高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)4 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 新人教A版必修5

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(四)　解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖1­2­9，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4 m，∠A＝30°，則其跨度AB的長(zhǎng)為(　　) 圖1­2­9 A．12 m　　　　　　 B．8 m C．3 m D．4 m D　[由題意知，∠A＝∠B＝30°， 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，＝， 即AB＝＝＝4.] 2．一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一

2、座燈塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432052】 A. n mile/h B．34 n mile/h C. n mile/h D．34 n mile/h A　[如圖所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝ n mile/h.] 3．如圖1­2­10，要測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°

3、;，則A，B間距離是(　　) 圖1­2­10 A．20米 B．20米 C．20米 D．40米 C　[可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20(米)．] 4．在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20 m，則建筑物高度為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432053】 A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m C　[如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△B

4、OD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20， 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．] 5．如圖1­2­11所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，則建筑物的高度為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432054】 圖1­2­11 A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m D　[設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知， PA＝2h，PB＝h，P

5、C＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理， 得cos∠PBA＝， ① cos∠PBC＝. ② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度為30 m．] 二、填空題 6．有一個(gè)長(zhǎng)為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30

6、76;，則坡底要伸長(zhǎng)________千米． 　[如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1， ∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°. 在△ABC中，＝， ∴AC＝＝＝(千米)．] 7．如圖1­2­12，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1 km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________ km. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432055】 圖1­2­12 　[在△ABC中，易得A＝30&

7、#176;，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．] 8．如圖1­2­13所示，為測(cè)量一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)測(cè)得樹尖的仰角分別為30°和45°，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60 m，則樹的高度為________m. 圖1­2­13 30＋30　[由正弦定理可得＝， 則PB＝＝(m)，設(shè)樹的高度為h，則h＝PBsin 45°＝(30＋30)m.] 三、解答題 9.在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)，在兩個(gè)相距為的軍事基地C處和D處測(cè)得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在

8、A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖1­2­14所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離． 圖1­2­14 [解]　法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°. ∴AD＝CD＝a. 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， ∵＝， ∴BD＝CD·＝a·＝a，在△ADB中， ∵AB2＝AD2

9、＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝a2＋2－2×a·a·＝a2. ∴AB＝a. ∴藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離為a. 法二：同法一，得AD＝DC＝AC＝a. 在△BCD中，∠DBC＝45°， ∴＝. ∴BC＝a. 在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45° ＝a2＋a2－2×a·a·＝a2， ∴AB＝a. ∴藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離為a. 10．江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45&

10、#176;和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，求兩條船之間的距離. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432056】 [解]　如圖所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°. ∵AB＝30(m)， ∴BC＝30(m)， 在Rt△ABD中，BD＝＝30(m)． 在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900， ∴CD＝30(m)，即兩船相距30 m. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．如圖1­2­15，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為7

11、5°，30°，此時(shí)氣球的高度AD是60 m，則河流的寬度BC是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432057】 圖1­2­15 A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m C　[由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m， ∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．] 2．如圖1&#

12、173;2­16所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且在C，D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得∠BCD＝120°，C，D兩地相距500 m，則電視塔AB的高度是(　　) 圖1­2­16 A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m D　[設(shè)AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由

13、余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m．] 3．臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為________小時(shí). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432058】 1　[設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA， 即302＝x2＋402－2x·40cos 45°， 化簡(jiǎn)得x2－40x＋700＝0， |x1－x2|2＝(x1

14、＋x2)2－4x1x2＝400， |x1－x2|＝20， 即圖中的CD＝20(千米)， 故t＝＝＝1(小時(shí))．] 4．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距a n mile，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船的倍，則甲船應(yīng)沿________方向行駛才能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了________ n mile. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432059】 北偏東30°　a　[如圖所示，設(shè)在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時(shí)間為t，乙船的速度為v，則BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，則由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝， ∴∠CAB

15、＝30°，∴甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°， ∴BC＝AB＝a n mile， ∴AC＝ ＝＝a(n mile)] 5．山東省第三次農(nóng)業(yè)普查農(nóng)作物遙感測(cè)量試點(diǎn)工作，用上了無人機(jī)．為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，無人機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖1­2­17)，無人機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟．

16、 圖1­2­17 [解]　方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d. ②第一步：計(jì)算AM.由正弦定理AM＝； 第二步：計(jì)算AN.由正弦定理AN＝； 第三步：計(jì)算MN.由余弦定理 MN＝. 方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α2，β2；A，B間的距離d. ②第一步：計(jì)算BM.由正弦定理BM＝； 第二步：計(jì)算BN.由正弦定理BN＝； 第三步：計(jì)算MN.由余弦定理 MN＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375