高考數學一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第9章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第4節(jié) 相關性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例學案 文 北師大版

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 第四節(jié)　相關性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例 [考綱傳真]　1.會做兩個有關聯(lián)變量的數據的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系.2.了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程(線性回歸系數公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.4.了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應用． (對應學生用書第141頁) [基礎知識填充] 1．相關性 (1)通常將變量所對應的點描出來，這些點就組成了變量之間的一個圖，通常稱這

2、種圖為變量之間的散點圖． (2)從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著某種關系，這些點會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢通常可以用一條光滑的曲線來近似，這樣近似的過程稱為曲線擬合． (3)若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在一條直線附近波動，則稱變量間是線性相關的，若所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關是非線性相關的．如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關系，則稱變量間是不相關的． 2．線性回歸方程 (1)最小二乘法 如果有n個點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2

3、＋…＋[yn－(a＋bxn)]2來刻畫這些點與直線y＝a＋bx的接近程度，使得上式達到最小值的直線y＝a＋bx就是所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法． (2)線性回歸方程 方程y＝bx＋a是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的線性回歸方程，其中a，b是待定參數． 3．回歸分析 (1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． (2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(，)稱為樣本點的中心． (3)相關系數 ①r＝ ＝

4、②當r＞0時，表明兩個變量正相關； 當r<0時，表明兩個變量負相關； 當r＝0時，表明兩個變量線性不相關． |r|值越接近于1，表明兩個變量之間的線性相關程度越高． |r|值越接近于0，表明兩個變量之間的線性相關程度越低． 4．獨立性檢驗 設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝；變量B：B1，B2＝. 22列聯(lián)表： B A　　 B1 B2 總計 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 構造一個統(tǒng)計量 χ2＝. 利用統(tǒng)計量χ2來判斷“兩個分類

5、變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗． 當χ2≤2.706時，沒有充分的證據判定變量A，B有關聯(lián)， 可以認為變量A，B是沒有關聯(lián)的； 當χ2>2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關聯(lián)； 當χ2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關聯(lián)； 當χ2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關聯(lián)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系．(　　) (2)某同學研究賣出的熱飲杯數y與氣溫x(℃)之間的關系，得回歸方程＝－2.352x＋14

6、7.767，則氣溫為2℃時，一定可賣出143杯熱飲．(　　) (3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．(　　) (4)若事件X，Y關系越密切，則由觀測數據計算得到的χ2的觀測值越?。?　　) [答案]　(1)√　(2)　(3)　(4) 2．(教材改編)已知變量x與y正相關，且由觀測數據算得樣本平均數＝3，＝3.5，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是(　　) A．＝0.4x＋2.3　　　　　　　 B．＝2x－2.4 C．＝－2x＋9.5 D．＝－0.3x＋4.4 A　[因為變量x和y正相關，排除選項C，D．又樣本中心(3,3

7、.5)在回歸直線上，排除B，選項A滿足．] 3．(20xx全國卷Ⅱ)根據下面給出的2004年至我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結論中不正確的是(　　) 圖941 A．逐年比較，減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關 D　[對于A選項，由圖知從到二氧化硫排放量下降得最多，故A正確．對于B選項，由圖知，由到矩形高度明顯下降，因此B正確．對于C選項，由圖知從以后除稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確．由圖知以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關

8、，故選D．] 4．為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調查，經過計算χ2≈0.99，根據這一數據分析，下列說法正確的是 (　　) A．有99%的人認為該電視欄目優(yōu)秀 B．有99%的人認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系 C．有99%的把握認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系 D．沒有理由認為該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系 D　[只有χ2≥6.635才能有99%的把握認為“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系”，而即使χ2≥6.635也只是對“該電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關系”這個論斷成立的可能性大小的結論，與是否有99%的人等無關，故只有D

9、正確．] 5．(20xx西安模擬)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據收集到的數據(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋54.9. 零件數x(個) 10 20 30 40 50 加工時間y(min) 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數據看不清，請你推斷出該數據的值為________． 68　[由＝30，得＝0.6730＋54.9＝75. 設表中的“模糊數字”為a， 則62＋a＋75＋81＋89＝755，∴a＝68.] (對應學生用書第142頁) 相關關系的判斷 　(1)(20

10、xx湖北高考)已知變量x和y滿足關系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關．下列結論中正確的是(　　) 【導學號：00090333】 A．x與y正相關，x與z負相關 B．x與y正相關，x與z正相關 C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關 (2)對四組數據進行統(tǒng)計，獲得如圖942所示的散點圖，關于其相關系數的比較，正確的是(　　) 圖942 A．r2＜r4＜0＜r3＜r1　　　 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 (1)C　(2)A　[(1)因為y＝－0.1x＋1的斜率小于0，

11、故x與y負相關．因為y與z正相關，可設z＝y(tǒng)＋，>0，則z＝y(tǒng)＋＝－0.1x＋＋，故x與z負相關． (2)由散點圖知，圖①與圖③是正相關，故有r1＞0，r3＞0，圖②與圖④是負相關，則r2＜0，r4＜0，且圖①與圖②中的樣本點集中在一條直線附近，因此有r2＜r4＜0＜r3＜r1.] [規(guī)律方法]　1.利用散點圖判斷兩個變量是否有相關關系是比較直觀簡便的方法．如果所有的樣本點都落在某一函數的曲線附近，變量之間就有相關關系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系．若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關，若點散布在左上角到右下角的區(qū)域，則負相關． 2．利用相關系

12、數判定，當|r|越趨近于1，相關性越強． 當殘差平方和越小，相關指數r2越大，相關性越強． [變式訓練1]　(1)四名同學根據各自的樣本數據研究變量x，y之間的相關關系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個結論： ①y與x負相關且＝2.347x－6.423； ②y與x負相關且＝－3.476x＋5.648； ③y與x正相關且＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結論的序號是(　　) 【導學號：00090334】 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ (2)變量X與Y相對應的一組數據為(10,

13、1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應的一組數據為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示變量Y與X之間的線性相關系數，r2表示變量V與U之間的線性相關系數，則(　　) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 (1)D　(2)C　[(1)由線性回歸方程＝x＋知當＞0時，y與x正相關，當＜0時，y與x負相關，∴①④一定錯誤． (2)對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關，即r1＞0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與

14、U負相關，即r2＜0，故選C．]] 線性回歸方程及應用 　(20xx全國卷Ⅲ)如圖943是我國至生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 圖943 注：年份代碼1～7分別對應年份2008～20xx. (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明； (2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測我國生活垃圾無害化處理量． 參考數據：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關系數r＝，回歸方程＝a＋b中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，a＝－b. [解]　(1)由折線圖中的數

15、據和附注中的參考數據得 ＝4， (ti－)2＝28，＝0.55， 2分 (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－49.32＝2.89， 所以r≈≈0.99. 因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系. 5分 (2)由＝≈1.331及(1)得 b＝＝≈0.103. 8分 a＝－b≈1.331－0.1034≈0.92. 所以y關于t的回歸方程為y＝0.92＋0.10t. 10分 將對應的t＝9代入回歸方程得y＝0.92＋0.109＝1.82. 所以預測我國生活垃圾無害化處

16、理量約為1.82億噸． 12分 [規(guī)律方法]　1.在分析實際中兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，也可計算相關系數r進行判斷．若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值． 2．(1)正確運用計算b，a的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵．(2)回歸直線＝bx＋a必過樣本點的中心(，)． [變式訓練2]　(20xx全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數據作了初步

17、處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． 圖944 (xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)(yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，w]＝wi. (1)根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程； (3)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(2)的結果回答下列問題： ①年宣傳費x＝49時，年

18、銷售量及年利潤的預報值是多少？ ②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β＝，α＝－ . [解]　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型. 2分 (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． 由于d＝＝＝68， 4分 c＝－d ＝563－686.8＝100.6， 5分 所以y關于w的線性回歸方程為y＝100.6＋68w， 6分 因此y關于x的回歸方程為y＝100.6＋68. 7分 (3)①由

19、(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值y＝100.6＋68＝576.6， 8分 年利潤z的預報值＝576.60.2－49＝66.32. 9分 ②根據(2)的結果知，年利潤z的預報值 z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 10分 所以當＝＝6.8，即x＝46.24時，z取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大. 12分 獨立性檢驗 　(20xx全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：

20、 圖945 (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關； 箱產量＜50 kg 箱產量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據箱產量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較． 附： χ2＝. [解]　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)5＝0.62. 2分 因此，事件A的概率估計值為0.62. 4分 (2)根據箱產量的頻率分布直

21、方圖得列聯(lián)表 箱產量<50 kg 箱產量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 5分 χ2的觀測值＝≈15.705. 7分 由于15.705＞6.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關. 8分 (3)箱產量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產量平均值(或中位數)在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產量分布集中程度高，因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法. 12分 [規(guī)律方法]　1.在2

22、2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個變量之間關系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個變量之間關系越強． 2．解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結論．獨立性檢驗的一般步驟： (1)根據樣本數據制成22列聯(lián)表； (2)根據公式χ2＝計算χ2的觀測值k； (3)比較k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷． [變式訓練3]　(20xx濟南聯(lián)考)某市地鐵即將于6月開始運營，為此召開了一個價格聽證會，擬定價格后又進行了一次調查，隨機抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下； 【導學號：00090335】 月收入(

23、單位：百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 贊成定價者人數 1 2 3 5 3 4 認為價格偏高者人數 4 8 12 5 2 1 (1)若以區(qū)間的中點值為該區(qū)間內的人均月收入，求參與調查的人員中“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結果保留2位小數)； (2)由以上統(tǒng)計數據填下面22列聯(lián)表，分析是否有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”． 月收入不低于 55百元的人數 月收入低于55 百元的人數 總計 認為價格偏高

24、者 贊成定價者 總計 附：χ2＝. P(χ2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 [解]　(1)“贊成定價者”的月平均收入為 x1＝ ≈50.56. “認為價格偏高者”的月平均收入為 x2＝ ＝38.75， ∴“贊成定價者”與“認為價格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元). 5分 (2)根據條件可得22列聯(lián)表如下： 月收入不低于 55百元的人數 月收入低于55 百元的人數 總計 認為價格偏高者 3 29 32 贊成定價者 7 11 18 總計 10 40 50 χ2＝≈6.27＜6.635， ∴沒有99%的把握認為“月收入以55百元為分界點對地鐵定價的態(tài)度有差異”. 12分