山東省臨沂市中考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí) 專(zhuān)題19 圖形的變換

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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 圖形的變換 【近3年臨沂市中考試題】 1、（2014.臨沂.11分）【問(wèn)題情境】 如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM． 【探究展示】 （1）證明：AM=AD+MC； （2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【拓展延伸】 （3）若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明． 2．（2015臨沂市.25.11分）如圖1，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)

2、等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE （1）請(qǐng)判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ； （2）如圖2，若將條件“兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF”變成“兩個(gè)等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD＝FC”,第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明； （3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，第（1）問(wèn)中的結(jié)論都能成立嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷. 3．(2016臨沂.25.)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE=BF．連接DE，過(guò)點(diǎn)E作

3、EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C． （1）請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是　　，位置關(guān)系是　??； （2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明； （3）如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷． 【知識(shí)點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；根的判別式旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)； 【規(guī)律方法】1.幾何證明或計(jì)算問(wèn)題，都需要進(jìn)行推理，在利用原來(lái)圖形難以解決問(wèn)題時(shí)，可以考慮添加輔助線輔助解決． 2.

4、動(dòng)態(tài)性問(wèn)題，第一問(wèn)解題方法對(duì)第二問(wèn)解題有方法上的引導(dǎo)，也體現(xiàn)“形變結(jié)論不變”，當(dāng)然這一問(wèn)中作輔助線的構(gòu)造也尤為重要． 3.解決此類(lèi)問(wèn)題,首先要明確“易證”是通過(guò)什么樣的證明方法得到的，然后以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，用相同的方法去探求條件改變后問(wèn)題的結(jié)論. 4.把第一問(wèn)中的重要信息和解法應(yīng)用到后續(xù)問(wèn)題中，是解動(dòng)態(tài)幾何題的常規(guī)思路；靜態(tài)機(jī)構(gòu)（即線元素的數(shù)量關(guān)系）中，那些方向改變的線元素，其符號(hào)也隨之改變， 【中考集錦】 1. （2016遼寧大連第11題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若∠CAE=90，AB=1，則BD=　　　　　?。? 2. （2016湖南常

5、德第15題）如圖，把平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，這時(shí)點(diǎn)D落在D1，折痕為EF，若∠BAE=55，則∠D1AD=　　　　　?。? 3. （2016年福建龍巖第24題）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC． （1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時(shí)，有DB　　　　　　EC．（填“＞”，“＜”或“=”） （2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜180）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）拓展運(yùn)用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ACB=90，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．

6、4.（2016湖北隨州第16題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0＜θ＜90），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中正確的是　　　　　?。? （1）EF=OE；（2）S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE=；（5）OG?BD=AE2+CF2． 5.（2016遼寧沈陽(yáng)第24題）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，將△A

7、BC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜180），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接BD，BE． （1）如圖，當(dāng)α=60時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F． ①求證：△ABD是等邊三角形； ②求證：BF⊥AD，AF=DF； ③請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)； （2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于直線AB，垂足為點(diǎn)G，連接CE，當(dāng)∠DAG=∠ACB，且線段DG與線段AE無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE+CE的值． 溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答． 6. (2016山東濰坊第24題)如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥A

8、B于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F． （1）如圖1，連接AC分別交DE、DF于點(diǎn)M、N，求證：MN=AC； （2）如圖2，將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點(diǎn)G、P，連接GP，當(dāng)△DGP的面積等于3時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向． 7. （2016內(nèi)蒙古包頭第25題）如圖，已知一個(gè)直角三角形紙片ACB，其中∠ACB=90，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接EF． （1）圖①，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S四邊形ECBF=3S△EDF，求AE的長(zhǎng)； （2）如圖②，若將紙片ACB的一角沿

9、EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF∥CA． ①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論； ②求EF的長(zhǎng)； （3）如圖③，若FE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，CN=1，CE=，求的值． 【特別提醒】 1．一般情況下，在題型中出現(xiàn)正方形，等腰三角形和等邊三角形時(shí)，注意全等的多種判定方法；證明角相等的方法比較多，應(yīng)根據(jù)題中信息選擇合適、簡(jiǎn)捷的方法進(jìn)行. 2．幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題中各種圖形雖然形式不一，但運(yùn)用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，得到線段之間的關(guān)系。 答案 1．（2014年） 考點(diǎn)：

10、 四邊形綜合題；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)； 專(zhuān)題： 綜合題；探究型． 分析： （1）從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā)，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可． （2）作FA⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證AM=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可． （3）在圖2（1）中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖2（2）中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立． 解答： （1）證明：延長(zhǎng)AE、BC

11、交于點(diǎn)N，如圖1（1）， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠ENC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠ENC=∠MAE． ∴MA=MN． 在△ADE和△NCE中， ∴△ADE≌△NCE（AAS）． ∴AD=NC． ∴MA=MN=NC+MC =AD+MC． （2）AM=DE+BM成立． 證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖1（2）所示． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90，AB=AD，AB∥DC． ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90． ∴∠FAB=90﹣∠BAE=∠

12、DAE． 在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△ADE（ASA）． ∴BF=DE，∠F=∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠FAB =∠FAM． ∴∠F=∠FAM． ∴AM=FM． ∴AM=FB+BM=DE+BM． （3）①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立． 證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P，如圖2（1）， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠EPC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠EPC=∠MAE． ∴M

13、A=MP． 在△ADE和△PCE中， ∴△ADE≌△PCE（AAS）． ∴AD=PC． ∴MA=MP=PC+MC =AD+MC． ②結(jié)論AM=DE+BM不成立． 證明：假設(shè)AM=DE+BM成立． 過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AE，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，如圖2（2）所示． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠D=∠ABC=90，AB∥DC． ∵AQ⊥AE， ∴∠QAE=90． ∴∠QAB=90﹣∠BAE=∠DAE． ∴∠Q=90﹣∠QAB =90﹣∠DAE =∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠QAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠

14、BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠QAB =∠QAM． ∴∠Q=∠QAM． ∴AM=QM． ∴AM=QB+BM． ∵AM=DE+BM， ∴QB=DE． 在△ABQ和△ADE中， ∴△ABQ≌△ADE（AAS）． ∴AB=AD． 與條件“AB≠AD“矛盾，故假設(shè)不成立． ∴AM=DE+BM不成立． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，考查了基本模型的構(gòu)造（平行加中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形），考查了反證法的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)．添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決這道題的關(guān)鍵． 2.（201

15、5） 【考點(diǎn)解剖】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰（等邊）三角形的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直的概念等，解題的關(guān)鍵是選擇合適的定理判定三角形全等，并根據(jù)全等三角形找出相等的對(duì)應(yīng)角.． 【解答過(guò)程】解：（1）AF＝BE，AF⊥BE. 因?yàn)椤鰽DE和△DCF都是等邊三角形，∴AD＝DE＝AE，CD＝DF＝FC，∠DAE＝∠CDF＝60.又ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝Rt∠.∴AB＝AD，AE＝DF，∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝150＝∠ADC＋∠CDF＝∠ADF，∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE.∵△BAE≌△ADF可知∠FAD＝∠EBA，而∠FAD＋∠BAF＝

16、∠BAD＝90，∴∠EBA＋∠BAF＝90，∴AF⊥BE. （2）第（1）問(wèn)中的判斷仍然成立. 由EA＝ED＝FD＝FC和AD＝CD可知△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90＋∠DAE＝90＋∠CDF＝∠ADC＋∠DAE＝∠ADF.在△BAE和△ADF中，AB＝AD，AE＝DF，∠BAE＝∠ADF，∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE.由于△BAE≌△ADF，∴∠FAD＝∠EBA，而∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90，∴∠EBA＋∠BAF＝90，∴AF⊥BE. （3）第（1）問(wèn)中結(jié)論都能成立.如圖所示， ∵AE＝DF，ED＝FC，AB＝AD

17、，∴△ADE≌△DCF.其余證明和（2）一樣. 【易錯(cuò)點(diǎn)津】此類(lèi)問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方一是對(duì)正方形性質(zhì)、正三角形、等腰三角形性質(zhì)不了解，從而找不到對(duì)應(yīng)的邊相等；二是觀察圖形不夠仔細(xì)，沒(méi)有將所證明的線段AF和BE放到兩個(gè)三角形中去考慮. 【思維模式】這類(lèi)稍微改變條件，問(wèn)同一結(jié)論是否依然成立的問(wèn)題，幾個(gè)問(wèn)題之間的思路往往一脈相承，其中體現(xiàn)了從特殊到一般的思維方法.第（1）問(wèn)中的三角形為等邊三角形，有相等的都是60的內(nèi)角，因此在第（2）問(wèn)中，自然就會(huì)想到，利用已知條件仍然構(gòu)造相等的∠BAE和∠ADF. 3. （2016年）【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（1）只要證明四邊形CDGF是平行四邊形即

18、可得出FG=CE，F(xiàn)G∥CE； （2）構(gòu)造輔助線后證明△HGE≌△CED，利用對(duì)應(yīng)邊相等求證四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出FG=C，F(xiàn)G∥CE； （3）證明△CBF≌△DCE后，即可證明四邊形CEGF是平行四邊形． 【解答】解：（1）FG=CE，F(xiàn)G∥CE； （2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H， ∵EG⊥DE， ∴∠GEH+∠DEC=90， ∵∠GEH+∠HGE=90， ∴∠DEC=∠HGE， 在△HGE與△CED中， ， ∴△HGE≌△CED（AAS）， ∴GH=CE，HE=CD， ∵CE=BF， ∴GH=BF， ∵GH∥BF， ∴四邊形GH

19、BF是矩形， ∴GF=BH，F(xiàn)G∥CH ∴FG∥CE ∵四邊形ABCD是正方形， ∴CD=BC， ∴HE=BC ∴HE+EB=BC+EB ∴BH=EC ∴FG=EC （3）∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90， 在△CBF與△DCE中， ， ∴△CBF≌△DCE（SAS）， ∴∠BCF=∠CDE，CF=DE， ∵EG=DE， ∴CF=EG， ∵DE⊥EG ∴∠DEC+∠CEG=90 ∵∠CDE+∠DEC=90 ∴∠CDE=∠CEG， ∴∠BCF=∠CEG， ∴CF∥EG， ∴四邊形CEGF平行四邊形， ∴FG∥CE，

20、FG=CE． 【點(diǎn)評(píng)】本題三角形與四邊形綜合問(wèn)題，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形． 【中考集錦】 1. 【解答過(guò)程】【答案】． 【解析】試題分析：已知將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90，再根據(jù)勾股定理即可求得BD=． 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理. 2. 【解答過(guò)程】【答案】55． 考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；折疊的性質(zhì). 3.【答案】（1）=；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）135. 4.

21、 【解答過(guò)程】【答案】（1），（2），（3），（5）． 考點(diǎn)：四邊形綜合題． 5. 【解答過(guò)程】 【答案】(1)①②詳見(jiàn)解析；③3﹣4；（2）13． （2）如圖所示， ∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC， ∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180， 又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180， ∴∠BAE=∠ABC， ∵AC=BC=AE， ∴∠BAC=∠ABC， ∴∠BAE=∠BAC， ∴AB⊥CE，且CH=HE=CE， ∵AC=BC， ∴AH=BH=AB=3， 則CE=2CH=8，BE=5， ∴BE+CE=

22、13． 6.【解答過(guò)程】：【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）將△EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60時(shí)，△DGP的面積等于3． 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 7.【解答過(guò)程】【答案】（1）；（2）①四邊形AEMF為菱形，理由詳見(jiàn)解析；②；（3）． （2）①四邊形AEMF為菱形．理由如下： 如圖②，∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處， ∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE， ∵M(jìn)F∥AC， ∴∠AEF=∠MFE， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∴AE=EM=MF=AF， ∴四邊形AEMF為菱形； ②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖②， 設(shè)AE=x，則EM=x，CE=4﹣x， ∵四邊形AEMF為菱形， ∴EM∥AB， ∴△CME∽△CBA， ∴==，即==，解得x=，CM=， 在Rt△ACM中，AM===， 考點(diǎn)：三角形綜合題.