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第3講 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存 在量詞
一、選擇題
1. 已知命題p:存在n∈N,2n>1 000,則非p為( )
A.任意n∈N,2n≤1 000 B.任意n∈N,2n>1 000
C.存在n∈N,2n≤1 000 D.存在n∈N,2n<1 000
解析 特稱命題的否定是全稱命題,即p:存在x∈M,p(x),則非p:任意x∈M,非p(x).
答案 A
2. ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是( ).
A.0<a≤1
2、 B.a(chǎn)<1
C.a(chǎn)≤1 D.0<a≤1或a<0
解析 (篩選法)當a=0時,原方程有一個負的實根,可以排除A、D;當a=1時,原方程有兩個相等的負實根,可以排除B,故選C.
答案 C
3.下列命題中的真命題是 ( ).
A.?x∈R,使得sin x+cos x=
B.?x∈(0,+∞),ex>x+1
C.?x∈(-∞,0),2x<3x
D.?x∈(0,π),sin x>cos x
解析 因為sin x+cos x=sin≤<,故A錯誤;當x<0時,y=2x的圖象在y=3x的圖象上方,故
3、C錯誤;因為x∈時有sin x
4、R,mx+1≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+1>0.若p∨q為假命題,則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
解析 若p∨q為假命題,則p、q均為假命題,即綈p:?x∈R,mx2+1>0與綈q:?x0∈R,x+mx0+1≤0均為真命題.根據(jù)綈p: ?x∈R,mx2+1>0為真命題可得m≥0,根據(jù)綈q:?x0∈R,x+mx0+1≤0為真命題可得Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.綜上,m≥2.
答案 A
6.以下有關(guān)命題的說法錯誤的是( )
A.命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“若x≠1
5、,則x2-3x+2≠0”
B. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要條件
C.若p∧q為假命題,則p、q均為假命題
D.對于命題p:?x∈R,使得x2+x+1<0,則綈p:?x∈R,均有x2+x+1≥0
解析 A、B、D正確;當p∧q為假命題時,p、q中至少有一個為假命題,故C錯誤.
答案 C
二、填空題
7.命題“存在x∈R,使得x2+2x+5=0成立”的否定是________.
答案 對任意x∈R,都有x2+2x+5≠0
8.存在實數(shù)x,使得x2-4bx+3b<0成立,則b的取值范圍是________.
解析 要使x2-4bx+3b<0成立,只要方程
6、x2-4bx+3b=0有兩個不相等的實根,即判別式Δ=16b2-12b>0,解得b<0或b>.
答案 (-∞,0)∪
9.若“?x∈R,(a-2)x+1>0”是真命題,則實數(shù)a的取值集合是________.
解析 “?x∈R,(a-2)x+1>0”是真命題,等價于(a-2)x+1>0的解集為R,所以a-2=0,所以a=2.
答案 {2}
10.已知命題p:“?x∈R且x>0,x>”,命題p的否定為命題q,則q是“____________”;q的真假為________.(選填“真”或“假”)
答案 ?x∈R+,x≤ 假
11.命題“?x0∈R,2x-3ax0+9<0”為假命題
7、,則實數(shù)a的取值范圍為________.
解析 題目中的命題為假命題,
則它的否定“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”為真命題,
也就是常見的“恒成立”問題,
只需Δ=9a2-429≤0,[來源:中_教_網(wǎng)z_z_s_tep]
即可解得-2≤a≤2.
答案 [-2,2]
12.令p(x):ax2+2x+a>0,若對任意x∈R,p(x)是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析 ∵對任意x∈R,p(x)是真命題.
∴對任意x∈R,ax2+2x+a>0恒成立,
當a=0時,不等式為2x>0不恒成立,
當a≠0時,若不等式恒成立,
則∴a>1.
答案 a>1
8、
13.若命題“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析 當a=0時,不等式顯然成立;當a≠0時,由題意知得-8≤a<0.綜上,-8≤a≤0.
答案 [-8,0]
三、解答題
14. 寫出下列命題的否定,并判斷真假.
(1)q: x∈R,x不是5x-12=0的根;
(2)r:有些素數(shù)是奇數(shù);
(3)s: x0∈R,|x0|>0.
解 (1)q: x0∈R,x0是5x-12=0的根,真命題.
(2)r:每一個素數(shù)都不是奇數(shù),假命題.
(3)s:x∈R,|x|≤0,假命題.
15.已知c>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=cx為減函數(shù)
9、.命題q:當x∈時,函數(shù)f(x)=x+>恒成立.如果“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,求c的取值范圍.
解 由命題p為真知,0,
若“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,
則p、q中必有一真一假,
當p真q假時,c的取值范圍是0