（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 概率隨機變量及其分布 11.1 隨機事件的概率與古典概型講義（含解析）.docx

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11.1　隨機事件的概率與古典概型 最新考綱 考情考向分析 1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別. 2.了解兩個互斥事件的概率加法公式. 3.理解古典概型及其概率計算公式. 4.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 以考查隨機事件、互斥事件與對立事件的概率為主，常與事件的頻率交匯考查.本節(jié)內(nèi)容在高考中三種題型都有可能出現(xiàn)，隨機事件的頻率與概率的題目往往以解答題的形式出現(xiàn)，互斥事件、對立事件的概念及概率常常以選擇、填空題的形式出現(xiàn). 1.概率和頻率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率. (2)對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A). 2.事件的關(guān)系與運算 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A或A?B 相等關(guān)系 若B?A且A?B A＝B 并事件(和事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(積事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝?，P(A)＋P(B)＝1 3.概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B). (5)對立事件的概率 若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝1－P(B). 4.基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 5.古典概型 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型. (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個； (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 6.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝. 7.古典概型的概率公式 P(A)＝. 概念方法微思考 1.隨機事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系？ 提示　隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機試驗中事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近. 2.隨機事件A，B互斥與對立有何區(qū)別與聯(lián)系？ 提示　當(dāng)隨機事件A，B互斥時，不一定對立，當(dāng)隨機事件A，B對立時，一定互斥. 3.任何一個隨機事件與基本事件有何關(guān)系？ 提示　任何一個隨機事件都等于構(gòu)成它的每一個基本事件的和. 4.如何判斷一個試驗是否為古典概型？ 提示　一個試驗是否為古典概型，關(guān)鍵在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性. 題組一　思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(　　) (2)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.(　√　) (3)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生.(　　) (4)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能的.(　　) (5)從市場上出售的標準為5005g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型.(　　) 題組二　教材改編 2.[P121T4]一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是(　　) A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶 C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶 答案　D 解析　“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”. 3.[P133T3]袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種， 則所求概率為P＝＝. 4.[P133T4]同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為________. 答案　 解析　擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共66＝36(種)可能的結(jié)果，其中點數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點數(shù)不相同的概率P＝1－＝. 題組三　易錯自糾 5.將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　) A.必然事件 B.隨機事件 C.不可能事件 D.無法確定 答案　B 解析　拋擲10次硬幣，正面向上的次數(shù)可能為0～10，都有可能發(fā)生，正面向上恰有5次是隨機事件. 6.安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　由題意可得，甲連續(xù)三天參加活動的所有情況為：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四種情況，∴所求概率P＝＝.故選B. 7.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為______. 答案　0.35 解析　∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65， ∴事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為 P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35. 題型一　隨機事件 命題點1　隨機事件的關(guān)系 例1　(1)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　) A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡 C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡 答案　A 解析　“至多有一張移動卡”包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件. (2)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出兩個球，事件A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為____________. ①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C). 答案?、佗? 命題點2　隨機事件的頻率與概率 例2　某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率. 解　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6450－4450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100， 所以，Y的所有可能值為900，300，－100. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8. 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 命題點3　互斥事件與對立事件 例3　一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球.從中隨機取出1球，求： (1)取出1球是紅球或黑球的概率； (2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率. 解　方法一　(利用互斥事件求概率) 記事件A1＝{任取1球為紅球}， A2＝{任取1球為黑球}， A3＝{任取1球為白球}， A4＝{任取1球為綠球}， 則P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝. 根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥， 由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是紅球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. (2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率為 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 方法二　(利用對立事件求概率) (1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝. (2)因為A1∪A2∪A3的對立事件為A4， 所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝. 思維升華(1)準確把握互斥事件與對立事件的概念 ①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可以同時不發(fā)生. ②對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生. (2)判斷互斥、對立事件的方法 判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件. (3)概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值. (4)隨機事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率. (5)求復(fù)雜事件的概率的兩種方法 求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時通常有兩種方法 ①將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率. ②若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率. 跟蹤訓(xùn)練1　(1)某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下： 賠付金額(元) 0 1000 2000 3000 4000 車輛數(shù)(輛) 500 130 100 150 120 ①若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率； ②在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率. 解　①設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. ②設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”，由已知，可得樣本車輛中車主為新司機的有0.11000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24. (2)A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 ①試估計C班的學(xué)生人數(shù)； ②從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率. 解?、儆深}意及分層抽樣可知，C班學(xué)生人數(shù)約為 100＝100＝40. ②設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”，i＝1，2，…，5， 事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”，j＝1，2，…，8. 由題意可知P(Ai)＝，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝，j＝1，2，…，8. P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝＝，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8. 設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”， 由題意知， E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪ A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15＝. 題型二　古典概型 例4　(1)從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝. (2)袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中1個白球，1個紅球，2個黃球，從中一次隨機摸出2個球，則這2個球顏色不同的概率為________. 答案　 解析　方法一　基本事件共有C＝6(種)， 設(shè)取出2個球顏色不同為事件A. A包含的基本事件有CC＋CC＝5(種). 故P(A)＝. 方法二　將兩個黃球分別編號為黃1，黃2.設(shè)取出的2個球顏色不同為事件A，基本事件有：(白，紅)，(白，黃1)，(白，黃2)，(紅，黃1)，(紅，黃2)，(黃1，黃2)，共6種，事件A包含5種，故P(A)＝. 思維升華求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇. 跟蹤訓(xùn)練2　(1)小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由題意可知， 共15種可能性，而只有1種是正確的. ∴輸入一次密碼能夠成功開機的概率為. (2)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完.若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元. 乙、丙、丁三人搶完6元錢的所有不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2). 乙獲得“手氣最佳”的所有不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2). 根據(jù)古典概型的概率計算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率P＝＝. (3)已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　∵a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}， ∴基本事件總數(shù)n＝34＝12. 函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)， ①當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2bx，符合條件的只有(0，－1)， 即a＝0，b＝－1； ②當(dāng)a≠0時，需要滿足≤1，符合條件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4種. ∴函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝. 1.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(　　) A.至少有一個黑球與都是黑球 B.至少有一個黑球與都是紅球 C.至少有一個黑球與至少有一個紅球 D.恰有一個黑球與恰有兩個黑球 答案　D 解析　對于A，事件“至少有一個黑球”與事件“都是黑球”可以同時發(fā)生，∴A不正確；對于B，事件“至少有一個黑球”與事件“都是紅球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，∴這兩個事件是對立事件，∴B不正確；對于C，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球，一個黑球，∴C不正確；對于D，事件“恰有一個黑球”與事件“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，∴兩個事件是互斥事件但不是對立事件，∴D正確. 2.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件， 所以甲不輸?shù)母怕蕿椋? 3.(2018衢州質(zhì)檢)從集合{－1，－2，－3，0，1，2，3，4}中，隨機選出4個數(shù)組成子集，使得這4個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于1，則取出這樣的子集的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　依題意，得題中的集合的4元子集共有C＝70個，其中使得這4個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于1的子集共有16個(注意到－1＋2＝－2＋3＝－3＋4＝0＋1＝1，因此該類子集共有CCCC＝16個)，因此所求的概率等于＝. 4.根據(jù)某醫(yī)療研究所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為(　　) A.15%B.20%C.45%D.65% 答案　D 解析　因為某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，現(xiàn)在能為A型病人輸血的有O型和A型，故為病人輸血的概率為50%＋15%＝65%，故選D. 5.每年三月為學(xué)雷鋒活動月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，現(xiàn)需選出2名青年志愿者到社區(qū)做公益宣傳活動，則選出的2名志愿者性別相同的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　設(shè)男生為A，B，C，女生為a，b，從5人中選出2名志愿者有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10種等可能情況，其中選出的2名志愿者性別相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4種等可能的情況，則選出的2名志愿者性別相同的概率為P＝＝. 6.(2018金華十校聯(lián)考)將A，B，C，D，E五種不同的文件隨機地放入編號依次為1，2，3，4，5，6，7的七個抽屜內(nèi)，每個抽屜至多放一種文件，則文件A，B被放在相鄰的抽屜內(nèi)且文件C，D被放在不相鄰的抽屜內(nèi)的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　依題意知，將這五種文件隨機放入這七個抽屜內(nèi)，每個抽屜至多放一種文件的放法共有A種，文件A，B被放在相鄰的抽屜內(nèi)，∴A，B看成一個元素，相應(yīng)的抽屜看成6個，則有4個元素在6個位置排列，有AA＝720種方法，文件A，B被放在相鄰的抽屜內(nèi)且文件C，D被放在相鄰的抽屜內(nèi)，有AAA＝240種，∴文件A，B被放在相鄰的抽屜內(nèi)且文件C，D被放在不相鄰的抽屜內(nèi)，有720－240＝480種方法.因此所求的概率為＝，故選B. 7.(2014浙江)在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張，則兩人都中獎的概率是________. 答案　 解析　設(shè)中一、二等獎及不中獎分別記為1，2，0，那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6種. 其中甲、乙都中獎有(1，2)，(2，1)，共2種， 所以P(A)＝＝. 8.(2018湖州模擬)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)a1a2a3a4a5，當(dāng)a1a3，a3a5時稱為波形數(shù)，則由1，2，3，4，5任意組成的一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)是波形數(shù)的概率是________. 答案　 解析　∵a2>a1，a2>a3，a4>a3，a4>a5，∴a2只能是3，4，5中的一個. ①若a2＝3，則a4＝5，a5＝4，a1與a3是1或2，這時共有A＝2(個)符合條件的五位數(shù)； ②若a2＝4，則a4＝5，a1，a3，a5可以是1，2，3，共有A＝6(個)符合條件的五位數(shù)； ③若a2＝5，則a4＝3或4，此時分別與①②中的個數(shù)相同. ∴滿足條件的五位數(shù)有2(A＋A)＝16(個). 又由1，2，3，4，5任意組成的一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有A＝120(個)， 故所求概率為＝. 9.袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球.從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為________. 答案　 解析　從袋中任取2個球共有C＝105(種)取法，其中恰有1個白球、1個紅球共有CC＝50(種)取法，所以所取的球恰有1個白球、1個紅球的概率為＝. 10.10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________. 答案　 解析　從10件產(chǎn)品中取4件，共有C種取法，恰好取到1件次品的取法有CC種，由古典概型概率計算公式得P＝＝＝. 11.(2018浙江省重點中學(xué)高三調(diào)研)小明和小華進行有放回的摸小球游戲，規(guī)則如下：共有7個小球(除編號不同外，其他完全相同)，編號分別為1，2，3，4，5，6，7，置于一個盒子內(nèi)，小明和小華每次各摸一個，每個小球被摸到的概率是相等的.則取到的兩個小球的編號之和為偶數(shù)的概率為________，小明取到的小球編號大于小華取到的小球編號的概率為________. 答案　　 解析　由題意可得，所有的取法總數(shù)為77＝49；取到的兩個小球的編號之和為偶數(shù)的取法數(shù)為33＋44＝25，所以其概率為P1＝；小明取到的小球編號大于小華取到的小球編號的取法數(shù)為6＋5＋4＋3＋2＋1＝21，所以其概率為P2＝＝. 12.(2019嘉興模擬)有編號分別為1，2，3，4的4個紅球和4個黑球，從中取出3個，則取出的球的編號互不相同的概率是________. 答案　 解析　在8個球中取出3個，共有C＝56種取法，其中在4個編號中取出3個編號，有C種取法，其中每個編號選擇一球各有2種取法，所以取出的3個球的編號互不相同的取法有C23＝32(種)，則所求概率為＝. 13.一個三位數(shù)，個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x，y，z，當(dāng)且僅當(dāng)y>x，y>z時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合{5，6，7，8}中取出三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　從集合{5，6，7，8}中取出3個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)共有24個結(jié)果：567，576，657，675，756，765，568，586，658，685，856，865，578，587，758，785，857，875，678，687，768，786，867，876，其中是“凸數(shù)”的是：576，675，586，685，587，785，687，786共8個結(jié)果， ∴這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為＝，故選B. 14.某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39，32，33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示. 現(xiàn)隨機選取一個成員，他屬于至少2個小組的概率是________，他屬于不超過2個小組的概率是________. 答案　　 解析　“至少2個小組”包含“2個小組”和“3個小組”兩種情況， 故他屬于至少2個小組的概率為P＝＝. “不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”，其對立事件是“3個小組”. 故他屬于不超過2個小組的概率是P＝1－＝. 15.(2018溫州高三高考適應(yīng)性測試)某人先后三次擲一顆骰子，則其中某兩次所得的點數(shù)之和為11的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　先后三次擲一顆骰子，所得的不同的結(jié)果共有63種. 其中某兩次所得的點數(shù)之和為11，可分為三類： 第一類，5，6都只出現(xiàn)一次，有AA種不同的結(jié)果； 第二類，5出現(xiàn)兩次，6只出現(xiàn)一次，有3種不同的結(jié)果； 第三類，6出現(xiàn)兩次，5只出現(xiàn)一次，有3種不同的結(jié)果. 根據(jù)分類加法計數(shù)原理，其中某兩次所得的點數(shù)之和為11的不同的結(jié)果共有AA＋3＋3＝30(種). 根據(jù)古典概型的概率計算公式，所求的概率P＝＝，故選C. 16.如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.8，0.7，0.7，則系統(tǒng)正常工作的概率為________. 答案　0.728 解析　方法一　由題意知K，A1，A2正常工作的概率分別為P(K)＝0.8，P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.7， ∵K，A1，A2相互獨立， ∴A1，A2至少有一個正常工作的概率為P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.7)0.7＋0.7(1－0.7)＋0.70.7＝0.91. ∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.80.91＝0.728. 方法二　A1，A2至少有一個正常工作的概率為1－P(12)＝1－(1－0.7)(1－0.7)＝0.91，故系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[1－P(12)]＝0.80.91＝0.728.