（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題8 立體幾何與空間向量 第60練 向量法求解空間角和距離問題練習(xí)（含解析）.docx

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第60練 向量法求解空間角和距離問題 [基礎(chǔ)保分練] 1.平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量，，兩兩的夾角均為60，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于(　　) A.5B.6C.4D.8 2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC所成的角的余弦值為(　　) A.B.C.－D.－ 3.在空間直角坐標系O－xyz中，平面OAB的一個法向量為n＝(2，－2,1)，已知點P(－1,3,2)，則點P到平面OAB的距離d等于(　　) A.4B.2C.3D.1 4.(2019紹興一中模擬)設(shè)點M是棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AD的中點，點P在平面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點P到點C1的最短距離是(　　) A.B.C.1D. 5.平面α的一個法向量為n＝(1，－，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為(　　) A.B.C.D. 6.如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45，∠OAB＝60，則OA與BC的夾角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 7.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上，且＝1，N為B1B的中點，則||為(　　) A.aB.aC.aD.a 8.P是二面角α－AB－β棱上的一點，分別在α，β平面上引射線PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45，∠MPN＝60，那么二面角α－AB－β的大小為(　　) A.60B.70C.80D.90 9.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF與側(cè)棱C1C所成角的余弦值是________. 10.如圖所示，已知空間四邊形OABC中OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為________. [能力提升練] 1.已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于(　　) A.B.C.D. 2.(2019浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)在平面α內(nèi)，已知AB⊥BC，過直線AB，BC分別作平面β，γ，使銳二面角α－AB－β為，銳二面角α－BC－γ為，則平面β與平面γ所成的銳二面角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 3.(2019金華一中模擬)已知點P是正方體ABCD－A1B1C1D1表面上一動點，且滿足PA＝2PB，設(shè)PD1與平面ABCD所成的角為θ，則θ的最大值為(　　) A.B.C.D. 4.過正方形ABCD的頂點A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是(　　) A.30B.45C.60D.90 5.如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD＝90，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為__________. 6.如圖，已知平面四邊形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是________. 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1．A　2.B　3.B　4.A　5.B　6.C　7．A　8.D　9.　10.0 能力提升練 1．B　[設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，過O作OH∥BC交AB于點H，以O(shè)為坐標原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略)． 設(shè)△ABC的邊長為1， 則A，B1， ∴＝， 平面ABC的法向量n＝(0,0,1)， 則AB1與底面ABC所成角α的正弦值sinα＝|cos〈，n〉| ＝＝.] 2．A　[由題意以平面α為底面，以平面β，γ為兩相鄰的側(cè)面構(gòu)造正四棱錐E－ABCD，設(shè)正四棱錐的底面邊長為2，以點B為坐標原點，以AB，BC所在直線，過點B垂直于平面α的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則由題意易得B(0，0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1，)，則＝(2,0,0)，＝(0,2,0)，＝(1,1，)， 設(shè)平面β的法向量為m＝(x，y，z)，則有 令z＝－1，得平面β的一個法向量為m＝(0，，－1)，同理可得平面γ的一個法向量為n＝(，0，－1)，則平面β和平面γ所成銳二面角的余弦值為|cos〈m，n〉|＝＝＝，故選A.] 3．A　[以B為坐標原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 設(shè)正方體的邊長為2，P(x，y，z)，則A(0,2,0)，因為PA＝2PB，所以＝2，即x2＋2＋z2＝，所以點P的軌跡為以點Q為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，即為如圖的，，，要使得PD1與底面ABCD所成的角最大，則PD1與底面ABCD的交點到點D的距離最短，從而點P在上，且在QD上，則DP＝DQ－＝－＝2，此時，tanθ＝＝1，所以θ的最大值為，故選A.] 4．B　[建立如圖所示的空間直角坐標系， 設(shè)AB＝1，易得平面APB的一個法向量為n1＝(0,1,0)，平面PCD的一個法向量為n2＝(0,1,1)， 故平面ABP與平面CDP所成二面角的余弦值為＝， 故所求二面角的大小是45.] 5. 解析　以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)xyz， 則E(0,0,1)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)， 故cos〈，〉＝＝. 6. 解析　設(shè)直線AC與BD′所成角為θ，平面ACD翻折的角度為α，設(shè)O是AC中點，由已知得AC＝，如圖， 以O(shè)B為x軸，OA為y軸，過O與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系， 由A，B，C， 作DH⊥AC于H，翻折過程中，D′H始終與AC垂直，CH＝＝＝， 則OH＝，DH＝＝， 因此可設(shè)D′， 則＝， 與平行的單位向量為n＝(0,1,0)， 所以cosθ＝|cos〈，n〉| ＝＝， 所以cosα＝－1時，cosθ取最大值.