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考點規(guī)范練10 冪函數(shù)與二次函數(shù)
一、基礎鞏固
1.(2018貴州適應性考試)冪函數(shù)y=f(x)的圖象經過點(3,3),則f(x)是( )
A.偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù)
B.偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)
C.奇函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)
D.非奇非偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù)
答案D
解析設冪函數(shù)f(x)=xa,
則f(3)=3a=3,
解得a=12,
則f(x)=x12=x,是非奇非偶函數(shù),
且在(0,+∞)上是增函數(shù).
2.在同一直角坐標系中,函數(shù)f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的圖象可能是( )
答案D
解析由于本題中函數(shù)為y=xa(x>0)與y=logax,對于選項A,沒有冪函數(shù)圖象,故錯誤;
對于選項B,由y=xa(x>0)的圖象知a>1,而由y=logax的圖象知0
0)的圖象知01,故C錯誤;
對于選項D,由y=xa(x>0)的圖象知00時,x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,可知x=3;
當x<0時,x2+x-6=0,
解得x=2或x=-3,可知x=-3;
故f(x)的零點個數(shù)為2.故選B.
5.若a<0,則0.5a,5a,5-a的大小關系是( )
A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a
C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a
答案B
解析5-a=15a.
因為a<0,所以函數(shù)y=xa在(0,+∞)內單調遞減.
又15<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.
6.已知f(x)=x3,若當x∈[1,2]時,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,則a的取值范圍是( )
A.a≤1 B.a≥1 C.a≥32 D.a≤32
答案C
解析f(x)在(-∞,+∞)內為奇函數(shù)且單調遞增.
∴由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),
∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.
設g(x)=x2-(a+1)x+1,則有g(1)=1-a≤0,g(2)=3-2a≤0,
解得a≥32.故選C.
7.設α∈-2,-1,-12,12,1,2,則使f(x)=xα為奇函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內單調遞減的α的值的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案A
解析由f(x)=xα在區(qū)間(0,+∞)內單調遞減,可知α<0.
又因為f(x)=xα為奇函數(shù),所以α只能取-1.
8.若關于x的不等式x2+ax+1≥0對于一切x∈0,12恒成立,則a的最小值是( )
A.0 B.2 C.-52 D.-3
答案C
解析由x2+ax+1≥0得a≥-x+1x在x∈0,12上恒成立.
令g(x)=-x+1x,則g(x)在0,12上為增函數(shù),
所以g(x)max=g12=-52,所以a≥-52.
9.已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(0,1),對稱軸為x=2,最小值為-1,則它的解析式為 .
答案f(x)=12(x-2)2-1
解析依題意可設f(x)=a(x-2)2-1.
∵函數(shù)圖象過點(0,1),∴4a-1=1.
∴a=12.∴f(x)=12(x-2)2-1.
10.當x∈(0,+∞)時,冪函數(shù)y=(m2-m-1)x-5m-3為減函數(shù),則實數(shù)m的值為 .
答案2
解析因為函數(shù)y=(m2-m-1)x-5m-3既是冪函數(shù),又是(0,+∞)上的減函數(shù),所以m2-m-1=1,-5m-3<0,解得m=2.
11.已知x≥0,y≥0,且x+y=1,則x2+y2的取值范圍是 .
答案12,1
解析x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],
所以當x=0或1時,x2+y2取最大值1;
當x=12時,x2+y2取最小值12.
因此x2+y2的取值范圍為12,1.
12.已知冪函數(shù)f(x)=x-12,若f(a+1)0),
∴f(x)是定義在(0,+∞)內的減函數(shù).
又f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得a>-1,a<5,a>3,
∴30),若f(m)<0,則( )
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
答案C
解析∵f(x)圖象的對稱軸為x=-12,f(0)=a>0,
∴f(x)的大致圖象如圖所示.
由f(m)<0,得-10,
∴f(m+1)>f(0)>0.
14.
如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(-3,0),對稱軸為x=-1.給出下面四個結論:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正確.
對稱軸為x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,②錯誤.
結合圖象,當x=-1時,y>0,即a-b+c>0,③錯誤.
由對稱軸為x=-1知,b=2a.
又函數(shù)圖象開口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0的解集是實數(shù)集R;乙:00,符合ax2+2ax+1>0的解集是實數(shù)集R;
當a>0時,由ax2+2ax+1>0的解集是R可知Δ=4a2-4a<0,解得0
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