2020版高考數(shù)學一輪復習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

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第3章 三角函數(shù)、解三角形 第7講 A組　基礎關 1．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東80 D．南偏西80 答案　D 解析　由題意可知∠ACD＝40，∠DCB＝60. ∵兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等， ∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA. ∵∠ACD＝40，∠DCB＝60， ∴∠CAB＝∠CBA＝(180－40－60)＝40. ∵∠BCD＝60，∠CDB＝90， ∴∠CBD＝90－60＝30， ∴∠DBA＝40－30＝10. 故燈塔A在燈塔B南偏西80. 2．如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學首先選定了與A，B不共線的一點C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　D 解析　知兩角一邊可用正弦定理解三角形，故方案①③可以確定A，B間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案②可以確定A，B間的距離． 3．(2019東北三校聯(lián)考)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) km B.a km C．2a km D.a km 答案　D 解析　由圖可知∠ACB＝180－20－40＝120， 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB＝a2＋a2－2a2＝3a2. 所以AB＝a，即燈塔A與燈塔B的距離為a km. 4．如圖所示，一座建筑物AB的高為(30－10) m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔CD.在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15和60，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30，則通信塔CD的高為(　　) A．30 m B．60 m C．30 m D．40 m 答案　B 解析　在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．過點A作AN⊥CD于點N，如圖所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15，所以∠MAC＝30＋15＝45.又∠AMC＝180－15－60＝105，所以∠ACM＝30.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40sin60＝60(m)，故通信塔CD的高為60 m. 5．如圖，據(jù)氣象部門預報，在距離某碼頭南偏東45方向600 km處的熱帶風暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動，距風暴中心450 km以內(nèi)(含450 km)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為(　　) A．10 h B．15 h C．10 h D．20 h 答案　B 解析　記現(xiàn)在熱帶風暴中心的位置為點A，t小時后熱帶風暴中心到達B點位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45，根據(jù)余弦定理得OB2＝6002＋400t2－260020t，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1575≤0，解得≤t≤，所以該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為－＝15. 6．如圖所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東15方向，與海輪相距20 n mile的B處，海輪按北偏西60的方向航行了30 min后到達C處，又測得燈塔在海輪的北偏東75的方向上，則海輪的速度為________ n mile/min.(　　) A. B. C．3 D．10 答案　A 解析　由已知得∠ACB＝45，∠B＝60， 由正弦定理得＝， 所以AC＝＝＝10， 所以海輪航行的速度為＝(n mile/min)． 7．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15，∠BDC＝30，CD＝30，并在點C處測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 答案　D 解析　在△BCD中，∠CBD＝180－15－30＝135. 由正弦定理得＝， 所以BC＝15. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15＝15. 8．(2018惠州調(diào)研)如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15，沿山坡前進50 m到達B處，又測得∠DBC＝45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝________. 答案　－1 解析　由∠DAC＝15，∠DBC＝45，可得 ∠DBA＝135，∠ADB＝30. 在△ABD中，根據(jù)正弦定理可得 ＝，即＝， 所以BD＝100sin15＝100sin(45－30) ＝25(－)． 在△BCD中，由正弦定理得＝， 即＝，解得sin∠BCD＝－1. 所以cosθ＝cos(∠BCD－90)＝sin∠BCD＝－1. B組　能力關 1．如圖所示，為了了解某海域海底構(gòu)造，在海平面上取一條直線上的A，B，C三點進行測量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A處測得水深AD＝80 m，于B處測得水深BE＝200 m，于C處測得水深CF＝110 m，則∠DEF的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如圖所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，則DF＝＝＝10(m)，DE＝＝＝130(m)， EF＝ ＝＝150(m)． 在△DEF中，由余弦定理，得 cos∠DEF＝ ＝＝. 2．為測出所住小區(qū)的面積，某人進行了一些測量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積是(　　) A. km2 B. km2 C. km2 D. km2 答案　D 解析　連接AC，根據(jù)余弦定理可得AC＝ km，故△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90，∠BAC＝30，故△ADC為等腰三角形，設AD＝DC＝x km，根據(jù)余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)，所以所求的面積為1＋3(2－)＝＝(km2)． 3．(2018湖北武漢模擬)A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點．現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要的時間為________小時． 答案　1 解析　由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝45，所以∠ADB＝105. 在△DAB中，由正弦定理得＝， 所以DB＝＝＝10(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30＋(90－60)＝60， BC＝20海里， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC ＝300＋1200－21020＝900， 所以CD＝30海里，則該救援船到達D點需要的時間 t＝＝1(小時)．