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1、
模塊綜合檢測
(時間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.若sin α2=33,則cos α=( )
A.-23 B.-13 C.13 D.23
解析:cos α=1-2sin2α2=1-2332=13.故選C.
答案:C
2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,則α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:由已知得tan α>0,sin α<0,
∴α是第三象限角.
答案
2、:C
3.函數(shù)f(x)=sin2x+π3的圖象的對稱軸方程可以為 ( )
A.x=π12 B.x=5π12
C.x=π3 D.x=π6
解析:由2x+π3=kπ+π2(k∈Z),
得x=kπ2+π12(k∈Z).
當k=0時,x=π12.
答案:A
4.當cos 2α=23時,sin4α+cos4α的值是( )
A.1 B.79 C.1118 D.1318
解析:sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-12sin22α=1-12(1-cos22α)=1118.
答案:C
5.已知a=1,12,b=1,-12,c=a+kb,d
3、=a-b,c與d的夾角是π4,則k的值為( )
A.-13 B.-3
C.-3或-13 D.-1
解析:c=1,12+k,-12k=1+k,12-12k,d=(0,1).
cosπ4=12-12k(1+k)2+14(1-k)2,
解得k=-3或-13.
答案:C
6.
如圖,在直角三角形PBO中,∠PBO=90,以O為圓心,OB為半徑作圓弧交OP于A點,若AB等分△PBO的面積,且∠AOB=α,則( )
A.tan α=α
B.tan α=2α
C.sin α=2cos α
D.2sin α=cos α
解析:設扇形的半徑為r,則扇形的面積為12αr2,直角三
4、角形PBO中,PB=rtan α,△PBO的面積為12rrtan α,由題意得12rrtan α=212αr2,∴tan α=2α,故選B.
答案:B
7.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值為4,最小值為0,最小正周期為π2,直線x=π3是其圖象的一條對稱軸,則下面各式中符合條件的函數(shù)解析式是( )
A.y=4sinx+π6
B.y=2sin2x+π3+2
C.y=2sin4x+π3+2
D.y=2sin4x+π6+2
解析:由A+m=4,-A+m=0,得A=2,m=2.
又∵T=π2,∴ω=2ππ2=4,
∴ωx+φ=4x+φ.
∵x=π3是其一條對
5、稱軸,
∴43π+φ=kπ+π2(k∈Z),
∴φ=kπ-56π.
當k=1時,φ=π6,
∴y=2sin4x+π6+2.
答案:D
8.已知向量OB=(2,0),OC=(0,2),CA=(cos θ,sin θ),則|AB|的取值范圍是( )
A.[1,2] B.[22,4]
C.[22-1,22+1] D.[22,22+1]
解析:由題意知,AB=(2-cos θ,-2-sin θ),
所以|AB|=(2-cosθ)2+(-2-sinθ)2=4-4cosθ+1+4+4sinθ=9+42sinθ-π4∈[9-42,9+42],
即|AB|∈[22-1,22+1].
6、答案:C
9.
已知函數(shù)f(x)=Asinπ3x+π6,x∈R,A>0,y=f(x)的部分圖象如圖,P,Q分別為該圖象的最高點和最低點,點P的橫坐標為1.若點R的坐標為(1,0),∠PRQ=2π3,則A=( )
A.3 B.2 C.1 D.23
解析:函數(shù)f(x)的周期為T=2ππ3=6,∴Q(4,-A).
又∠PRQ=2π3,
∴直線RQ的傾斜角為5π6,
∴A1-4=-33,A=3.
答案:A
10.已知點A,B,C是直線l上不同的三個點,點O不在l上,則關于實數(shù)x的方程x2OA+xOB+AC=0的解集為( )
A.? B.{-1}
C.-1-52,-1+52
7、 D.{-1,0}
解析:由于AB=OB-OA,又AB∥AC,則存在實數(shù)λ,使AC=λAB,則AC=λ(OB-OA)=λOB-λOA,所以有λOA-λOB+AC=0,由于OA和OB不共線,又x2OA+xOB+AC=0,
所以x2=λ,x=-λ.由于AC是任意非零向量,則實數(shù)λ是任意實數(shù),則等式λ2=λ不一定成立,所以關于x的方程x2OA+xOB+AC=0的解集為?.
答案:A
11.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,則cos(α-β)=( )
A.-12 B.12 C.-13 D.2327
解析:因為α∈0,π2,
所以2α∈(0,π).
因
8、為cos α=13,
所以cos 2α=2cos2α-1=-79,
所以sin 2α=1-cos22α=429.
又α,β∈0,π2,
所以α+β∈(0,π),
所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223,
所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=-79-13+429223=2327.
答案:D
12.已知∠A1,∠A2,…,∠An為凸多邊形的內(nèi)角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An=0,則這個多邊形是( )
A.正六邊形 B.梯形
C.矩形 D.含銳角的菱形
9、解析:lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An
=lg(sin A1sin A2…sin An)=0,
則sin A1sin A2…sin An=1,
又∠A1,∠A2,…,∠An為凸多邊形的內(nèi)角,
則∠A1,∠A2,…,∠An∈(0,π),
則0
10、
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)
13.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,則sin2x+2cos2x1+tanx的值為 .
解析:∵3+2sin x+2cos x=3+22sinx+π4≥3-22,∴3+2sin x+2cos x≠0,
∴sin x-2cos x=0,sin x=2cos x,
∴(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=15.
∴sin2x+2cos2x1+tanx
=2cosx(sinx+cosx)sinx+cosxcosx=2cos2x=25.
答案:25
1
11、4.函數(shù)y=3-2cos3x+π6的定義域為 .
解析:由2cos3x+π6≥0,得2kπ-π2≤3x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),
即23kπ-2π9≤x≤23kπ+π9(k∈Z).
答案:23kπ-2π9,23kπ+π9(k∈Z)
15.已知tanx+π4=2,則tanxtan2x的值為 .
解析:由tanx+π4=tanx+11-tanx=2,
得tan x=13,
∴tanxtan2x=tanx(1-tan2x)2tanx=1-tan2x2=49.
答案:49
16.已知a1+a2+…+a2 015=0,且an=(3,4)(1≤n≤2 010,n∈N
12、*),則a1+a2+…+an-1+an+1+…+a2 015的模為 .
解析:由題意知a1+a2+…+an-1+an+1+…+a2 015=-an=(-3,-4),所以所求模為5.
答案:5
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(10分)已知sinα+π4+sinα-π4=23.
(1)求sin α的值;
(2)求sinα-π41-cos2α-sin2α的值.
解:(1)∵sinα+π4+sinα-π4=23,
∴2sin α=23.∴sin α=13.
(2)∵sinα-π41-cos2α-sin2α=22(sin
13、α-cosα)2sin2α-2sinαcosα
=2(sinα-cosα)4sinα(sinα-cosα)=24sinα,
∴原式=2413=324.
18.(12分)已知電流I與時間t的關系式為I=Asin(ωt+φ).
(1)如圖是I=Asin(ωt+φ)ω>0,|φ|<π2在一個周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求解析式;
(2)如果t在任意一段1150秒的時間內(nèi),電流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整數(shù)值是多少?
解:(1)由圖知,A=300,
12T=1800--1900=177 200,
∴T=173 600,∴ω=2πT=7 200π17
14、,
∴7 20017π-1900+φ=0.
又|φ|<π2,∴φ=817π,
∴I=300sin7 200π17x+817π.
(2)∵t在任一段1150秒內(nèi)I能取到最大值和最小值,
∴I=Asin(ωt+φ)的周期T≤1150,
即2πω≤1150,ω≥300π≈943.
∴ω的最小正整數(shù)值是943.
19.(12分)設在平面上有兩個向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=12,32,a與b不共線.
(1)求證:向量a+b與a-b垂直;
(2)當向量3a+b與a-3b的模相等時,求α的大小.
(1)證明由已知得|a|=cos22α+sin22α=1,|
15、b|=122+322=1,
則(a+b)(a-b)=a2-b2=0,
所以a+b與a-b垂直.
(2)解:由|3a+b|=|a-3b|兩邊平方,得3|a|2+23ab+|b|2=|a|2-23ab+3|b|2,
∴2(|a|2-|b|2)+43ab=0.
而|a|=|b|,∴ab=0.
∴12cos 2α+32sin 2α=0,即sin2α+π6=0,
∴2α+π6=kπ(k∈Z).
又0≤α<π,∴α=5π12或α=11π12.
20.(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,以Ox軸為始邊作兩個銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B兩點的橫坐標分別
16、為210,255.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
解:由已知得cos α=210,cos β=255.
∵α,β為銳角,
∴sin α=1-cos2α=7210,
sin β=1-cos2β=55.
∴tan α=7,tan β=12.
(1)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=7+121-712=-3.
(2)∵tan 2β=2tanβ1-tan2β=2121-122=43,
∴tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanαtan2β=7+431-743=-1.
∵α,β為銳角,∴0<α+2β<3π2.∴α+2β
17、=3π4.
21.(12分)已知點A,B,C的坐標分別為A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈π2,3π2.
(1)若|AC|=|BC|,求角α的值;
(2)若ACBC=-1,求2sin2α+sin2α1+tanα的值.
解:(1)∵AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3),
∴|AC|=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,
|BC|=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα.
由|AC|=|BC|,得sin α=cos α.
又∵α∈π2,3π2,∴α=5π4.
(2)由ACBC=-1,得(co
18、s α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.
∴sin α+cos α=23. ①
又2sin2α+sin2α1+tanα=2sinα(sinα+cosα)1+sinαcosα=2sin αcos α.
由①式兩邊平方,得1+2sin αcos α=49,
∴2sin αcos α=-59.
∴2sin2α+sin2α1+tanα=-59.
22.(12分)如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為θ的扇形,A是扇形弧PQ上的動點,AB∥OQ,OP與AB交于點B,AC∥OP,OQ與AC交于點C.
(1)當θ=π2時,求點A的位置,使矩形ABOC的面積最大,并求出這個
19、最大面積;
(2)當θ=π3時,求點A的位置,使平行四邊形ABOC的面積最大,并求出這個最大面積.
解:(1)連接OA,設∠AOB=α,
則OB=cos α,AB=sin α.
∴矩形面積S=OBAB=sin αcos α.
∴S=12sin 2α.
由于0<α<π2,
∴當2α=π2,即α=π4時,S最大=12.
∴A點在PQ的中點時,矩形ABOC面積最大,最大面積為12.
(2)連接OA,設∠AOP=α,過A點作AH⊥OP,垂足為H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.
在Rt△ABH中,AHBH=tan 60=3,∴BH=33sin α.
20、∴OB=OH-BH=cos α-33sin α.
設平行四邊形ABOC的面積為S,
則S=OBAH=cosα-33sinαsin α
=sin αcos α-33sin2α=12sin 2α-36(1-cos 2α)
=12sin 2α+36cos 2α-36
=1332sin2α+12cos2α-36
=13sin2α+π6-36.
由于0<α<π3,
∴當2α+π6=π2,
即α=π6時,S最大=13-36=36.
∴當A是PQ的中點時,平行四邊形面積最大,最大面積為36.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375