(浙江專版)2019年高考數(shù)學一輪復習 專題2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性(講).doc
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第03節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 函數(shù)的奇偶性與周期性 理解函數(shù)的奇偶性,會判斷函數(shù)的奇偶性,了解函數(shù)的周期性. 2018浙江.5 1.判斷函數(shù)的奇偶性與周期性; 2.函數(shù)的奇偶性、周期性,通常與抽象函數(shù)、函數(shù)的圖象以及函數(shù)的單調(diào)性結合考查,浙江卷常通過三角函數(shù)加以考查. 3.備考重點: (1) 抽象函數(shù)的奇偶性與周期性; (2)利用奇偶性與周期性求參數(shù)取值范圍. 【知識清單】 1.函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關于原點對稱 對點練習 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 【重點難點突破】 考點1 函數(shù)奇偶性的判斷 【1-1】【浙江省杭州市學軍中學2018年5月模擬】函數(shù),則 ( ) A. 是非奇非偶函數(shù) B. 奇偶性與有關 C. 奇偶性與有關 D. 以上均不對 【答案】A 點睛:(1)本題主要考查函數(shù)奇偶性的判定,意在考查學生對該基礎知識的掌握能力.(2)判斷函數(shù)的奇偶性常用定義法,首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關于原點對稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù);如果函數(shù)的定義域關于原點對稱,則繼續(xù)求;最后比較和的關系,如果有=,則函數(shù)是偶函數(shù),如果有=-,則函數(shù)是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù). 【1-2】【山東省青島市2018年春季高考二?!肯铝泻瘮?shù)是偶函數(shù)的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:利用偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性. 詳解:對于選項A,,所以函數(shù)是偶函數(shù). 【領悟技法】 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件: (1)定義域關于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域; (2)判斷與是否具有相等關系或者相反關系. 在判斷奇偶性的運算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關系式 (奇函數(shù))或 (偶函數(shù))是否成立. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆河南省南陽市第一中學高三第二十次考】若函數(shù)為偶函數(shù),則__________. 【答案】或 【解析】分析:根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù),觀察其特征,可得為奇函數(shù),結合奇函數(shù)的特征,若奇函數(shù)在0點有定義,可得一定有,得到相應的關系式,求得結果. 詳解:令,根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù), 可知為奇函數(shù),利用, 可得,所以或. 【變式二】【2017北京,理5】已知函數(shù),則 (A)是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù) (B)是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù) (C)是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù) (D)是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù) 【答案】A 【解析】,所以函數(shù)是奇函數(shù),并且是增函數(shù), 是減函數(shù),根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù),所以函數(shù)是增函數(shù),故選A. 考點2 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及應用 【2-1】【2018年浙江卷】函數(shù)y=sin2x的圖象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【2-2】【2018年理數(shù)全國卷II】已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若,則 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析:先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期,再根據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結果. 詳解:因為是定義域為的奇函數(shù),且,所以,因此,因為,所以,,從而,選C. 點睛:函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解. 【2-3】【2017課標1,理5】函數(shù)在單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若,則滿足的的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【領悟技法】 1.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式. 抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性產(chǎn)生關于的方程,從而可得的解析式. 2.已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù).常常采用待定系數(shù)法:利用產(chǎn)生關于字母的恒等式,由系數(shù)的對等性可得知字母的值. 3.奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反. 【觸類旁通】 【變式一】【2018年理數(shù)全國卷II】函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 點睛:有關函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象左右的位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;②由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;③由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;④由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復. 【變式二】【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】設函數(shù),其中表示中的最小者.下列說法錯誤的( ) A. 函數(shù)為偶函數(shù) B. 若時,有 C. 若時, D. 若時, 【答案】D 【解析】分析:的圖像可由三個函數(shù)的圖像得到(三圖壘起,取最下者),然后依據(jù)圖像逐個檢驗即可. 詳解:在同一坐標系中畫出的圖像(如圖所示), 故的圖像為圖中粗線所示. 的圖像關于軸對稱,故為偶函數(shù),故A正確. 當時,,; 當時,,; 當時,,; 當時,,此時有,故B成立. 從圖像上看,當時,有成立,令,則,故,故C成立. 取,則,,,故D不成立. 綜上,選D. 點睛:一般地,若(其中表示中的較小者),則的圖像是由這兩個函數(shù)的圖像的較低部分構成的. 【變式三】【2018屆黑龍江省雙鴨山市第一中學9月月考】定義在上的偶函數(shù) ,當時,,且在上恒成立,則關于的方程的根的個數(shù)敘述正確的是( ) A. 有兩個 B. 有一個 C. 沒有 D. 上述情況都有可能 【答案】A 【解析】 【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對稱性以及函數(shù)圖象的應用,屬于難題.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式,它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì),為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性.歸納起來,圖象的應用常見的命題探究角度有:1、確定方程根的個數(shù);2、求參數(shù)的取值范圍;3、求不等式的解集;4、研究函數(shù)性質(zhì).解答本題的關鍵是根據(jù)把在上恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象位于的圖象上方,然后求出,再利用數(shù)形結合將方程f(2x+1)=t的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象和直線的交點. 考點3 函數(shù)周期性及綜合應用 【3-1】【陜西省咸陽市2018年5月高考信息專遞】已知奇函數(shù)滿足,則( ) A. 函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) B. 函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) C. 函數(shù)是奇函數(shù) D. 函數(shù)是偶函數(shù) 【答案】B 【解析】分析: 根據(jù)題意,由奇函數(shù)的定義可得f(﹣x)=﹣f(x),又由f(x+1)=f(1﹣x),分析可得f(x+2)=﹣f(x),進而可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),由函數(shù)周期性的定義分析可得答案. 詳解: 根據(jù)題意,定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù), 則滿足f(﹣x)+f(x)=0,即f(﹣x)=﹣f(x), 又由, 則f(x+2)=f[1+(x+1)]=f[1﹣(x+1)]=f(﹣x)=﹣f(x),即f(x+2)=﹣f(x), f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x), 故函數(shù)的周期為4, 故選:B. 【3-2】【2018屆廣東省東莞市考前沖刺】已知奇函數(shù)滿足,且當時,,則( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由題意,推出,從而得到,再由時,和函數(shù)的奇偶性,即可計算結果. 詳解:因為函數(shù)為奇函數(shù)滿足, 所以,即函數(shù)表示以為周期的周期函數(shù), 因為當時,, 所以,故選D. 【3-3】【2018年江蘇卷】函數(shù)滿足,且在區(qū)間上, 則的值為________. 【答案】 【解析】分析:先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間,代入對應函數(shù)解析式求值,再代入對應函數(shù)解析式求結果. 詳解:由得函數(shù)的周期為4,所以因此 【領悟技法】 1.求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法,形如y=Asin(ωx+φ),用公式T=計算.遞推法:若f(x+a)=-f(x),則f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以周期T=2a.換元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,x=t+a,則f(t)=f(t+2a),所以周期T=2a. 2.判斷函數(shù)的周期只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題. 3.根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問題時,要注意結論:若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期. 4.關于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題,關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想. 【觸類旁通】 【變式一】【2017湖南統(tǒng)一考試】已知定義域為的奇函數(shù)滿足,且當時, ,則( ) A. -2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】因為奇函數(shù)滿足,所以,即周期為3,所以 ,故選D. 【變式二】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),則f(2 017)+f(2 019)的值為( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 【答案】C 【解析】由題意,得, 又∵是定義在R上的偶函數(shù),是定義在R上的奇函數(shù),∴,, ∴,即. ∴. 【變式三】【【衡水金卷】2018屆四省名校第三次大聯(lián)考】已知為定義在上周期為2的奇函數(shù),當時,,若,則( ) A. 6 B. 4 C. D. 【答案】A 【易錯試題常警惕】 易錯典例1:若函數(shù)f(x)=在定義域上為奇函數(shù),則實數(shù)k=________. 易錯分析:解題中忽視函數(shù)f(x)的定義域,直接通過計算f(0)=0得k=1. 正確解析:∵, ∴ ,由可得,∴. 溫馨提醒:已知函數(shù)的奇偶性,利用特殊值確定參數(shù),要注意函數(shù)的定義域. 易錯典例2:定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),T是它的一個正周期.若將方程f(x)=0在閉區(qū)間[-T,T]上的根的個數(shù)記為n,則n可能為 ( ) A.0 B.1 C.3 D.5 易錯分析:沒有經(jīng)過嚴密的邏輯分析,直接根據(jù),就想當然地認為方程的根的個數(shù)就只有3個. 溫馨提醒:對于抽象函數(shù)要善于找具體的“函數(shù)模型”,聯(lián)想其性質(zhì)去推證欲證的函數(shù)性質(zhì),但不能用具體函數(shù)代替去解決問題;解決“抽象函數(shù)”問題一般采用賦值法,本題可聯(lián)系的圖象和性質(zhì)類比解題. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結合百般好,隔裂分家萬事休——數(shù)形結合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結合百般好,隔裂分家萬事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性.我們認為,數(shù)形結合,主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系.數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來,通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結合,可以使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示,三角形、平行四邊形法則,使向量具備形的特征,而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征,因此,向量融數(shù)與形于一身,具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此,在應用向量解決問題或解答向量問題時,要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結合思想,將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化,達到事半功倍的效果. 【典例】【2018屆吉林省吉大附中四?!恳阎x域為的函數(shù)既是奇函數(shù),又是周期為3的周期函數(shù),當時, ,則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是__________. 【答案】9 【解析】分析:根據(jù)定義域為R和奇函數(shù)的定義可得 ,利用周期為3和時, 可畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像判定零點個數(shù)。 詳解: 因為函數(shù)定義域為R,周期為3,所以 如圖所示,畫出函數(shù)的函數(shù)圖像,由圖像可知 在 上的零點為 所以共有9個零點- 配套講稿:
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