《(浙江專(zhuān)版)2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題2.9 函數(shù)的綜合問(wèn)題與實(shí)際應(yīng)用(講).doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專(zhuān)版)2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題2.9 函數(shù)的綜合問(wèn)題與實(shí)際應(yīng)用(講).doc(15頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第09節(jié) 函數(shù)的綜合問(wèn)題與實(shí)際應(yīng)用
【考綱解讀】
考 點(diǎn)
考綱內(nèi)容
5年統(tǒng)計(jì)
分析預(yù)測(cè)
函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
能將一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題,并給予解決.
2014?浙江理10;
2015?浙江文20;理18;
2016?浙江文12,20;理18;
2017?浙江17.;
2018?浙江7,11,15.
1.會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出函數(shù)模型,進(jìn)而利用函數(shù)知識(shí)求解;
2.函數(shù)的綜合應(yīng)用.
3.常與二次函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯.
4.備考重點(diǎn)
(1)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及其他函數(shù)模型.
(2)函數(shù)的綜合應(yīng)用.
【知識(shí)清單】
1. 常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型
(1)一次函數(shù)模型:y=kx+b(k≠0).
(2)反比例函數(shù)模型:y=(k≠0).
(3)二次函數(shù)模型:y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).
(4)指數(shù)函數(shù)模型:y=abx+c(b>0,b≠1,a≠0).
(5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0).
2.指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪函數(shù)三種增長(zhǎng)型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
性質(zhì)
y=ax
(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xn
(n>0)
在(0,+∞)
上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長(zhǎng)速度
越來(lái)越快
越來(lái)越慢
相對(duì)平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax
200時(shí),y>5,不滿(mǎn)足公司的要求;
(2)對(duì)于y=1.003x,易知滿(mǎn)足①,但當(dāng)x>538時(shí),不滿(mǎn)足公司的要求;
(3)對(duì)于y=ln x+1,易知滿(mǎn)足①.
當(dāng)x∈[10,1 000]時(shí),y≤ln 1 000+1.
下面證明ln 1 000+1<5.
∵ln 1 000+1-5=ln 1 000-4=(ln 1 000-8)=(ln 1 000-ln 2 981)<0,滿(mǎn)足②.
再證明ln x+1≤x25%,即2ln x+4-x≤0.
設(shè)F(x)=2ln x+4-x,則F′(x)=-1=<0,x∈[10,1 000],
∴F(x)在[10,1 000]上為減函數(shù),F(xiàn)(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)<0,滿(mǎn)足③.
綜上,獎(jiǎng)勵(lì)模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.
考點(diǎn)5 函數(shù)的綜合應(yīng)用
【5-1】【2018年浙江卷】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題:“今有雞翁一,值錢(qián)五;雞母一,值錢(qián)三;雞雛三,值錢(qián)一,凡百錢(qián),買(mǎi)雞百只,問(wèn)雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個(gè)數(shù)分別為,,,則當(dāng)時(shí),___________,___________.
【答案】 8 11
【解析】分析:將z代入解方程組可得x,y值.
詳解:
點(diǎn)睛:實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化,利用所學(xué)的知識(shí)將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì),是解決這類(lèi)問(wèn)題的突破口.
【5-2】【騰遠(yuǎn)2018年(浙江卷)紅卷】已知函數(shù),函數(shù).若對(duì)任意的,都存在,使得成立,則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】分析:由題意,若對(duì)任意的,都存在,使得成立,即有成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式,分別求解函數(shù)和的最小值,得到不等式,即可求解.
詳解:因?yàn)楹瘮?shù),所以,
由題意,若對(duì)任意的,都存在,使得成立,
即有成立,
又由,
因?yàn)?,且?
所以,當(dāng)時(shí)取等號(hào),即的最小值為,
所以,解得,即的取值范圍是.
【5-3】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1,
設(shè).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
(Ⅱ)由已知可得,所以可化為,
化為,令,則,因,故,
記,因?yàn)椋剩?
所以的取值范圍是.
【領(lǐng)悟技法】
1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法:(1)直接求零點(diǎn),令f(x)=0,有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn);(2)零點(diǎn)存在性定理,要求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)f(b)<0,再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出兩函數(shù)圖象,觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù).
2.求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求分段函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)先求每一段上的最值,然后比較得最大值、最小值.
【觸類(lèi)旁通】
【變式一】【2017天津,文8】已知函數(shù)設(shè),若關(guān)于的不等式在上恒成立,則的取值范圍是( )
(A)(B)(C)(D)
【答案】
【解析】
【變式二】已知函數(shù),當(dāng)時(shí),設(shè)的最大值為,則的最小值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】設(shè),則,由于,則,所以將以上三式兩邊相加可得,即,應(yīng)填答案.
【易錯(cuò)試題常警惕】
易錯(cuò)典例:如圖所示,在矩形中,已知,(,在、、、上分別截取、、、都等于,當(dāng)為何值時(shí),四邊形的面積最大?求出這個(gè)最大面積.
易錯(cuò)分析:忽略了實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍,,由于,所以當(dāng)時(shí),
自變量不能取到,面積不能取得最大值.
綜上所述,若,當(dāng)時(shí)面積取得最大值;
若,當(dāng)時(shí)面積取得最大值.
溫馨提醒:解決此類(lèi)問(wèn)題,關(guān)鍵是利用已知條件,建立函數(shù)模型,然后化簡(jiǎn)整理函數(shù)解析式.
【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】
數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬(wàn)事休——數(shù)形結(jié)合思想
我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):"數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬(wàn)事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為,數(shù)形結(jié)合,主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái),通過(guò)"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
向量的幾何表示,三角形、平行四邊形法則,使向量具備形的特征,而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算又具備數(shù)的特征,因此,向量融數(shù)與形于一身,具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此,在應(yīng)用向量解決問(wèn)題或解答向量問(wèn)題時(shí),要注意恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、將抽象問(wèn)題具體化,達(dá)到事半功倍的效果.
利用函數(shù)處理方程解的問(wèn)題,方法如下:
(1)方程f(x)=a在區(qū)間I上有解?a∈{y|y=f(x),x∈I}?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上有交點(diǎn).
(2)方程f(x)=a在區(qū)間I上有幾個(gè)解?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上有幾個(gè)交點(diǎn).
一般地,在探究方程解的個(gè)數(shù)或已知解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍時(shí),常采用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,從而可利用數(shù)形結(jié)合的方法給予直觀解答.
【典例】【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二?!恳阎瘮?shù)滿(mǎn)足,當(dāng)時(shí),,若在區(qū)間上方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:首先根據(jù)題意,求得函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的解析式,之后在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖像,之后將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,結(jié)合圖形,得到結(jié)果.
詳解:當(dāng)時(shí),, ,
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出的圖像,
動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn),當(dāng)再過(guò)時(shí),斜率,
由圖象可知當(dāng)時(shí),兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
從而有兩個(gè)不同的零點(diǎn),故選D.
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