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第二節(jié) 排列與組合
考點一
排 列 問 題
[例1] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)：
(1)選其中5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體站成一排，男、女各站在一起；
(4)全體站成一排，男生不能站在一起；
(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾．
[自主解答] (1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有A＝2 520種排法．
(2)前排3人，后排4人，相當于排成一排，共有A＝5 040種排法．
(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的
2、全排列，有A種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有A種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有A種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理， 共有A·A·A＝288種排法．
(4)不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有A種排法，男生在4個女生隔成的5個空中安排共有A種排法，故共有A·A＝1 440種排法．
(5)先安排甲，從除去排頭和排尾的5個位中安排甲，有A＝5種排法；再安排其他人，有A＝720種排法．所以共有A·A＝3 600種排法．
【互動探究】[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少種排法？
解：(捆綁法)即把所有男生視為
3、一個元素，與4名女生組成5個元素全排列，故有A·A＝720種排法．
【方法規(guī)律】
1．解決排列問題的主要方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
捆綁法
相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看成一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中
除法法
定序問題除法處理的方法，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列
2．解決排列類應(yīng)用題的策略
(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．
(2)分排問題直排法處理．
4、
(3)“小集團”排列問題中先集中后局部的處理方法．
[來源:]
1．(2012·遼寧高考)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為( )
A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!
解析：選C 把一家三口看成一個排列，然后再排列這3家，所以滿足題意的坐法種數(shù)為A(A)3＝(3！)4.
2．(2014·南充模擬)將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有( )
A．30種 B．90種 C．180種
5、D．270種
解析：選B 選分組，再排列．分組方法共有，因此共有·A＝90.
考點二
組 合 問 題
[例2] (1)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法的種數(shù)是( )
A．60 B．63 C．65 D．66
(2)(2013·重慶高考)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．
[自主解答] (1)因為從1,2,3，…，9中共有4個不同的偶數(shù)和5個不同
6、的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則4個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個奇數(shù)和2個偶數(shù)，故有C＋C＋CC＝66種不同的取法．
(2)按每科選派人數(shù)分為3,1,1和2,2,1兩類．
當選派人數(shù)為3,1,1時，有3類，共有CCC＋CCC＋CCC＝200種選派方法．
當選派人數(shù)為2,2,1時，有3類，共有CCC＋CCC＋CCC＝390種選派方法．
故共有590種選派方法．
[答案] (1)D (2)590
【方法規(guī)律】
1．解決組合應(yīng)用題的一般思路
首先整體分類，要注意分類時，不重復(fù)不遺漏，用到分類加法計數(shù)原理；然后局部分步，用到分步乘法計數(shù)原理．
2．組合問題的常見題型及解題思路
常見題型有
7、選派問題，抽樣問題，圖形問題，集合問題，分組問題．解答組合應(yīng)用題時，要在仔細審題的基礎(chǔ)上，分清問題是否為組合問題，對較復(fù)雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”解決，將復(fù)雜問題通過兩個原理化歸為簡單問題．
3．含有附加條件的組合問題的常用方法
通常用直接法或間接法，應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解，對于涉及“至少”“至多”等詞的組合問題，既可考慮反面情形即間接求解，也可以分類研究進行直接求解．
1．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法的種數(shù)為( )
A．30 B．35 C．42
8、 D．48
解析：選A 法一：分兩種情況：(1)2門A,1門B，有CC＝12種選法；(2)1門A,2門B，有CC＝3×6＝18種選法．所以共有12＋18＝30種選法．
法二：排除法：A類3門，B類4門，共7門，選3門，A，B各至少選1門，有C－C－C＝35－1－4＝30種選法．[來源:]
2．兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)種數(shù)為( )
A．10 B．15 C．20 D．30
解析：選C 分三種情況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸
9、1局，第4局贏)，共有2C＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C＝12種情形．所有可能出現(xiàn)的情形種數(shù)為2＋6＋12＝20.
高頻考點
考點三 排列與組合的綜合應(yīng)用
1．排列與組合是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題．
2．高考對排列與組合綜合應(yīng)用題的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)相鄰問題；
(2)相間問題；
(3)特殊元素(位置)問題；
(4)多元問題等．
[例3] (1)(2013·煙臺模擬)有4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的紅
10、色卡片和4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有______種(用數(shù)字作答)．
(2)(2014·西安模擬)某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方法共有________種(用數(shù)字作答)．
[自主解答] (1)取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10，共有三種情況：1144,2233,1234.
所取卡片是1144的共有A種排法．所取卡片是2233的共有A種排法．
所取
11、卡片是1234，則其中卡片顏色可為無紅色，1張紅色，2張紅色，3張紅色，全是紅色，共有A＋CA＋CA＋CA＋A＝16A種排法，
所以共有18A＝18×4×3×2×1＝432種排法．
(2)甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有A種方法．
乙傳第一棒，甲傳最后一棒，共有A種方法．
丙傳第一棒，共有C·A種方法．
由分類加法計數(shù)原理得，共有A＋A＋C·A＝96種方法．
[答案] (1)432 (2)96
排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略
(1)相鄰問題捆綁法．在特定條件下，將幾個相關(guān)元素視為一個元素來考慮，待整個問題排好
12、之后，再考慮它們“內(nèi)部”的排列．
(2)相間問題插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當中，它與捆綁法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法．優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
(4)多元問題分類法．將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計數(shù)原理求出排列總數(shù)．
1．8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為( )
A．AA B．AC C．AA D．AC
解析：選A 相間問題用插空法，8名學(xué)生先排，有A種排法，產(chǎn)生9個空，2位老師插空，有A種排法，所以最
13、終有AA種排法．
2．3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為( )
A．360 B．288 C．216 D．96
解析：選B 先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則有C·A·A·A種排法，再從中排除甲站兩端的排法，所以所求排法種數(shù)為C·A·A·A－2C·A·A·A＝6×(6×12－24)＝288.
3．將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有
14、________種(用數(shù)字作答)．
解析：選出兩人看成一個整體，再全排列．共有C·A＝36種分配方案．
答案：36
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————
1個識別——排列問題與組合問題的識別方法
識別方法
排列
若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)
組合
若交換某兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關(guān)
3個注意點——求解排列與組合問題的三個注意點
(1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，再利用兩個原理作最后處理．
(2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)和間接法(排除法)來解決．分類標準應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏．
(3)對于選擇題要謹慎處理，注意等價答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析選項，錯誤的答案都有重復(fù)或遺漏的問題．
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第十章 ：第二節(jié)排列與組合突破熱點題型
