高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2 任意角的三角函數(shù)學(xué)案 蘇教版必修4.doc

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任意角的三角函數(shù) 一、考點突破 知識點 課標要求 題型 說明 任意角的三角函數(shù) 1. 理解三角函數(shù)的定義，會使用定義求三角函數(shù)值； 2. 會判斷給定角的三角函數(shù)值的符號； 3. 會利用三角函數(shù)線比較兩個同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍 選擇題 填空題 任意角的三角函數(shù)在高考中屬于基礎(chǔ)題，以選擇填空形式出現(xiàn)。注意三角函數(shù)的幾何應(yīng)用—三角函數(shù)線 二、重難點提示 重點：三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線。 難點：用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切。 一、任意角的三角函數(shù)的定義 在平面直角坐標系中，設(shè)α的終邊上任意一點P的坐標是（x，y），并記|OP|＝r（此時r＝>0），那么， （1）比值叫做的正弦，記做，即； （2）比值叫做的余弦，記做，即； （3）比值叫做的正切，記做，即。 注意：三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P（x，y）在終邊上的位置無關(guān)，只由角α的終邊位置確定，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)。 二、三角函數(shù)在各象限的符號 根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)在各象限的符號如下圖： 技巧點撥：口訣：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”。 三、三角函數(shù)線 （1）有向線段：規(guī)定了方向的線段。 （2）三角函數(shù)線 【核心歸納】 （1）三角函數(shù)線的定義： 正弦線、余弦線、正切線分別是正弦、余弦、正切函數(shù)的幾何表示，這三種線段都是與單位圓有關(guān)的有向線段，這些特定的有向線段的數(shù)量可以用來表示三角函數(shù)值，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。 （2）特殊情況： 當角的終邊在軸上，正弦線、正切線分別變成了一個點，其數(shù)量為0；當角的終邊在軸上，余弦線變成了一個點，其數(shù)量為0，正切線不存在。 （3）三角函數(shù)線的主要作用 解三角不等式及比較同角異名三角函數(shù)值的大小，同時它也是以后學(xué)習三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)。 例題1 （青島）已知角θ的終邊上有一點P（－，m），且sin θ＝m，求cos θ與tan θ的值。 思路分析：先利用三角函數(shù)定義sin θ＝，求出m的值，再用公式cos θ＝，tan θ＝代入數(shù)據(jù)求解。 答案：由已知r＝＝， ∴，解得m＝0，或m＝， （1）當m＝0時，cos θ＝－1，tan θ＝0； （2）當m＝時，cos θ＝－，tan θ＝－； （3）當m＝－時，cos θ＝－，tan θ＝。 技巧點撥： 1. 利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值需明確三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r。 2. 當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論。 例題2 在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊范圍，并由此寫出角α的集合。 （1）sin α≥；（2）cos α≤－。 思路分析：根據(jù)三角函數(shù)線，在單位圓中首先作出滿足sin α＝，cos α＝－的角的終邊，然后由已知條件確定角α的終邊范圍。 答案：（1）作直線y＝交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域（如圖①陰影部分）即為角α的終邊的范圍， 故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}， （2）作直線x＝－交單位圓于C，D兩點，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域（如圖②陰影部分）即為角α的終邊的范圍， 故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}。 技巧點撥：三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的有力工具。 忽視角所在象限的討論致誤 【滿分訓(xùn)練】已知角α的頂點在原點上，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上一點的坐標為（3a，4a）（a≠0），求角α的正弦值和正切值。 錯解：由題意得x＝3a，y＝4a， 所以r＝＝＝5a， 所以sin α＝＝＝，tan α＝＝＝。 錯因分析：本題中點的坐標含參數(shù)，當a＞0時，該點在第一象限，即角α的終邊在第一象限；當a＜0時，該點在第三象限，即角α的終邊在第三象限，故應(yīng)對a的取值范圍進行分類討論。 防范措施：根據(jù)角的終邊上一點的坐標求三角函數(shù)值時，若坐標中含有字母，則應(yīng)分類討論。 正解：由題意得x＝3a，y＝4a， 所以r＝＝＝5|a|， 若a＞0，則r＝5a， 所以sin α＝， tan α＝＝＝； 若a＜0，則r＝－5a， 所以sin α＝＝＝－， tan α＝＝＝。 技巧點撥：開方運算時注意這一結(jié)論。