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第三章 函數(shù)的應(yīng)用
§3.1 函數(shù)與方程
3．1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1． 函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 ( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
2． 函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )
A．0 B．1 C．2
2、 D．3
3． 已知函數(shù)f(x)＝log2x－x，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值 ( )
A．恒為負(fù) B．等于零
C．恒為正 D．不小于零
4． 已知三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則( )
A．a(chǎn)＜b＜c
3、 B．a(chǎn)＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
5． 已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，－2是它的一個(gè)零點(diǎn)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則該函數(shù)有______個(gè)零點(diǎn)，這幾個(gè)零點(diǎn)的和等于______．
6． 函數(shù)f(x)＝零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．
7． 關(guān)于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有兩實(shí)根，且一個(gè)大于4，一個(gè)小于4，求m的取值范圍．
8． 已知y＝f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x.
(1)寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有
4、3個(gè)不同的解，求a的取值范圍．
二、能力提升
9． 設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
10．已知x0是函數(shù)f(x)＝＋ln x的一個(gè)零點(diǎn)，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)
5、＞0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
D．f(x1)＜0，f(x2)＞0
11．函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
12．定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0]上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為－，求滿(mǎn)足f(logx)≥0的x的取值范圍．
三、探究與拓展
13．是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．若存在，求出a的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
答案
1．B 2．B 3．A 4．B 5．3 0 6．2
7． 解 令
6、f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依題意得或，
即或，
解得－<m<0.
8． 解 (1)當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函數(shù)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝.
(2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值為－1；
∴當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值為1.
∴據(jù)此可作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示，
根據(jù)圖象得，
若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，則a的取值范圍是(－1,1)．
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7、．B 10．D 11．(－∞，0]∪{1}
12．解 ∵－是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
∴f(－)＝0，
∵y＝f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)logx≤0，
即x≥1時(shí)logx≥－，
解得x≤2，即1≤x≤2，
由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)logx>0時(shí)，≤x<1，
綜上所述，x的取值范圍是.
13．解 ∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝(3a－)2＋＞0，
∴若存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.
檢驗(yàn)：①當(dāng)f(－1)＝0時(shí)，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0.
得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1.
②當(dāng)f(3)＝0時(shí)，a＝－，此時(shí)f(x)＝x2－x－，令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解之得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－.綜上所述，a＜－或a＞1.
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