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1、統(tǒng)計(jì)、抽樣方法
一、教學(xué)目標(biāo)
1.隨機(jī)抽樣。
2.用樣本估計(jì)總體。
3.變量的相關(guān)性。
二、知識提要
1.抽樣
當(dāng)總體中的個體較少時,一般可用簡單隨機(jī)抽樣;當(dāng)總體中的個體較多時,一般可用系統(tǒng)抽樣;當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時,一般可用分層抽樣,而簡單隨機(jī)抽樣作為一種最簡單的抽樣方法,又在其中處于一種非常重要的地位.實(shí)施簡單隨機(jī)抽樣,主要有兩種方法:抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.
系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況,因?yàn)檫@時采用簡單隨機(jī)抽樣就顯得不方便,系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣之間存在著密切了解,即在將總體中的個體均勻分后的每一段進(jìn)行抽樣時,采用的是簡單隨機(jī)抽樣;與簡單隨機(jī)抽樣
2、一樣,系統(tǒng)抽樣也屬于等概率抽樣.
分層抽樣在內(nèi)容上與系統(tǒng)抽樣是平行的,在每一層進(jìn)行抽樣時,采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣,分層抽樣也是等概率抽樣.
2.樣本與總體
用樣本估計(jì)總體是研究統(tǒng)計(jì)問題的一種思想方法.當(dāng)總體中的個體取不同數(shù)值很少時,其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及其相應(yīng)的頻率來表示,其幾何表示就是相應(yīng)的條形圖,當(dāng)總體中的個體取不同值較多,甚至無限時,其頻率分布的研究要用到初中學(xué)過的整理樣本數(shù)據(jù)的知識.
用樣本估計(jì)總體,除在整體上用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布以外,還可以從特征數(shù)上進(jìn)行估計(jì),即用樣本的平均數(shù)去估計(jì)總體的平均數(shù),用關(guān)于樣本的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)去估計(jì)總體的方差(標(biāo)準(zhǔn)差).
3、
3.正態(tài)分布
正態(tài)分布在實(shí)際生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用,很多變量,如測量的誤差、產(chǎn)品的尺寸等服從或近似服從正態(tài)分布,利用正態(tài)分布的有關(guān)性質(zhì)可以對產(chǎn)品進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn).
4.線性回歸直線
設(shè)x、y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量,且相應(yīng)于n組觀察值的n個點(diǎn)大致分布在一條直線的附近,我們把整體上這n個點(diǎn)最接近的一條直線叫線性回歸直線.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練
1.一個總體中共有10個個體,用簡單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一容量為3的樣本,則某特定個體入樣的概率是( )
A. B. C. D.
2.(2004年江蘇,6)某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生,得到他們
4、在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù),結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為( )
A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h
3.如果隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,則P(-1<ξ≤1)等于( )
A.2Φ(1)-1 B.Φ(4)-Φ(2)
C.Φ(2)-Φ(4) D.Φ(-4)-Φ(-2)
4..為考慮廣告費(fèi)用x與銷售額y之間的關(guān)系,抽取了5家餐廳,得到如下數(shù)據(jù):
廣告費(fèi)用(千元)
1.0
4.0
6
5、.0
10.0
14.0
銷售額(千元)
19.0
44.0
40.0
52.0
53.0
現(xiàn)要使銷售額達(dá)到6萬元,則需廣告費(fèi)用為______.(保留兩位有效數(shù)字)
四、典型例題
【例1】 某批零件共160個,其中,一級品48個,二級品64個,三級品32個,等外品16個.從中抽取一個容量為20的樣本.請說明分別用簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率均相同.
【例2】 已知測量誤差ξ~N(2,100)(cm),必須進(jìn)行多少次測量,才能使至少有一次測量誤差的絕對值不超過8 cm的頻率大于0.9?
五、達(dá)標(biāo)檢測
1.對總數(shù)為N的
6、一批零件抽取一個容量為30的樣本,若每個零件被抽取的概率為0.25,則N等于( )
A.150 B.200 C.120 D.100
2.設(shè)隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ),且P(ξ≤C)=P(ξ>C),則C等于( )
A.0 B.σ C.-μ D.μ
3.(2003年全國,14)某公司生產(chǎn)三種型號的轎車,產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛,為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn),這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取__
7、____輛、______輛、______輛.
4.某廠生產(chǎn)的零件外直徑ξ~N(8.0,1.52)(mm),今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個,測得其外直徑分別為7.9 mm和7.5 mm,則可認(rèn)為( )
A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常 B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常
C.上午生產(chǎn)情況正常,下午生產(chǎn)情況異常 D.上午生產(chǎn)情況異常,下午生產(chǎn)情況正常
5.隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(ξ<1)=0.8413,求P(-1<ξ<0).
6.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的,如果某地成年男子的身高ξ~N(173,72
8、)(cm),問車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高?
基礎(chǔ)訓(xùn)練
1.解析:簡單隨機(jī)抽樣中每一個體的入樣概率為.
答案:C
2.解析:一天平均每人的課外閱讀時間應(yīng)為一天的總閱讀時間與學(xué)生數(shù)的比,即
=0.9 h.
答案:B
3.解析:對正態(tài)分布,μ=Eξ=3,σ2=Dξ=1,故P(-1<ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).
答案:B
4.解析:先求出回歸方程=bx+a,令=6,得x=1.5萬元.
答案:1.5萬元
典型例題
【例1】 剖析:要說明每個個體被取到的概率相同,只需計(jì)算出用三種抽樣方法抽取個體時,每個個體被取到的概率.
解:(
9、1)簡單隨機(jī)抽樣法:可采取抽簽法,將160個零件按1~160編號,相應(yīng)地整理1~160號的160個簽,從中隨機(jī)抽20個.顯然每個個體被抽到的概率為=.
(2)系統(tǒng)抽樣法:將160個零件從1至160編上號,按編號順序分成20組,每組8個.然后在第1組用抽簽法隨機(jī)抽取一個號碼,如它是第k號(1≤k≤8),則在其余組中分別抽取第k+8n(n=1,2,3,…,19)號,此時每個個體被抽到的概率為.
(3)分層抽樣法:按比例=,分別在一級品、二級品、三級品、等外品中抽取48=6個,64=8個,32=4個,16=2個,每個個體被抽到的概率分別為,,,,即都是.
綜上可知,無論采取哪種抽樣,總體的每個
10、個體被抽到的概率都是.
評述:三種抽樣方法的共同點(diǎn)就是每個個體被抽到的概率相同,這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性.
思考討論:現(xiàn)有20張獎券,已知只有一張能獲獎,甲從中任摸一張,中獎的概率為,刮開一看沒中獎.乙再從余下19張中任摸一張,中獎概率為,這樣說甲、乙中獎的概率不一樣,是否正確?
【例2】解:設(shè)η表示n次測量中絕對誤差不超過8 cm的次數(shù),則η~B(n,p).
其中P=P(|ξ|<8)=Φ()-Φ()=Φ(0.6)-1+Φ(1)=0.7258-1+0.8413=0.5671.
由題意,∵P(η≥1)>0.9,n應(yīng)滿足P(η≥1)=1-P(η=0)=1-(1-p)n>0.9,
11、
∴n>==2.75.
因此,至少要進(jìn)行3次測量,才能使至少有一次誤差的絕對值不超過8 cm的概率大于0.9.
達(dá)標(biāo)檢測
1.解析:∵=0.25,∴N=120.
答案:C
2.解析:由正態(tài)曲線的圖象關(guān)于直線x=μ對稱可得答案為D.
答案:D
3.解析:因總轎車數(shù)為9200輛,而抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn),抽樣比例為=,而三種型號的轎車有顯著區(qū)別.根據(jù)分層抽樣分為三層按比例分別有6輛、30輛、10輛.
答案:6 30 10
4.解析:根據(jù)3σ原則,在8+31.5=8.45(mm)與8-31.5=7.55(mm)之外時為異常.
答案:C
5.解:∵ξ~N(0,1),∴P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=Φ(1)-Φ(0)=0.8413-0.5=0.3413.
6.解:設(shè)公共汽車門的設(shè)計(jì)高度為x cm,由題意,需使P(ξ≥x)<1%.
∵ξ~N(173,72),∴P(ξ≤x)=Φ()>0.99.
查表得>2.33,∴x>189.31,即公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為190 cm,可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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