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第7章 立體幾何
第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖
考點(diǎn)一 柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1．（2013北京，5分）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為對(duì)角線 BD1的三等分點(diǎn)，則P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有( )
A．3個(gè) B．4個(gè)
C．5個(gè) D．6個(gè)
解析：本題主要考查空間幾何體及三角形中的邊角關(guān)系，意在考查考生的空間想象能力和空間構(gòu)造能力．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．
在Rt△D1DB中，點(diǎn)P到點(diǎn)D1，D，B的距離均不相等，在Rt△D1CB中，點(diǎn)P到
2、點(diǎn)C的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)D1，D，B的距離均不相等，在Rt△D1A1B中，點(diǎn)P到點(diǎn)A1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離相等，在Rt△D1C1B中，點(diǎn)P到點(diǎn)C1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離相等，在Rt△D1B1B中，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等，在Rt△D1AB中，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等，故選B.
答案：B
2．（2011廣東，5分）正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有( )
A．20 B．15
C．12 D．10
解析：如圖，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，從頂點(diǎn)A出發(fā)的對(duì)角線有兩
3、條：AC1、AD1，同理從B、C、D、E點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線也有兩條，共25＝10條．
答案：D
考點(diǎn)二 三視圖與直觀圖
1．（2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
解析：本題考查空間組合體的三視圖及組合體的體積計(jì)算，意在考查考生的識(shí)圖能力、空間想象能力以及計(jì)算能力．先根據(jù)三視圖判斷出組合體的結(jié)構(gòu)特征，再根據(jù)幾何體的體積公式進(jìn)行計(jì)算．根據(jù)三視圖可以判斷該幾何體由上、下兩部分組成，其中上面部分為長(zhǎng)方體，下面部分為半個(gè)圓柱，所以組合體的體積為224＋π2
4、24＝16＋8π，選擇A.
答案：A
2.（2013山東，5分）一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖所示，則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是( )
A．4，8 B．4，
C．4(＋1)， D．8,8
解析：本題主要考查三視圖的應(yīng)用，考查空間想象能力和運(yùn)算能力．由題意可知該四棱錐為正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為2，高為2，側(cè)面上的斜高為＝，所以S側(cè)＝4＝4，V＝222＝.
答案：B
3．（2013浙江，5分）已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A．108 cm3
B．100 cm3
C．92 cm3
D．84 cm3
5、解析：本題主要考查考生對(duì)三視圖與幾何體的相互轉(zhuǎn)化的掌握情況，同時(shí)考查空間想象能力．根據(jù)幾何體的三視圖可知，所求幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐，∴幾何體的體積V＝663－443＝100 cm3.
答案：B
4．（2013湖南，5分）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于( )
A. B．1
C. D.
解析：本題主要考查三視圖與圖形面積的計(jì)算，意在考查考生處理問題的能力．由已知，正方體的正視圖與側(cè)視圖都是長(zhǎng)為，寬為1的矩形，所以正視圖的面積等于側(cè)視圖的面積，為.
答案：D
5．（2013四川，5分）一
6、個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是( )
A．棱柱 B．棱臺(tái)
C．圓柱 D．圓臺(tái)
解析：本題主要考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力．由俯視圖可排除A，B，由正視圖可排除C，選D.
答案：D
6．（2013北京，5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為________．
解析：本題主要考查三視圖的相關(guān)知識(shí)及錐體的體積公式，意在考查考生的運(yùn)算求解能力，空間想象能力及推理論證能力，解題時(shí)先由三視圖得到直觀圖，再進(jìn)行求解．
由三視圖可知直觀圖是一個(gè)底面為邊長(zhǎng)等于3的正方形，高為1的四棱錐，由棱錐的體積公式得V四棱錐＝321＝3.
答案：
7、3
7．（2013陜西，5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為________．
解析：本題主要考查三視圖和空間幾何體之間的關(guān)系，涉及面積的計(jì)算方法．由三視圖，易知原幾何體是個(gè)半球，其半徑為1，S＝π12＋4π12＝3π.
答案：3π
8．(2012新課標(biāo)全國(guó),5分)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為( )
A．6 B．9
C．12 D．18
解析：由三視圖可知該幾何體為底面是斜邊為6的等腰直角三角形，高為3的三棱錐，其體積為633＝9.
答案：B
9．（2012廣東，5分）某幾何體的三視
8、圖如圖所示，它的體積為( )
A．72π B．48π
C．30π D．24π
解析：此組合體由半個(gè)球體與一個(gè)圓錐組成，其體積V＝π33＋π32＝30π.
答案：C
10．（2012江西，5分）若一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，則此幾何體的體積為( )
A. B．5
C. D．4
解析：由三視圖可知，所求幾何體是一個(gè)底面為六邊形，高為1的直棱柱，因此只需求出底面積即可．由俯視圖和主觀圖可知，底面面積為12＋2＝4，所以該幾何體的體積為41＝4.
答案：D
11．（2011浙江，5分）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( )
9、 A． B． C． D.
解析：根據(jù)正視圖與俯視圖，我們可以將選項(xiàng)A、C排除，根據(jù)側(cè)視圖，可以將D排除．
答案：B
12．（2011北京，5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四
棱錐的表面積是( )
A．32 B．16＋16
C．48 D．16＋32
解析：該空間幾何體是底面邊長(zhǎng)為4、高為2的正四棱錐，這個(gè)四棱錐的斜高為2，故其表面積是44＋442＝16＋16.
答案：B
13.（2011江西，5分）將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為( )
解析：被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為長(zhǎng)方體的面
10、對(duì)角線，它們?cè)谟覀?cè)面上的投影與右側(cè)面(長(zhǎng)方形)的兩條邊重合，另一條為體對(duì)角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合，對(duì)照各圖．
答案：D
14．（2010廣東，5分）如圖，△ABC為正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，則多面體ABC－A′B′C′的正視圖(也稱主視圖)是( )
解析：由題知AA′
11、3
解析：該空間幾何體上半部分是底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為2的正四棱柱，其體積為442＝32(cm 3)．下半部分是上、下底面邊長(zhǎng)分別為4、8，高為2的正四棱臺(tái)，其體積為(16＋48＋64)2＝(cm3)．故其總體積為32＋＝(cm3)．
答案：B
16．(2009山東,5分)一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
解析：由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面直徑和高都是2的圓柱和一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱錐疊放而成．故該幾何體的體積為
V＝π122＋()2＝2π＋，
12、故選C.
答案：C
17．（2012安徽，5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于________．
解析：根據(jù)該幾何體的三視圖可得其直觀圖如圖所示，是底面為直角梯形的直四棱柱，且側(cè)棱AA1＝4，底面直角梯形的兩底邊AB＝2，CD＝5，梯形的高AD＝4，故該幾何體的體積V＝4(4)＝56.
答案：56
18．（2012天津，5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________ m3.
解析：由三視圖可以看出此幾何體由兩個(gè)棱柱組成，其底面分別為矩形和直角梯形，兩個(gè)棱柱的高都為4，底面積分別為23＝6和(1＋2)12＝1.5，所以此幾何體
13、的體積為64＋1.54＝24＋6＝30.
答案：30
19．（2012湖北，5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．
解析：由三視圖可知，該幾何體是由三個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體，其中兩邊圓柱的底面直徑是4，高為1，中間圓柱的底面直徑為2，高為4，所以該組合體的體積為2π221＋π124＝12π.
答案：12π
20．（2011天津，5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，
則該幾何體的體積為________m3.
解析：由三視圖可知，此幾何體的上面是正四棱柱，其長(zhǎng)，寬，高分別是2,1,1，此幾何體的下面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)，寬，高分別是2,1,1
14、，因此該幾何體的體積V＝211＋211＝4(m3)．
答案：4
21．（2010新課標(biāo)全國(guó)，5分）一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________．(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))
①三棱錐 ②四棱錐?、廴庵?
④四棱柱 ⑤圓錐?、迗A柱
解析：三棱錐、四棱錐和圓錐的正視圖都是三角形，當(dāng)三棱柱的一個(gè)側(cè)面平行于水平面，底面對(duì)著觀察者時(shí)其正視圖是三角形，其余的正視圖均不是三角形．
答案：①②③⑤
22．(2009浙江,4分)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是________cm3.
解析：由三視圖可知此幾何體是由兩塊長(zhǎng)、寬均為3 cm，高為1 cm的長(zhǎng)方體構(gòu)成，故其體積為2(331)＝18(cm3)．
答案：18
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