《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切突破熱點題型》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切突破熱點題型（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
考點一
三角函數(shù)的化簡求值
[例1] (1)(2013重慶高考)4cos 50－tan 40＝( )
A. B.
C. D．2－1
(2)化簡：(0＜θ＜π)．
[自主解答] (1)4cos 50－tan 40＝4sin 40－
＝
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝.
因為0＜θ＜π，所以0＜＜，
所以cos＞0，故原式＝－cos θ.
[答案] (1)C
【方法規(guī)律】
1．三角函數(shù)式化簡的原則
三角函數(shù)式的化簡要遵循“三
2、看”原則，即一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．
2．解決給角求值問題的基本思路
對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有：
(1)化為特殊角的三角函數(shù)值；
(2)化為正、負相消的項，消去求值；
(3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值．
化簡：
(1)sin 50(1＋tan 10)；
(2).
解：(1)sin 50(1＋tan 10)＝sin 50(1＋tan 60tan 10)
＝sin 50
＝sin 50[來源:]
＝
＝＝＝1.[來源:]
(2)原式＝
＝＝
＝＝cos 2x.
[來源:]
考點二[來源:]
3、三角函數(shù)的條件求值
[例2] (1)(2013浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
(2)(2013廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝cos，x∈R.
①求f的值；
②若cos θ＝，θ∈，求f.
[自主解答] (1)法一：(直接法)兩邊平方，再同時除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝，得tan 2α＝－.
法二：(猜想法)由給出的數(shù)據(jù)及選項的唯一性，記sin α＝，cos α＝，這時s
4、in α＋2cos α＝符合要求，此時tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.
(2)①f＝cos＝cos＝
cos ＝1.
②f＝ cos＝cos＝cos 2θ－sin 2θ.
因為cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－.
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.
所以f＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.
[答案] (1)C
【互動探究】
保持本例(2)②條件不變，求f的值．
解：因為θ∈，cos θ＝，
所以sin θ＝－＝－ ＝－.
所以f＝cos＝cos
＝
＝cos θ＋sin θ＝－＝－.
5、
【方法規(guī)律】
三角函數(shù)求值的兩種類型
(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．
(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異．
①一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；
②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的．
1．(2013新課標全國卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos θ＝________.
解析：法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－.
法二：如果將tan＝利用兩角和的正切公式展開，則＝，
6、求得tan θ＝－.又因為θ在第二象限，則sin θ＝，cos θ＝－，從而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
解：∵0＜β＜＜α＜π，
∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝＋
＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1
＝2－1＝－.
高頻考點
考點三 三角變換的綜合應(yīng)用
1．三角恒等變換是三角函數(shù)化簡、求值、證明的主要依據(jù)．高考常與三角函數(shù)的其他知識相結(jié)合命題，題目難度適中，為中檔題
7、．
2．高考對三角恒等變換綜合問題的考查常有以下幾個命題角度：
(1)與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合命題；
(2)與向量相結(jié)合命題；
(3)與解三角形相結(jié)合命題(見本章第六節(jié))．
[例3] (1)(2013天津高考)已知函數(shù)f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.
①求f(x)的最小正周期；
②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．
(2)(2013遼寧高考)設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
①若|a|＝|b|，求x的值；
②設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值．
[自主解答] (1)①f(x)＝－
8、sin 2xcos－cos 2xsin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
②因為f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)，又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函數(shù)f(x)在上的最大值為2，最小值為－2.
(2)①由|a|2＝(sin x)2＋sin2x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，從而sin x＝，
所以x＝.
②f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
當x＝∈時，sin取最
9、大值1.
所以f(x)的最大值為.
三角恒等變換綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
(1)與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題．借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析式整理為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函數(shù)圖象解決．
(2)與向量相結(jié)合的綜合問題．此類問題通常是先利用向量的運算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后再利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等問題解決．
1．已知平面向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，R是實數(shù)集，f(x)＝ab＋4cos2x＋2sin xcos x，如果存在m∈R，任意的x∈R，f(x)≥f(m)，那
10、么f(m)＝( )
A．2＋2 B．3 C．0 D．2－2
解析：選C 依題意得f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋sin 2x＝sin2x＋3cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋2＝2sin＋2，因此函數(shù)f(x)的最小值是－2＋2＝0，即有f(m)＝0.
2．已知x0，x0＋是函數(shù)f(x)＝cos2－sin2ωx(ω＞0)的兩個相鄰的零點．
(1)求f的值；
(2)若對?x∈，都有|f(x)－m|≤1，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)f(x)＝－
＝
＝
＝
＝
＝sin.
由題意可知，f(x)
11、的最小正周期T＝π，∴＝π，
又∵ω＞0，∴ω＝1，∴f(x)＝sin.
∴f＝sin＝sin＝.
(2)|f(x)－m|≤1，即f(x)－1≤m≤f(x)＋1，
∵對?x∈，都有|f(x)－m|≤1，
∴m≥f(x)max－1且m≤f(x)min＋1，
∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，
∴－1≤sin≤，
∴－≤sin≤，即f(x)max＝，f(x)min＝－，
∴－≤m≤1－.
故實數(shù)m的取值范圍為.
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1組關(guān)系——兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與倍角 公式的關(guān)系
2個技巧——
12、拼角、湊角的技巧
(1)用已知角表示未知角
2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；
α＝＋，β＝－；
＝－等．
(2)互余與互補關(guān)系
＋＝；
＋＝；
＋＝π；
＋＝π； …
3個變換——應(yīng)用公式解決問題的三個變換角度
(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”．
(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等．
(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
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