高中數(shù)學(xué)人教A版必修五 第一章解三角形 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)3 含答案

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1、起 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（三） (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．為了測(cè)量B，C之間的距離，在河岸A，C處測(cè)量，如圖1­2­9，測(cè)得下面四組數(shù)據(jù)，較合理的是(　　) 圖1­2­9 A．c與α B．c與b C．b，c與β D．b，α與γ 【解析】　因?yàn)闇y(cè)量者在A，C處測(cè)量，所以較合理的應(yīng)該是b，α與γ. 【答案】　D 2．輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h，15 n mile/h，則14時(shí)兩船之間的距離是(　　) A．5

2、0 n mile B．70 n mile C．90 n mile D．110 n mile 【解析】　到14時(shí)，輪船A和輪船B分別走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得 兩船之間的距離為 l＝＝70 (n mile)． 【答案】　B 3．如圖1­2­10，要測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(＋1)，則A，B間距離是(　　) 圖1­2­10 A．20米 B．20

3、米 C．20米 D．40米 【解析】　可得DB＝DC＝40，AD＝20(＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20(米)． 【答案】　C 4．在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20 m，則建筑物高度為(　　) A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m 【解析】　如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20， 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 6

4、0°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)． 【答案】　C 5．如圖1­2­11所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，則建筑物的高度為(　　) 圖1­2­11 A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 【解析】　設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知， PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理， 得cos∠PBA＝， ① cos∠PBC＝. ② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°

5、;， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度為30 m. 【答案】　D 二、填空題 6．有一個(gè)長(zhǎng)為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長(zhǎng) 千米． 【解析】　如圖，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1， ∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°. 在△ABC中，＝， ∴AC＝＝＝(千米)． 【答案】　 7．如圖1­2­12，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩

6、點(diǎn)A，B，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，則河的寬度是 m. 圖1­2­12 【解析】　tan 30°＝，tan 75°＝， 又AD＋DB＝120， ∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°， ∴AD＝60，故CD＝60. 【答案】　60 8．一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由點(diǎn)A開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖1­2­

7、13所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在距A點(diǎn) dm的C處截住足球. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05920061】 圖1­2­13 【解析】　設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球， 點(diǎn)C在線段AD上，設(shè)BC＝x dm，由題意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A， 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝. ∴

8、AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－(dm)(舍去)． ∴該機(jī)器人最快可在線段AD上距A點(diǎn)7 dm的點(diǎn)C處截住足球． 【答案】　7 三、解答題 9．A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)，如圖1­2­14，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2 km，C，D相距(3－)km，求A，B兩景點(diǎn)的距離． 圖1­2­14 【解】　在△BCD中， ∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°， 由正弦定理得＝， 即BD＝＝2. 在△ABD中，∠ADB＝45°＋15

9、°＝60°，BD＝AD， ∴△ABD為等邊三角形， ∴AB＝2. 答：A，B兩景點(diǎn)的距離為2 km. 10．江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，求兩條船之間的距離． 【解】　 如圖所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°. ∵AB＝30(m)， ∴BC＝30(m)， 在Rt△ABD中，BD＝＝30(m)． 在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30

10、76;＝900， ∴CD＝30(m)，即兩船相距30 m. [能力提升] 1．某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離d1與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的關(guān)系為(　　) A．d1>d2 B．d1＝d2 C．d1<d2 D．不能確定大小 【解析】　如圖， B，C，D分別是第一、二、三輛車所在的位置，由題意可知α＝β. 在△PBC中，＝， 在△PCD中，＝， ∵sin α＝sin β，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴＝. ∵PB<PD，∴d1<d2.

11、 【答案】　C 2．如圖1­2­15，在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30°，測(cè)得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m, ＝1.732)(　　) 圖1­2­15 A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 【解析】　在△ACE中，tan 30°＝＝. ∴AE＝(m)． 在△AED中，tan 45°＝＝， ∴AE＝(m)， ∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)． 【答案】　C 3.如圖1­2­16

12、所示，福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC.小明在山腳B處看索道AC，此時(shí)視角∠ABC＝120°；從B處攀登200米到達(dá)D處，回頭看索道AC，此時(shí)視角∠ADC＝150°；從D處再攀登300米到達(dá)C處．則石竹山這條索道AC長(zhǎng)為 米． 圖1­2­16 【解析】　在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°. 因?yàn)椤螦DB＝30°，所以∠DAB＝30°. 由正弦定理，得＝， 所以＝. 所以AD＝＝200(米)． 在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150

13、6;， 所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝100(米)．故石竹山這條索道AC長(zhǎng)為100米． 【答案】　100 4．2015年10月，在鄒平縣啟動(dòng)了山東省第三次農(nóng)業(yè)普查農(nóng)作物遙感測(cè)量試點(diǎn)工作，用上了無(wú)人機(jī)．為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，無(wú)人機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖1­2­17)，無(wú)人機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要

14、測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟． 圖1­2­17 【解】　方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d. ②第一步：計(jì)算AM.由正弦定理AM＝； 第二步：計(jì)算AN.由正弦定理AN＝； 第三步：計(jì)算MN.由余弦定理 MN＝. 方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α2，β2；A，B間的距離d. ②第一步：計(jì)算BM.由正弦定理BM＝； 第二步：計(jì)算BN.由正弦定理BN＝； 第三步：計(jì)算MN.由余弦定理 MN＝.