D的長度是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【逐步提示】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定及性質、勾股定理以及中位線等，解題的關鍵是構造出求A1D邊長所需的直角三角形，本題的思路是要求A1D的長度，過點D作DE⊥A1B，求出A1E和DE，利用勾股定理可求出A1D的長度

5、，可先證明△ACA1、△BCB1為等邊三角形，再利用中位線和等邊三角形的性質求出A1E和DE的長． 【詳細解答】解：∵∠C＝90，∠ABC＝30，AC＝2，∴∠A＝60，AB＝4， ∵CA＝CA1，∴△ACA1為等邊三角形，∴∠A1CA＝∠CA1B1＝60，AA1＝2， ∴A1B1∥AC，∴A1F是△ABC的中位線，即A1F＝AC＝1， ∵∠A1CB1＝∠ACB＝90，∴∠BCB1＝∠ACA1＝60， ∵CB＝CB1，∴△BCB1為等邊三角形，∵F為BC中點， ∴B1F為等邊△BCB1的高，∴B1F＝＝3， 過點D作DE⊥A1B，∵D為BB1的中點，DE∥BF，∴E為B1F的中點

6、， ∴EF＝1.5，DE＝BF＝， 在Rt△A1DE中，A1D＝＝，故選擇A . E F 【解后反思】本題解題思路，求“斜”線長，?？紤]構造直角三角形，本題有兩個中點，點A1和點D，與中點想中位線也是常用思路，總之本題綜合了好幾個知識點，平時多積累解題經驗特別重要． 【關鍵詞】勾股定理；等邊三角形的性質；中位線；旋轉；轉化思想；好題； 4. （2016江蘇省宿遷市，7，3分）如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE．若AB的長為2，則FM的長為（ ） A．2

7、 B． C． D．1 （第7題圖） 【答案】B 【逐步提示】根據翻折前后對應的線段相等，可以知道AB=BF，又M為BC中點，故BM=1，在直角△BMF中，利用勾股定理即可求出FM的長． 【詳細解答】 解：∵四邊形ABCD是正方形 ∴AB=BC=2 ∵M、N是一組對邊的中點 ∴ MN⊥BC，且BM=1 ∵△BEF是由△BEA翻折得到的， ∴AB=BF 在Rt△BFM中，FM=，故選擇B ． 【解后反思】折疊問題是屬于軸對稱變換，折疊后圖形的形

8、狀和大小不變，三角形折疊后得到的三角形與原三角形全等，對應邊和對應角相等。勾股定理是求線段長度的常用方法，當在一個直角三角形中知道關于邊的兩個條件，即可使用勾股定理求出直角三角形的各邊長，要熟練掌握． 【關鍵詞】 正方形的性質；翻折；勾股定理；； 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填

9、空題 1. （ 2016安徽，14，5分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10.點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處.有下列結論：①∠EBG=450；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=S△FGH；④AG+DF=FG.其中正確的是 （把所有正確結論的序號都選上） 【答案】①③④. 【逐步提示】由折疊得到相等的角和相等的線段，結合矩形的性質可求∠EBG的度數；在Rt△DEF和Rt△FGH中根據勾股定理建立方程分別求出DE,GH,FG的長，根據相似三角形的判定方法對②進行

10、判斷，根據三角形面積公式對③進行判斷.④可以根據各線段的長度直接進行判斷. 【詳細解答】解：由折疊知∠ABG=∠FBG,∠FBE=∠CBE,∴∠EBG=∠ABC=450,①正確；又BC=BF=10，由勾股定理求得AF==8，DF=2，設CE=EF=x,由勾股定理得x2=22+(6-x)2,x=,DE=;又AB=BH=6，HF=4，設AG=GH=y,由勾股定理y2+42=(8-y)2,y=3,GF=5，∵,∴△DEF與△ABG不相似，②錯誤；S△ABG=，S△FGH==6，故③正確；AG+DF=3+2=5=FG,④正確，故答案為①③④. 【解后反思】1.凡涉及到折疊的問題，我們都找到其中的相

11、等的角和相等的邊；2.在直角三角形中，根據勾股定理若能建立關于一個未知數的方程，那么這個直角三角形的三邊的長就可以分別求出來，這是我們解決直角三角形問題時常用的方法之一. 【關鍵詞】 折疊問題，勾股定理，相似三角形的判定，矩形的性質，三角形的面積 2. （ 2016甘肅省天水市，16，4分）如圖，把一個矩形紙片OABC放入平面直角坐標系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸上，連結OB，將紙片OABC沿OB翻折，點A落在A′位置，若OB＝，tan∠BOC＝，則A′的坐標為______． x O C B A A′ y 【答案】(－，)． 【逐步提示】本題是坐標系中的圖形折疊

12、問題，考查了坐標與圖形的性質，主要涉及軸對稱的性質，矩形的性質，等腰三角形的判定等知識以及勾股定理的靈活運用．解題的關鍵是過點A′作A′E⊥OC于點E，將問題轉化為求線段A′E和OE的長，然后根據第二象限的點的坐標特征得到點A′的坐標．其中最關鍵的是求線段A′E和OE的長．先根據OB＝，tan∠BOC＝，求出BC＝1，OC＝2．再設OC與A′B交于點F，由折疊及矩形的性質可證FO＝FB．然后設OF＝x，得FB＝x，CF＝2－x，進而在Rt△BCF中運用勾股定理構建方程求出x值，得到線段OF的長．最后，在Rt△OA′F中，結合A′E是斜邊OF上的高及折疊產生的OA′＝OA＝1，綜合運用勾定理及面

13、積的不同表示方法就可求得A′E和OE的長． 【詳細解答】解：如圖，過點A′作A′E⊥OC于點E，設OC與A′B交于點F． x O C B A A′ y E F ∵OB＝，tan∠BOC＝＝， ∴BC＝1，OC＝2． ∵四邊形OABC是矩形， ∴∠OAB＝90，AB∥OC，OA＝BC＝1． ∴∠OBA＝∠FOB． 由折疊，知∠OBA＝∠FBO， ∴∠FOB＝∠FBO． ∴FO＝FB． 設OF＝x，則FB＝x，CF＝OC－OF＝2－x． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC2＋CF2＝FB2， ∴12＋(2－x)2＝x2，解得x＝，∴OF＝． 又由折

14、疊，知OA′＝OA＝1，∠OA′F＝∠OAB＝90， ∴A′F＝＝＝． ∴S△OA′F＝OA′A′F＝OFA′E， ∴1＝A′E，解得A′E＝． 又在Rt△OA′E中，OE＝＝＝． ∴點A′的坐標是(－，)． 故答案為(－，)． 【解后反思】本題還可以從相似三角形的角度思考解決．如在求出OF＝BF＝后，可得CF＝OC－OF＝2－＝，然后通過證明△OA′E∽△BFC，產生相似比＝＝，得到＝＝，從而求出線段A′E和OE的長．這類沿著矩形對角線翻折的矩形折疊問題中，“等腰三角形△FOB”是一個基本圖形結構，必須熟識并掌握其證明方法． 【關鍵詞】矩形的性質；軸對稱變換；銳角三角函數的定

15、義；勾股定理；在坐標系中求解幾何圖形中點的坐標；方程思想；數形結合思想；面積法． 3. （ 2016湖北省十堰市，14，3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2cm,AD=4cm,AC⊥BC,則△DBC比△ABC的周長長__________cm. 【答案】4 【逐步提示】本題屬于平面幾何的計算題，主要涉及到平行四邊形的性質、勾股定理、三角形的周長等；解題的關鍵是△DBC比△ABC的周長長等于BD-AC;解題的思路是根據平行四邊形的性質和勾股定理，分別表示出△DBC的周長與△ABC的周長，找出BD-AC的值即可. 【詳細解答】解： 如圖，設AC與BD交于點F,因為AB=2cm

16、,AD=4cm,AC⊥BC，所以 AC=;因為平行四邊形ABCD中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=, BD=10;因為△DBC的周長=BD+BC+CD=10+AB,△ABC的周長=AB+BC+6,所以△DBC比△ABC的周長長4. F 【解后反思】平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分、勾股定理是初中數學中的重點，但是，求出△DBC比△ABC的周長長等于BD-AC，卻是一個難點，需要應用整體的數學思想進行處理.解法拓展：本題也可以過點D作DE⊥BC于E，用勾股定理計算后完成. 【關鍵詞】勾股定理; 平行四邊形的性質; 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

17、 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （ 2016甘肅省天水市，25，10分）（1）（3分）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結BE、CD，請你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BE＝CD； （2）（3分）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向

18、外作正方形ABFD和正方形ACGE，連結BE、CD，猜想BE與CD有什么數量關系？并說明理由； （3）（4分）運用（1），（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題： 如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B、E的距離，已經測得∠ABC＝45，∠CAE＝90，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的長（結果保留根號）． 圖1 圖2 圖3 【逐步提示】本題是一道幾何綜合問題，考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質，等邊三角形、等腰直角三角形以及正方形的性質，勾股定理．解題的關鍵是（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，即得圖形．再利

19、用“SAS”證得△CAD≌△EAB，即可利用全等三角形的對應邊相等證得BE＝CD．（2）猜想BE＝CD，證明方法和（1）相同．（3）“按圖索驥”，根據（1）、（2）的經驗，以AB為直角邊向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD＝90，則AD＝AB＝100米，∠ABD＝45，然后利用勾股定理先在Rt△ABD中求出BD的長，再在Rt△DBC中求出CD的長，即得BE的長． 【詳細解答】解：（1）完成作圖，如下圖所示． 證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60． ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB． ∴△C

20、AD≌△EAB． ∴CD＝EB，即BE＝CD． （2）BE＝CD．說理如下： ∵四邊形ABFD和ACGE都是正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90． ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB． ∴△CAD≌△EAB． ∴CD＝EB，即BE＝CD． （3）如圖，由（1）（2）的解題經驗可知，以AB為直角邊向△ABC外作等腰直角△ABD，∠BAD ＝90，則AD＝AB＝100米，∠ABD＝45， ∴BD＝100． 連接CD，則由（2）可得BE＝CD． A B D ∵∠ABC＝45， ∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝90．

21、 在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100， ∴CD＝＝＝100． ∴BE的長為100米． 【解后反思】運用構造法解幾何題時，可以根據題設條件或結論所具有的性質、特征，構造出滿足條件或結論的一個基本圖形生成新的結論，從而在條件與結論之間架起一座“橋”，把一個復雜問題的條件明朗化，使問題獲得簡捷明了的解答方法．（1）（2）這兩問的共性是圍繞等邊三角形和正方形能產生含有公共頂點的兩組相等的邊，并在這一頂點處通過角的和差計算得到新的相等的兩個角，具備“SAS”的全等三角形結構．求解第（3）問的難點是運用構造法在圖3中構造出該圖形結構．這對同學們的知識學習遷移的能力有較高要求．另外，尺規(guī)作

22、圖問題是近幾年中考熱點題型，需要同學們熟練掌握五種基本尺規(guī)作圖：1. 作一條線段等于已知線段．2. 作一個角等于已知角．3. 平分已知角．4. 作一條線段的垂直平分線．5. 經過直線外一點作這條直線的垂線． 【關鍵詞】等邊三角形；三角形全等的識別；全等三角形的性質；正方形的性質；勾股定理；畫線段；綜合法證明；學習型閱讀理解問題；構造法． 2. （ 2016湖南省益陽市，20，10分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積． 某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程． 根據勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型求出

23、x 作AD⊥BC于D，設BD = x，用含x的代數式表示CD 利用勾股定理求出AD的長，再計算三角形面積 【逐步提示】按學習小組給出了下面的解題思路進行解答． 【詳細解答】解：如圖，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13， 設，∴． 由勾股定理得：， ， ∴，解之得：．∴． ∴． 【解后反思】根據勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型是解答此題的關鍵． 【關鍵詞】勾股定理；方程模型 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.