高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程單元測試2 北師大版選修11

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1、 第二章 圓錐曲線與方程 (時間：100分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知橢圓＋＝1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3，則P到另一焦點的距離為(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 解析：選D.設(shè)另一個焦點為F，由橢圓定義知3＋|PF|＝10，∴|PF|＝7. 2．拋物線y＝－x2的焦點坐標(biāo)為(　　) A．(0，－) B．(－，0) C．(0，－) D．(0，－) 解析：選C.方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝－y，故其焦點坐標(biāo)為(0，－)． 3．雙曲

2、線x2－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于(　　) A. B. C．1 D. 解析：選B.雙曲線x2－y2＝1的頂點坐標(biāo)為(1，0)，漸近線為y＝x，∴xy＝0，∴頂點到漸近線的距離為d＝＝. 4．已知拋物線y＝2px2(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－4y－5＝0相切，則p的值為(　　) A．10 B．6 C. D. 解析：選C.拋物線方程可化為x2＝y(tǒng)(p>0)，由于圓x2＋(y－2)2＝9與拋物線的準(zhǔn)線y＝－相切，∴3－2＝，∴p＝. 5．已知中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為(　　) A．y＝2x B．y＝x C．y＝x

3、 D．y＝x 解析：選C.由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝x， e2＝＝1＋()2＝5，∴＝2，故漸近線方程為y＝x. 6．若直線l過點(3，0)與雙曲線4x2－9y2＝36只有一個公共點，則這樣的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：選C.雙曲線方程可化為－＝1，知(3，0)為雙曲線的右頂點，故符合要求的直線l有3條，其中一條是切線，另兩條是交線(分別與兩漸近線平行)． 7．已知定直線l與平面α成60角，點P是平面α內(nèi)的一動點，且點P到直線l的距離為3，則動點P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓的一部分 C．拋物線的一部分 D．橢圓

4、 解析：選D.以l為軸底面半徑為3的圓柱被與l成60的平面α所截，截線為橢圓． 8．設(shè)P為雙曲線x2－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，若|PF1|∶|PF2|＝5∶3，則△PF1F2的面積是(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 解析：選B.a＝1，c＝2，|PF1|－|PF2|＝2①，＝，② 由①②得|PF1|＝5，|PF2|＝3，又|F1F2|＝4， ∴∠PF2F1＝90， 故S△PF1F2＝|PF2||F1F2|＝34＝6. 9．已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點(0，2)的距離與點P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為(　　) A.

5、 B．3 C. D. 解析：選A.如圖所示，由拋物線的定義知，點P到準(zhǔn)線x＝－的距離d等于點P到焦點的距離|PF|.因此點P到點M(0，2)的距離與點P到準(zhǔn)線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點P到點M(0，2)的距離與點P到點F的距離之和，其最小值為點M(0，2)到點F的距離，則距離之和的最小值為 ＝. 10．橢圓＋＝1(a>b>0)的內(nèi)接矩形的最大面積的取值范圍是[3b2，4b2]，則該橢圓的離心率e的取值范圍是(　　) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 解析：選B.由對稱性知矩形中心在原點，且兩組對邊平行x軸，y軸，設(shè)矩形在第一象限的頂點坐標(biāo)為(x，y)(x>

6、0，y>0)， S矩形＝4xy＝2ab(2)≤2ab(＋)＝2ab∈[3b2，4b2]， ∴3b2≤2ab≤4b2，即≤≤，e2＝＝1－()2∈[，]，故e∈[，]． 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中橫線上) 11．橢圓＋＝1的一個焦點為(0，1)，則m＝________． 解析：由題意a2＝3－m，b2＝m2，又c＝1，∴12＝a2－b2＝3－m－m2，即m2＋m－2＝0， ∴m＝－2或m＝1，均滿足3－m>m2. 答案：－2或1 12．如圖，共頂點的橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為e1，e2，e3，e4，其大小關(guān)系為________．

7、 解析：對橢圓，離心率越小，橢圓越圓，∴0

8、c2＝4－2＝2，橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 15．拋物線y2＝2x上距點M(m，0)(m>0)最近的點恰好是拋物線的頂點，則m的取值范圍是________． 解析：設(shè)P(x，y)為拋物線上任一點，則|PM|2＝(x－m)2＋y2＝x2－2(m－1)x＋m2 ＝[x－(m－1)]2＋2m－1. ∵m>0，∴m－1>－1. 由于x≥0，且由題意知當(dāng)x＝0時，|PM|最小． 則對稱軸x＝m－1應(yīng)滿足－1

9、原點，焦點在x軸上，長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率． 解：設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，由題意知：2a＝18，2a＝6c，所以解得a＝9，c＝3，故b2＝a2－c2＝72，所以橢圓C的方程是＋＝1，離心率e＝＝＝. 17．(本小題滿分10分)k代表實數(shù)，討論方程kx2＋2y2－8＝0所表示的曲線． 解：當(dāng)k<0時，曲線－＝1為焦點在y軸上的雙曲線； 當(dāng)k＝0時，曲線2y2－8＝0為兩條平行于x軸的直線y＝2或y＝－2； 當(dāng)02時，曲線＋＝1為

10、焦點在y軸上的橢圓． 18．(本小題滿分10分)已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點． (1)求證：OA⊥OB； (2)當(dāng)△OAB的面積等于時，求k的值． 解： (1)證明：如圖所示，由方程組消去x后，整理，得ky2＋y－k＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2＝－1. ∵A，B在拋物線y2＝－x上， ∴y＝－x1，y＝－x2.∴yy＝x1x2. ∴kOAkOB＝＝＝＝－1， ∴OA⊥OB. (2)設(shè)直線AB與x軸交于點N，顯然k≠0. 令y＝0，則x＝－1，即N(－1，0)． ∵S△OAB＝S△OAN＋S

11、△OBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2| ＝|ON||y1－y2|， ∴S△OAB＝1 ＝ . ∵S△OAB＝， ∴＝ ， 解得k＝. 19．(本小題滿分12分)已知：雙曲線x2－2y2＝2的左、右焦點分別為F1、F2，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝4. (1)求：動點P的軌跡E的方程； (2)若M是曲線E上的一個動點，求|MF2|的最小值．并說明理由． 解：(1)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 且|PF1|＋|PF2|＝4>2， ∴P點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓， 且a＝2，c＝，從而b＝1.∴動點P的軌跡方程為＋y2＝1. (2)設(shè)M(x，y)

12、，則|MF2|＝， ∵＋y2＝1，∴y2＝1－，∴|MF2|＝＝＝. ∵M(jìn)∈E，∴x∈[－2，2]， ∴|MF2|＝2－x，x∈[－2，2]． 顯然|MF2|在[－2，2]上為減函數(shù)， ∴|MF2|有最小值2－. 20．(本小題滿分13分)如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值． 解：(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2， 直

13、線AB的方程為y＝－(x－c)， 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B， 所以|AB|＝＝c. 由S△AF1B＝|AF1||AB|sin∠F1AB＝ac＝a2＝40， 解得a＝10，b＝5. 法二：設(shè)|AB|＝t.因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60可得，t＝a. 由S△AF1B＝aa＝a2＝40知，a＝10，b＝5. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375