北師大版高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案《分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理》

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1、 1．1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 學(xué)習(xí)目標：：①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理； ②會利用兩個原理提示和解決一些簡單的應(yīng)用問題； 學(xué)習(xí)重點：分類計數(shù)原理(加法原理)與分步計數(shù)原理(乘法原理) 學(xué)習(xí)難點：分類計數(shù)原理(加法原理)與分步計數(shù)原理(乘法原理)的準確理解 自主學(xué)習(xí) 1 分類加法計數(shù)原理 問題1：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？ 問題2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 思考

2、：你能說說以上兩個問題的特征嗎？ （2）歸納結(jié)論:分類加法計數(shù)原理 2 分步乘法計數(shù)原理 問題3：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯數(shù)字，以,,…，,,…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？ 用列舉法可以列出所有可能的號碼： 思考：你能說說這個問題的特征嗎？ （2）歸納結(jié)論:分步乘法計數(shù)原理 3．注意：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點 ①相同點：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題 ②不同點：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨立，各類中的各

3、種方法也相對獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事，是獨立完成；而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成. 展示交流 例1. 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書. ①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？ ②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？ 例2 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩

4、邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？ 例3.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母 A～G 或 U～Z , 后兩個要求用數(shù)字1～9．問最多可以給多少個程序命名？ 提示：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第 1 步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符．而首字符又可以分為兩類． 拓展鞏固 1. .書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書． （1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？ （2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？ （3）若從這些書中取不同的科目的

5、書兩本，有多少種不同的取法？ 2 .如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 反思與收獲： 1．2．1排列 學(xué)習(xí)目標：知道排列數(shù)的意義，記住排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想，并能運用排列數(shù)公式進行計算。 學(xué)習(xí)重點：排列、排列數(shù)的概念 學(xué)習(xí)難點：排列數(shù)公式的推導(dǎo) 自主學(xué)習(xí)： 問題1．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項活動，其中一名同學(xué)參加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？ 提示：解

6、決這一問題可分兩個步驟： 第 1 步，確定參加上午活動的同學(xué)，從 3 人中任選 人，有 種方法；第 2 步，確定參加下午活動的同學(xué)，當參加上午活動的同學(xué)確定后，參加下午活動的同學(xué)只能從余下的 人中去選，于是有 種方法． 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，在 3 名同學(xué)中選出 2 名，按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有 × = 種 問題2．從1,2,3,4這 4 個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？ 提示：解決這個問題分三個步驟： 第一步先確定左邊的數(shù)，在4個字母中任取 個，有

7、 種方法； 第二步確定中間的數(shù)，從余下的 個數(shù)中取，有 種方法； 第三步確定右邊的數(shù)，從余下的 個數(shù)中取，有 種方法 由分步計數(shù)原理共有： × × = 種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法 結(jié)論：排列的概念：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列 說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列； （2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同 排列數(shù)的定義：從個不

8、同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示 注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指：從個不同元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列 排列數(shù)公式 全排列： 全排列數(shù)：（叫做n的階乘）規(guī)定 0! =1 . 合作探究 例1．某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，共進行多少場比賽？

9、 展示交流： 練習(xí)1(1）從5本不同的書中選 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ (2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？ 練習(xí)2．用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？提示：在本問題的。到 9 這 10 個數(shù)字中，因為。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此。是一個特殊的元素．一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題 反思與收獲 1．2．2組合 學(xué)習(xí)目標：理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合。

10、明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題。 學(xué)習(xí)重點：組合的概念和組合數(shù)公式 學(xué)習(xí)難點：組合的概念和組合數(shù)公式 自主學(xué)習(xí) 問題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？ 問題2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？ 組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合 說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同 組合數(shù)的概念：

11、 組合數(shù)公式 規(guī)定: . 合作探究 例1．判斷下列問題是組合還是排列 （1）在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線上，有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？ （2）高中部11個班進行籃球單循環(huán)比賽，需要進行多少場比賽？ （3）從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù)，有多少種不同的選法？選出三人參加某項勞動，有多少種不同的選法？ （4）10個人互相通信一次，共寫了多少封信？ （5）10個人互通電話一次，共多少個電話？ 問題：（1）1、2、3和3、1、2是相同的組合嗎？（2）什么樣的兩個

12、組合就叫相同的組合 例2． 一位教練的足球隊共有 17 名初級學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人．問： (l)這位教練從這 17 名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案？ (2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？ 展示交流： 例3．（1）平面內(nèi)有10 個點，以其中每2 個點為端點的線段共有多少條？ (2）平面內(nèi)有 10 個點，以其中每 2 個點為端點的有向線段共有多少條？ 例4．在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品，2

13、件次品．從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件 . (1）有多少種不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？ 拓展鞏固 1．4名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人社會實踐活動小組，問組成方法共有多少種？ 2．一個口袋內(nèi)裝有大小不同的7個白球和1個黑球， （1）從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？ （2）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？ （3）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？ 反思與收獲： 1．3．1

14、二項式定理 學(xué)習(xí)目標：記住二項式定理和二項展開式的通項公式 學(xué)習(xí)重點：二項式定理及通項公式的記住及運用 學(xué)習(xí)難點：二項式定理及通項公式的記住及運用 自主學(xué)習(xí)： ⑴； ⑵ ⑶． 二項式定理： ⑴的展開式的各項都是次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項： ，，…，，…，， ⑵展開式各項的系數(shù)： 每個都不取的情況有種，即種，的系數(shù)是； 恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，……， 恰有個取的情況有種，的系數(shù)是，……， 有都取的情況有種，的系數(shù)是， ∴， 這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫的二項展開式，⑶它有項，各項的系數(shù)叫二項式系數(shù)， ⑷叫二項展開式的通項，用

15、表示，即通項． ⑸ 特例： 合作探究 例1．展開． 例2．求的展開式中的倒數(shù)第項 展示交流： 例3．展開． 例4．求（1），（2）的展開式中的第項． 拓展鞏固 1．（1）求的展開式常數(shù)項； （2）求的展開式的中間兩項 2．（1）求的展開式的第4項的系數(shù)； （2）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù) 反思與收獲： 課題：1. 2 排列與組合 【使用說明】獨立完成導(dǎo)學(xué)案所設(shè)計的問題，并在不會或有疑問的地方用紅筆標出，規(guī)范書寫. 課上小組合作探究完成，并及時用紅筆糾錯，補充. 【學(xué)習(xí)目標】 掌握排列、組合問題的解題

16、策略 【學(xué)習(xí)重點】 （1）特殊元素優(yōu)先安排的策略： （2）合理分類與準確分步的策略； （3）排列、組合混合問題先選后排的策略； （4）正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略； （5）相鄰問題捆綁處理的策略； （6）不相鄰問題插空處理的策略。 【學(xué)習(xí)難點】 綜合運用解題策略解決問題。 【學(xué)習(xí)過程】 一、方法介紹 排列問題的應(yīng)用題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，也是高考的必考內(nèi)容,筆者在教學(xué)中排列 問題歸納為三種類型來解決： 特殊方法： （1）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。 （2）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合

17、粘成小組，組內(nèi)外分別排列。 （3）插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實位，在空位上進行排列。 二、合作探究 （一）.能排不能排排列問題(即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題) 解決此類問題的關(guān)鍵是特殊元素或特殊位置優(yōu)先.或使用間接法．（特殊優(yōu)先） 1.（1）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？ (2)7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ (3)7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？ (4)7位同學(xué)站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種？ 2

18、.某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？ （二）.相鄰不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題) 相鄰排列問題一般采用大元素法,即將相鄰的元素“捆綁”作為一個元素，再與其他元素進行排列，解答時注意“釋放”大元素，也叫“捆綁法”．不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題)一般采用“插空法”． 3．7位同學(xué)站成一排， (1)甲、乙和丙三同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？ (2)甲、乙和丙三名同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？ （3）甲、乙兩同學(xué)間恰好間隔2人的排法共有多

19、少種？ （三）.機會均等排列問題(即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題)解決機會均等排列問題通常是先對所有元素進行全排列,再借助等可能轉(zhuǎn)化，即乘以符合要求的某兩（或某些）元素按特定的方式或順序排列的排法占它們（某兩（或某些）元素）全排列的比例，稱為“等機率法”；或?qū)⑻囟樞虻呐帕袉栴}理解為組合問題加以解決. 4. 7位同學(xué)站成一排． (1)甲必須站在乙的左邊? (2)甲、乙和丙三個同學(xué)由左到右排列? 三、反饋練習(xí) 1.（2005遼寧卷）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共

20、有 個.（用數(shù)字作答） 2.（2004. 重慶理）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為 （ ） A． B． C． D． 3.（2003京春理）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） A.42 B.30

21、 C.20 D.12 4. 7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。 （1）甲排中間；（2）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰； （4）甲在乙的左邊（不要求相鄰）；（5）甲，乙，丙連排； （6）甲，乙，丙兩兩不相鄰。 對排列組合中的“分配”問題的探究 一、方法介紹 （1）、解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能夠熟練確定一個問題是排列還是組合問題，牢記排列數(shù)和組合數(shù)的公式以及組合數(shù)的性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯誤主要是在分類的過程中，標準不明確，前后不統(tǒng)一，要么重復(fù)，要么遺漏，因此在解題時要認真的分析題目的條件，作出正確的分類或分步；

22、 （2）、解決排列組合綜合問題時，要注意 ① 把具體問題轉(zhuǎn)化為排列或組合問題。 ② 通過分析確定是采用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理。 ③ 分析題目的條件，避免選取時重復(fù)或遺漏。 ④ 列處計算公式，通過排列數(shù)或組合數(shù)公式計算結(jié)果。 下面對排列組合中的“分配”問題做出簡單的探究 排列組合中的“分配”問題是排列組合中的一類常見問題，如：教師分配到班級中教學(xué)；護士、醫(yī)生分配的學(xué)校給學(xué)生查體；小球放置在有標號的盒子里等都是排列組合中的常見“分配問題”；下面通過例題，對常見的幾種“分配”問題簡單作出探究： 二、合作探究 （一）.相同元素的“分配”問題 1.有10名三好學(xué)生名額，分配到高

23、三年級的6個班，每班至少一個名額，共有多少種不同的分配方案？ （二）.不同元素的“分配”問題 分析：不同元素的“分配”問題，有時比較容易混淆，作為分配問題，可以分兩步來完成，先分組后發(fā)放的原則，這樣就對分配問題有更加明確的理解； 2.有不同的6本書分別分給甲、乙、丙三人， ⑴如果甲1本，乙2本，丙3本有多少種方法？ ⑵如果一人1本，一人2本，一人3本，共有多少種方法？ ⑶平均分成3堆，每堆2本，共有多少種分法？ ⑷如果每人2本，共有多少種分法？ 3.把6個不同的小球放在編號為的三個盒子里，要求每個盒子都不空，共多少種不同的方法？ 對排

24、列組合中的“分配”問題練習(xí) 1. 4.把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是（ ） A．168 B．96 C．72 D．144 2．若，則等于 （A） 14 12 13 15 3.用0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，2，4不相鄰的有 （B） 360個 408個 504個 576個 4.某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選取會英語和日語的各一人，則不同的選法有________種. 5．從6名短跑運動員中

25、選出4人參加4 × 100米接力賽，如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方案有 A．180種 B．240種 C．300種 D．360種 6.書架上原有5本書，再放上2本，但要求原有書的相對順序不變，則不同的放法有_____________種. 7.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，其中 （1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？ （2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？ （3）甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？ （4）隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？ 8.有6本不同的

26、書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？ （1）分成1本、2本、3本三組； （2）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； （3）分成每組都是2本的三組； （4）分給甲、乙、丙三人，每人2本. 9.課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？ （1）只有一名女生； （2）兩隊長當選； （3）至少有一名隊長當選； （4）至多有兩名女生當選. 10.有兩排座位，前排11個座位，后排

27、12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，共有多少種不同排法？ 11.某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，求該外商不同的投資方案有多少種？ 12. 有7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下各有不同站法多少種？（1）2名女生必須相鄰而站；（2）4名男生互不相鄰；（3）老師不站中間，女生不站兩端。 1．3．2“楊輝三角”與二項式

28、系數(shù)的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標：記住二項式系數(shù)的四個性質(zhì)。 學(xué)習(xí)重點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題 學(xué)習(xí)難點：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題 自主學(xué)習(xí) 1二項式系數(shù)表（楊輝三角） 展開式的二項式系數(shù)，當依次取…時，二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和 2．二項式系數(shù)的性質(zhì)： 展開式的二項式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是，性質(zhì)： （1） ．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等 圖象的對稱軸 ． （2） ． 當時，二項式系數(shù)逐漸增大．由對稱性

29、知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值； 當是偶數(shù)時， 取得最大值；當是奇數(shù)時， 取得最大值． （3）各二項式系數(shù)和： 合作探究： 例1．在的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和 例2．已知，求： （1）； （2）； （3）. 展示交流： 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù) 例4.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù) 拓展鞏固 1．若對于任意實數(shù)，有，則的值為（ ） A． B． C． D． 2．如果 的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為（　） A.3 B.5 C.6 D.10 5． 的展開式中常數(shù)項為 　　　　　 ．（用數(shù)字作答） 6．若的二項展開式中的系數(shù)為，則　　　（用數(shù)字作答）． 反思與收獲： 15