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第二節(jié) 排列與組合
【考綱下載】
1．理解排列組合的概念．
2．能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．
3．能利用排列組合知識解決簡單的實際問題．
1．排列與組合的概念
名稱
定義
排列
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素[來源:]
按照一定的順序排成一列[來源:]
組合[來源:]
合成一組
2．排列數(shù)與組合數(shù)的概念
名稱
定義
排列數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同
排列的個數(shù)
組合數(shù)
組合的個數(shù)
3.排列數(shù)與組合數(shù)公式
(1)排列數(shù)公式
①A＝n(n－1)…(n－m
2、＋1)＝；
②A＝n！.
(2)組合數(shù)公式
C＝＝＝.
4．組合數(shù)的性質
(1)C＝C_；
(2)C＋C＝C.
1．排列與排列數(shù)有什么區(qū)別？
提示：排列與排列數(shù)是兩個不同的概念，排列是一個具體的排法，不是數(shù)，而排列數(shù)是所有排列的個數(shù)，是一個正整數(shù)．
2．如何區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題？
提示：看選出的元素與順序是否有關，若與順序有關，則是排列問題，若與順序無關，則是組合問題．
1．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案的種數(shù)是( )
A．12 B．10
3、 C．9 D．8
解析：選A 先安排1名教師和2名學生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學生安排到乙地，共有CC＝12種安排方案．
2．用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為 ( )
A．8 B．24 C．48 D．120
解析：選C 先排個位共有C種方法，再排其余3位．則有A種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的四位偶數(shù)的個數(shù)為CA＝48.
3．將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法的種數(shù)是( )
A．12 B．18 C．24
4、D．36
解析：選A 先排第一列，共有A種方法，再排第二列第一行共有C種方法，第二列第二行，第三列第二行各有1種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有AC11＝12種排列方法．
4．將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有1個小球，且每個盒子中的小球個數(shù)都不同，則共有________種不同放法．
解析：對這3個盒子中所放的小球的個數(shù)情況進行分類計數(shù)：第1類，這3個盒子中所放的小球的個數(shù)分別是1,2,6，此類有A＝6種放法；第2類，這3個盒子中所放的小球的個數(shù)分別是1,3,5，此類有A＝6種放法；第3類，這3個盒子中所放的小球的個數(shù)分別是2,3,4，此類有A＝6種放法．因此共有6
5、＋6＋6＝18種滿足題意的放法．
答案：18
5. 如圖M，N，P，Q為海上四個小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個小島連接起來，則共有________種不同的建橋方法.
解析：M，N，P，Q兩兩之間共有6條線段(橋抽象為線段)，任取3條有C＝20種方法，其中不合題意的有4種方法．則共有20－4＝16種不同的建橋方法．
答案：16
易誤警示(十二)
排列與組合中的易錯問題
[典例] 將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．
[解題指導] 將6名教師分到3所中學，相當于將6名教師分成3組，相當于3個不同元素．
[解析] 將
6、6名教師分組，分三步完成：
第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法；
第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法；
第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CCC＝60種取法．
再將這3組教師分配到3所中學，有A＝6種分法，
故共有606＝360種不同的分法．
[答案] 360
[名師點評] 1.如果審題不仔細，極易認為有CCC＝60種分法．因為本題中并沒有明確指出哪一所學校1名、2名、3名．
2．解決排列與組合應用題應重點注意以下幾點：
(1)首先要分清楚是排列問題還是組合問題，不能將兩者混淆．
(2)在解決問題時，一定要注意方法的明確性，不能造成重復計數(shù)．
(3)分類討論時，要注意分類標準的確定，應做到不重不漏．
在小語種提前招生考試中，某學校獲得5個推薦名額，其中俄語2名，日語2名，西班牙語1名，并且日語和俄語都要求必須有男生參加．學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法的種數(shù)為( )
A．20 B．22 C．24 D．36
解析：選C 3個男生每個語種各推薦1個，共有AA種推薦方法；將3個男生分為兩組，其中一組2個人，則共有CAA種推薦方法．所以共有AA＋CAA＝24種不同的推薦方法．
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高考數(shù)學復習：第十章 ：第二節(jié)排列與組合回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
