2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 第三節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例檢測(cè) 理 新人教A版.doc

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第三節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練夯基練提能練) A級(jí)　基礎(chǔ)夯實(shí)練 1．(2018吉林長(zhǎng)春質(zhì)檢)下面四個(gè)殘差圖中可以反映出回歸模型擬合精度較高的為(　　) A．圖1　　　　　　　 B．圖2 C．圖3 D．圖4 解析：選A.根據(jù)殘差圖顯示的分布情況即可看出，圖1顯示的殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，所以擬合精度較高，故選A. 2．(2018貴州普通高等學(xué)校適應(yīng)性考試)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考慮兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系時(shí)，通過查閱下表來確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果K2＞3.841，那么有把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”的百分比為(　　) P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.5% B．75% C．99.5% D．95% 解析：選D.由圖表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)K2＞3.841時(shí)，有0.05的概率說明這兩個(gè)變量之間沒有關(guān)系是可信的，即有95%的把握認(rèn)為變量之間有關(guān)系，故選D. 3．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 1.0 0.5 －2.0 －3.0 得到的回歸方程為＝bx＋a，則(　　) A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0 解析：選B.在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)作出散點(diǎn)圖(圖略)，觀察圖象可知，回歸直線＝bx＋a的斜率b＜0，截距a＞0.故選B. 4．(2018山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷考試)某中學(xué)學(xué)生會(huì)為了調(diào)查愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，隨機(jī)詢問了110名高中生是否愛好游泳運(yùn)動(dòng)并得到如下的列聯(lián)表(表1)．由K2＝，并參照附表(表2)，得到的正確結(jié)論是(　　) 表1 男 女 總計(jì) 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 表2 P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” C．有99.9%的把握認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D．有99.9%的把握認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” 解析：選A.由題意得K2＝≈7.822. ∵7.822＞6.635，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”． 5．(2018湖北宜昌聯(lián)考)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)某產(chǎn)品的過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A.回歸直線一定過點(diǎn)(4.5,3.5) B．產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān) C．t的值為3.15 D．該產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸，則相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸 解析：選C.＝(3＋4＋5＋6)＝＝4.5，則＝0.74.5＋0.35＝3.5，即回歸直線一定過點(diǎn)(4.5,3.5)，故A正確．∵0.7＞0，∴產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān)，故B正確．∵＝(2.5＋t＋4＋4.5)＝3.5，∴t＝3，故C錯(cuò)誤．該產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸，則相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸，故D正確． 6．從某地高中男生中隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，由直方圖可知 (　　) A．估計(jì)體重的眾數(shù)為50或60 B．a(chǎn)＝0.03 C．學(xué)生體重在[50,60)有35人 D．從這100名男生中隨機(jī)抽取一人，體重在[60,80)的概率為 解析：選C.根據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對(duì)應(yīng)的底邊中點(diǎn)為＝55，所以估計(jì)眾數(shù)為55，A錯(cuò)誤；根據(jù)頻率和為1，計(jì)算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)10＝1，解得a＝0.005，B錯(cuò)誤；體重在[50,60)內(nèi)的頻率是0.35，估計(jì)體重在[50,60)有1000.35＝35人，C正確；體重在[60,80)內(nèi)的頻率為0.3＋0.2＝0.5，用頻率估計(jì)概率，知這100名男生中隨機(jī)抽取一人，體重在[60,80)的概率為，D錯(cuò)誤． 7．(2018贛州摸底考試)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，6)都在曲線y＝bx2－附近波動(dòng)．經(jīng)計(jì)算i＝11，i＝13，＝21，則實(shí)數(shù)b的值為________． 解析：令t＝x2，則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性回歸方程，即y＝bt－，此時(shí)＝＝，＝＝，代入y＝bt－，得＝b－，解得b＝. 答案： 8．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門課程的考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后，得到如下的列聯(lián)表： 優(yōu)秀 不優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 35 45 乙班 7 38 45 總計(jì) 17 73 90 利用列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)估計(jì)，則成績(jī)與班級(jí)________．(填“有關(guān)”或“無關(guān)”) 解析：成績(jī)與班級(jí)有無關(guān)系，就是看隨機(jī)變量的值與臨界值2.706的大小關(guān)系． 由公式得K2的觀測(cè)值K2＝≈0.653＜2.706，所以成績(jī)與班級(jí)無關(guān)． 答案：無關(guān) 9．(2018廣東省六校聯(lián)考)某市調(diào)研考試后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 乙班 30 總計(jì) 110 (1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表； (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”． 參考公式與臨界值表：K2＝. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解：(1)列聯(lián)表如下： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 總計(jì) 30 80 110 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 K2＝≈7.486＜10.828. 因此按99.9%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”． 10．某品牌2019款汽車即將上市，為了對(duì)這款汽車進(jìn)行合理定價(jià)，某公司在某市五家4S店分別進(jìn)行了兩天試銷售，得到如下數(shù)據(jù)： 4S店 甲 乙 丙 丁 戊 單價(jià)x/萬元 18.0 18.6 18.2 18.8 18.4 19.0 18.3 18.5 18.5 18.7 銷量y/輛 88 78 85 75 82 66 82 78 80 76 (1)分別以五家4S店的平均單價(jià)與平均銷量為散點(diǎn)，求出單價(jià)與銷量的回歸直線方程＝x＋； (2)在大量投入市場(chǎng)后，銷量與單價(jià)仍服從(1)中的關(guān)系，且該款汽車的成本為12萬元/輛，為使該款汽車獲得最大利潤(rùn)，則該款汽車的單價(jià)約為多少萬元(保留一位小數(shù))? 附：＝，＝－. 解：(1)∵五家4S店的平均單價(jià)和平均銷量分別為(18.3,83)(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80)，(18.6,78)， ∴＝＝18.5， ＝＝79， ＝ ＝＝－20. ∴＝－＝79－(－20)18.5＝79＋370＝449， ∴＝－20x＋449. (2)設(shè)該款汽車的單價(jià)應(yīng)為x萬元， 則利潤(rùn)f(x)＝(x－12)(－20x＋449)＝－20x2＋689x－5 388， f′(x)＝－40x＋689，令－40x＋689＝0，解得x≈17.2， 故當(dāng)x≈17.2時(shí)，f(x)取得最大值． ∴要使該款汽車獲得最大利潤(rùn)，該款汽車的單價(jià)約為17.2萬元． B級(jí)　能力提升練 11．某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件，量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表： (1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率； (2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面22列聯(lián)表，問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”. 甲廠 乙廠 總計(jì) 優(yōu)質(zhì)品 非優(yōu)質(zhì)品 總計(jì) P(K2≥k) 0.05　0.01 k 3.841　6.635 解：(1)甲廠抽查的500件產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而估計(jì)甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為＝72%； 乙廠抽查的500件產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而估計(jì)乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為＝64%. (2)完成的22列聯(lián)表如下： 甲廠 乙廠 總計(jì) 優(yōu)質(zhì)品 360 320 680 非優(yōu)質(zhì)品 140 180 320 總計(jì) 500 500 1 000 由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得K2的觀測(cè)值 k＝≈7.35＞6.635， 所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異．” 12．某電視廠家準(zhǔn)備在元旦期間舉辦促銷活動(dòng)，現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費(fèi)與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費(fèi)支出．廣告費(fèi)xi(萬元)和銷售量yi(萬臺(tái))的數(shù)據(jù)如下. 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 廣告費(fèi)xi 1 2 4 6 11 13 19 銷售量yi 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (2)若用y＝c＋d模型擬合y與x的關(guān)系可得回歸方程＝1.63＋0.99，經(jīng)計(jì)算線性回歸模型及該模型的R2分別為0.75和0.88，請(qǐng)用R2說明選擇哪個(gè)回歸模型更好； (3)已知利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝200y－x，根據(jù)(2)的結(jié)果，當(dāng)廣告費(fèi)x＝20時(shí)，銷售量及利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？ 參考公式：＝，＝－ . 參考數(shù)據(jù)：≈2.24. 解：(1)∵＝8，＝4.2，iyi＝279.4，＝708， ＝＝＝0.17，＝－ ＝4.2－0.178＝2.84. ∴y關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.17x＋2.84. (2)R2越大反映殘差平方和越小，擬合效果越好， ∵0.75＜0.88， ∴選用非線性回歸模型＝1.63＋0.99更好． (3)由(2)知，當(dāng)x＝20時(shí)，銷售量的預(yù)報(bào)值＝1.63＋0.99≈6.06(萬臺(tái))， 利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值＝200(1.63＋0.99)－20≈1 191.48(萬元)． 13．微信已成為人們常用的社交軟件，“微信運(yùn)動(dòng)”是微信里由騰訊開發(fā)的一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾帳號(hào)，手機(jī)用戶可以通過關(guān)注“微信運(yùn)動(dòng)”公眾號(hào)查看自己每天行走的步數(shù)，同時(shí)也可以和好友進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的PK或點(diǎn)贊．現(xiàn)從小明的微信朋友圈內(nèi)隨機(jī)選取了40人(男、女各20人)，記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下表： 若某人一天的走路步數(shù)超過8 000步被系統(tǒng)評(píng)定為“積極型”，否則被系統(tǒng)評(píng)定為“懈怠型”． (1)利用樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過10 000步的概率； (2)根據(jù)題意完成下面的22列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有90%的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)？ 積極型 懈怠型 總計(jì) 男 女 總計(jì) 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，40位好友中走路步數(shù)超過10 000步的有8人， ∴利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過10 000步的概率P＝＝0.2. (2)根據(jù)題意完成22列聯(lián)表如下： 積極型 懈怠型 總計(jì) 男 13 7 20 女 8 12 20 總計(jì) 21 19 40 ∴K2＝≈2.5＜2.706， ∴沒有90%的把握認(rèn)為“評(píng)定類型”與“性別”有關(guān)． 14．“雙十一網(wǎng)購狂歡節(jié)”源于淘寶商城(天貓)2009年11月11日舉辦的促銷活動(dòng)，當(dāng)時(shí)參與的商家數(shù)量和促銷力度均有限，但營(yíng)業(yè)額遠(yuǎn)超預(yù)想的效果，于是11月11日成為天貓舉辦大規(guī)模促銷活動(dòng)的固定日期．如今，中國(guó)的“雙十一”已經(jīng)從一個(gè)節(jié)日變成了全民狂歡的“電商購物日”．某淘寶電商分析近8年“雙十一”期間的宣傳費(fèi)用x(單位：萬元)和利潤(rùn)y(單位：十萬元)之間的關(guān)系，得到下列數(shù)據(jù)： x 2 3 4 5 6 8 9 11 y 1 2 3 3 4 5 6 8 (1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r說明y與x之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系(當(dāng)|r|＞0.81時(shí)，說明y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系)； (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，建立y與x之間的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)x＝24時(shí)，對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)為多少(，，精確到0.1)． 附參考公式：回歸方程中＝x＋中和最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－ ， 相關(guān)系數(shù)r＝. 參考數(shù)據(jù)： iyi＝241，＝356，≈8.25，＝6. 解：(1)由題意得＝6，＝4. 又iyi＝241, ≈8.25， ＝6， 所以r＝≈≈0.99＞0.81， 所以y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系． (2)因?yàn)椋剑健?.7， ＝－ ≈4－0.76＝－0.2， 所以回歸直線方程為＝0.7x－0.2. 當(dāng)x＝24時(shí)，＝0.724－0.2＝16.6， 所以預(yù)測(cè)當(dāng)x＝24時(shí)，對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)為16.6.